代数示例

$\log_{12} (n + 14) + \frac{1}{2} \cdot \log_{12} (4 n^{2}) = 2$

解题步骤 1

化简左边。

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解题步骤 1.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $\log_{12} (4 n^{2})$ 。

$\log_{12} (n + 14) + \frac{\log_{12} (4 n^{2})}{2} = 2$

解题步骤 2

要将 $\log_{12} (n + 14)$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\log_{12} (n + 14) \cdot \frac{2}{2} + \frac{\log_{12} (4 n^{2})}{2} = 2$

解题步骤 3

化简项。

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解题步骤 3.1

组合 $\log_{12} (n + 14)$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{\log_{12} (n + 14) \cdot 2}{2} + \frac{\log_{12} (4 n^{2})}{2} = 2$

解题步骤 3.2

在公分母上合并分子。

$\frac{\log_{12} (n + 14) \cdot 2 + \log_{12} (4 n^{2})}{2} = 2$

解题步骤 4

将 $2$ 移到 $\log_{12} (n + 14)$ 的左侧。

$\frac{2 \log_{12} (n + 14) + \log_{12} (4 n^{2})}{2} = 2$

解题步骤 5

化简左边。

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解题步骤 5.1

化简 $\frac{2 \log_{12} (n + 14) + \log_{12} (4 n^{2})}{2}$ 。

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解题步骤 5.1.1

化简分子。

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解题步骤 5.1.1.1

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $2 \log_{12} (n + 14)$ 。

$\frac{\log_{12} ({(n + 14)}^{2}) + \log_{12} (4 n^{2})}{2} = 2$

解题步骤 5.1.1.2

使用对数积的性质，即 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ 。

$\frac{\log_{12} ({(n + 14)}^{2} (4 n^{2}))}{2} = 2$

解题步骤 5.1.1.3

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{\log_{12} (4 {(n + 14)}^{2} n^{2})}{2} = 2$

解题步骤 5.1.2

将 $\frac{\log_{12} (4 {(n + 14)}^{2} n^{2})}{2}$ 重写为 $\frac{1}{2} \log_{12} (4 {(n + 14)}^{2} n^{2})$ 。

$\frac{1}{2} \log_{12} (4 {(n + 14)}^{2} n^{2}) = 2$

解题步骤 5.1.3

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $\frac{1}{2} \log_{12} (4 {(n + 14)}^{2} n^{2})$ 。

$\log_{12} ({(4 {(n + 14)}^{2} n^{2})}^{\frac{1}{2}}) = 2$

解题步骤 5.1.4

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 5.1.4.1

对 $4 {(n + 14)}^{2} n^{2}$ 运用乘积法则。

$\log_{12} ({(4 {(n + 14)}^{2})}^{\frac{1}{2}} {(n^{2})}^{\frac{1}{2}}) = 2$

解题步骤 5.1.4.2

对 $4 {(n + 14)}^{2}$ 运用乘积法则。

$\log_{12} (4^{\frac{1}{2}} {({(n + 14)}^{2})}^{\frac{1}{2}} {(n^{2})}^{\frac{1}{2}}) = 2$

解题步骤 5.1.5

化简表达式。

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解题步骤 5.1.5.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\log_{12} ({(2^{2})}^{\frac{1}{2}} {({(n + 14)}^{2})}^{\frac{1}{2}} {(n^{2})}^{\frac{1}{2}}) = 2$

解题步骤 5.1.5.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\log_{12} (2^{2 (\frac{1}{2})} {({(n + 14)}^{2})}^{\frac{1}{2}} {(n^{2})}^{\frac{1}{2}}) = 2$

解题步骤 5.1.6

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.1.6.1

约去公因数。

$\log_{12} (2^{2 (\frac{1}{2})} {({(n + 14)}^{2})}^{\frac{1}{2}} {(n^{2})}^{\frac{1}{2}}) = 2$

解题步骤 5.1.6.2

重写表达式。

$\log_{12} (2^{1} {({(n + 14)}^{2})}^{\frac{1}{2}} {(n^{2})}^{\frac{1}{2}}) = 2$

解题步骤 5.1.7

计算指数。

$\log_{12} (2 {({(n + 14)}^{2})}^{\frac{1}{2}} {(n^{2})}^{\frac{1}{2}}) = 2$

解题步骤 5.1.8

将 ${({(n + 14)}^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 5.1.8.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\log_{12} (2 {(n + 14)}^{2 (\frac{1}{2})} {(n^{2})}^{\frac{1}{2}}) = 2$

