代数示例

$x^{2} = 2 - | x |$

解题步骤 1

将方程重写为 $2 - | x | = x^{2}$ 。

$2 - | x | = x^{2}$

解题步骤 2

从等式两边同时减去 $2$ 。

$- | x | = x^{2} - 2$

解题步骤 3

将 $- | x | = x^{2} - 2$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 3.1

将 $- | x | = x^{2} - 2$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- | x |}{- 1} = \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{- 2}{- 1}$

解题步骤 3.2

化简左边。

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解题步骤 3.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{| x |}{1} = \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{- 2}{- 1}$

解题步骤 3.2.2

用 $| x |$ 除以 $1$ 。

$| x | = \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{- 2}{- 1}$

解题步骤 3.3

化简右边。

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解题步骤 3.3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.3.1.1

移动 $\frac{x^{2}}{- 1}$ 中分母的负号。

$| x | = - 1 \cdot x^{2} + \frac{- 2}{- 1}$

解题步骤 3.3.1.2

将 $- 1 \cdot x^{2}$ 重写为 $- x^{2}$ 。

$| x | = - x^{2} + \frac{- 2}{- 1}$

解题步骤 3.3.1.3

用 $- 2$ 除以 $- 1$ 。

$| x | = - x^{2} + 2$

解题步骤 4

去掉绝对值项。因为 $| x | = \pm x$ ，所以这将使方程右边新增 $\pm$ 。

$x = \pm (- x^{2} + 2)$

解题步骤 5

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 5.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = - x^{2} + 2$

解题步骤 5.2

在等式两边都加上 $x^{2}$ 。

$x + x^{2} = 2$

解题步骤 5.3

从等式两边同时减去 $2$ 。

$x + x^{2} - 2 = 0$

解题步骤 5.4

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 5.4.1

使 $u = x$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $x$ 。

$u + u^{2} - 2 = 0$

解题步骤 5.4.2

使用 AC 法来对 $u + u^{2} - 2$ 进行因式分解。

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解题步骤 5.4.2.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 2$ ，和为 $1$ 。

$- 1, 2$

解题步骤 5.4.2.2

使用这些整数书写分数形式。

$(u - 1) (u + 2) = 0$

解题步骤 5.4.3

使用 $x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$(x - 1) (x + 2) = 0$

解题步骤 5.5

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x - 1 = 0$

$x + 2 = 0$

解题步骤 5.6

将 $x - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 5.6.1

将 $x - 1$ 设为等于 $0$ 。

$x - 1 = 0$

解题步骤 5.6.2

在等式两边都加上 $1$ 。

$x = 1$

解题步骤 5.7

将 $x + 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 5.7.1

将 $x + 2$ 设为等于 $0$ 。

$x + 2 = 0$

解题步骤 5.7.2

从等式两边同时减去 $2$ 。

$x = - 2$

解题步骤 5.8

最终解为使 $(x - 1) (x + 2) = 0$ 成立的所有值。

$x = 1, - 2$

解题步骤 5.9

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - (- x^{2} + 2)$

解题步骤 5.10

化简 $- (- x^{2} + 2)$ 。

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解题步骤 5.10.1

运用分配律。

$x = - - x^{2} - 1 \cdot 2$

解题步骤 5.10.2

乘以 $- - x^{2}$ 。

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解题步骤 5.10.2.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$x = 1 x^{2} - 1 \cdot 2$

解题步骤 5.10.2.2

将 $x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$x = x^{2} - 1 \cdot 2$

解题步骤 5.10.3

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$x = x^{2} - 2$

解题步骤 5.11

从等式两边同时减去 $x^{2}$ 。

$x - x^{2} = - 2$

解题步骤 5.12

在等式两边都加上 $2$ 。

$x - x^{2} + 2 = 0$

解题步骤 5.13

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 5.13.1

从 $x - x^{2} + 2$ 中分解出因数 $- 1$ 。

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解题步骤 5.13.1.1

将 $x$ 和 $- x^{2}$ 重新排序。

$- x^{2} + x + 2 = 0$

解题步骤 5.13.1.2

从 $- x^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- (x^{2}) + x + 2 = 0$

解题步骤 5.13.1.3

从 $x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- (x^{2}) - 1 (- x) + 2 = 0$

解题步骤 5.13.1.4

将 $2$ 重写为 $- 1 (- 2)$ 。

$- (x^{2}) - 1 (- x) - 1 \cdot - 2 = 0$

解题步骤 5.13.1.5

从 $- (x^{2}) - 1 (- x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- (x^{2} - x) - 1 \cdot - 2 = 0$

解题步骤 5.13.1.6

从 $- (x^{2} - x) - 1 (- 2)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- (x^{2} - x - 2) = 0$

解题步骤 5.13.2

因数。

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解题步骤 5.13.2.1

使用 AC 法来对 $x^{2} - x - 2$ 进行因式分解。

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解题步骤 5.13.2.1.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 2$ ，和为 $- 1$ 。

$- 2, 1$

解题步骤 5.13.2.1.2

使用这些整数书写分数形式。

$- ((x - 2) (x + 1)) = 0$

解题步骤 5.13.2.2

去掉多余的括号。

$- (x - 2) (x + 1) = 0$

解题步骤 5.14

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x - 2 = 0$

$x + 1 = 0$

解题步骤 5.15

将 $x - 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 5.15.1

将 $x - 2$ 设为等于 $0$ 。

$x - 2 = 0$

解题步骤 5.15.2

在等式两边都加上 $2$ 。

$x = 2$

解题步骤 5.16

将 $x + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 5.16.1

将 $x + 1$ 设为等于 $0$ 。

$x + 1 = 0$

解题步骤 5.16.2

从等式两边同时减去 $1$ 。

$x = - 1$

解题步骤 5.17

最终解为使 $- (x - 2) (x + 1) = 0$ 成立的所有值。

$x = 2, - 1$

解题步骤 5.18

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = 1, - 2, 2, - 1$

解题步骤 6

排除不能使 $x^{2} = 2 - | x |$ 成立的解。

$x = 1, - 1$

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