解题步骤 5.1.8.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.1.8.2.1

约去公因数。

$\log_{12} (2 {(n + 14)}^{2 (\frac{1}{2})} {(n^{2})}^{\frac{1}{2}}) = 2$

解题步骤 5.1.8.2.2

重写表达式。

$\log_{12} (2 {(n + 14)}^{1} {(n^{2})}^{\frac{1}{2}}) = 2$

解题步骤 5.1.9

化简。

$\log_{12} (2 (n + 14) {(n^{2})}^{\frac{1}{2}}) = 2$

解题步骤 5.1.10

运用分配律。

$\log_{12} ((2 n + 2 \cdot 14) {(n^{2})}^{\frac{1}{2}}) = 2$

解题步骤 5.1.11

化简表达式。

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解题步骤 5.1.11.1

将 $2$ 乘以 $14$ 。

$\log_{12} ((2 n + 28) {(n^{2})}^{\frac{1}{2}}) = 2$

解题步骤 5.1.11.2

将 ${(n^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 5.1.11.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\log_{12} ((2 n + 28) n^{2 (\frac{1}{2})}) = 2$

解题步骤 5.1.11.2.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.1.11.2.2.1

约去公因数。

$\log_{12} ((2 n + 28) n^{2 (\frac{1}{2})}) = 2$

解题步骤 5.1.11.2.2.2

重写表达式。

$\log_{12} ((2 n + 28) n^{1}) = 2$

解题步骤 5.1.12

化简。

$\log_{12} ((2 n + 28) n) = 2$

解题步骤 5.1.13

运用分配律。

$\log_{12} (2 n \cdot n + 28 n) = 2$

解题步骤 5.1.14

通过指数相加将 $n$ 乘以 $n$ 。

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解题步骤 5.1.14.1

移动 $n$ 。

$\log_{12} (2 (n \cdot n) + 28 n) = 2$

解题步骤 5.1.14.2

将 $n$ 乘以 $n$ 。

$\log_{12} (2 n^{2} + 28 n) = 2$

解题步骤 6

使用对数的定义将 $\log_{12} (2 n^{2} + 28 n) = 2$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$12^{2} = 2 n^{2} + 28 n$

解题步骤 7

求解 $n$ 。

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解题步骤 7.1

将方程重写为 $2 n^{2} + 28 n = 12^{2}$ 。

$2 n^{2} + 28 n = 12^{2}$

解题步骤 7.2

对 $12$ 进行 $2$ 次方运算。

$2 n^{2} + 28 n = 144$

解题步骤 7.3

从等式两边同时减去 $144$ 。

$2 n^{2} + 28 n - 144 = 0$

解题步骤 7.4

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 7.4.1

从 $2 n^{2} + 28 n - 144$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 7.4.1.1

从 $2 n^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (n^{2}) + 28 n - 144 = 0$

解题步骤 7.4.1.2

从 $28 n$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (n^{2}) + 2 (14 n) - 144 = 0$

解题步骤 7.4.1.3

从 $- 144$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 n^{2} + 2 (14 n) + 2 \cdot - 72 = 0$

解题步骤 7.4.1.4

从 $2 n^{2} + 2 (14 n)$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (n^{2} + 14 n) + 2 \cdot - 72 = 0$

解题步骤 7.4.1.5

从 $2 (n^{2} + 14 n) + 2 \cdot - 72$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (n^{2} + 14 n - 72) = 0$

解题步骤 7.4.2

因数。

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解题步骤 7.4.2.1

使用 AC 法来对 $n^{2} + 14 n - 72$ 进行因式分解。

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解题步骤 7.4.2.1.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 72$ ，和为 $14$ 。

$- 4, 18$

解题步骤 7.4.2.1.2

使用这些整数书写分数形式。

$2 ((n - 4) (n + 18)) = 0$

解题步骤 7.4.2.2

去掉多余的括号。

$2 (n - 4) (n + 18) = 0$

解题步骤 7.5

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$n - 4 = 0$

$n + 18 = 0$

解题步骤 7.6

将 $n - 4$ 设为等于 $0$ 并求解 $n$ 。

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解题步骤 7.6.1

将 $n - 4$ 设为等于 $0$ 。

$n - 4 = 0$

解题步骤 7.6.2

在等式两边都加上 $4$ 。

$n = 4$

解题步骤 7.7

将 $n + 18$ 设为等于 $0$ 并求解 $n$ 。

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解题步骤 7.7.1

将 $n + 18$ 设为等于 $0$ 。

$n + 18 = 0$

解题步骤 7.7.2

从等式两边同时减去 $18$ 。

$n = - 18$

解题步骤 7.8

最终解为使 $2 (n - 4) (n + 18) = 0$ 成立的所有值。

$n = 4, - 18$

解题步骤 8

排除不能使 $\log_{12} (n + 14) + \frac{1}{2} \cdot \log_{12} (4 n^{2}) = 2$ 成立的解。

$n = 4$

代数 示例

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