代数示例

$729 a^{6} - 64 b^{6}$

解题步骤 1

将 $729 a^{6}$ 重写为 ${(9 a^{2})}^{3}$ 。

${(9 a^{2})}^{3} - 64 b^{6}$

解题步骤 2

将 $64 b^{6}$ 重写为 ${(4 b^{2})}^{3}$ 。

${(9 a^{2})}^{3} - {(4 b^{2})}^{3}$

解题步骤 3

因为两项都是完全立方数，所以使用立方差公式 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ 进行因式分解，其中 $a = 9 a^{2}$ 和 $b = 4 b^{2}$ 。

$(9 a^{2} - (4 b^{2})) ({(9 a^{2})}^{2} + 9 a^{2} (4 b^{2}) + {(4 b^{2})}^{2})$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

去掉圆括号。

$(9 a^{2} - 1 \cdot 4 b^{2}) ({(9 a^{2})}^{2} + 9 a^{2} (4 b^{2}) + {(4 b^{2})}^{2})$

解题步骤 4.2

将 $9 a^{2}$ 重写为 ${(3 a)}^{2}$ 。

$({(3 a)}^{2} - 1 \cdot 4 b^{2}) ({(9 a^{2})}^{2} + 9 a^{2} (4 b^{2}) + {(4 b^{2})}^{2})$

解题步骤 4.3

将 $4 b^{2}$ 重写为 ${(2 b)}^{2}$ 。

$({(3 a)}^{2} - {(2 b)}^{2}) ({(9 a^{2})}^{2} + 9 a^{2} (4 b^{2}) + {(4 b^{2})}^{2})$

解题步骤 4.4

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 3 a$ 和 $b = 2 b$ 。

$(3 a + 2 b) (3 a - (2 b)) ({(9 a^{2})}^{2} + 9 a^{2} (4 b^{2}) + {(4 b^{2})}^{2})$

解题步骤 4.5

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$(3 a + 2 b) (3 a - 2 b) ({(9 a^{2})}^{2} + 9 a^{2} (4 b^{2}) + {(4 b^{2})}^{2})$

解题步骤 4.6

将 $4$ 乘以 $9$ 。

$(3 a + 2 b) (3 a - 2 b) ({(9 a^{2})}^{2} + 36 a^{2} b^{2} + {(4 b^{2})}^{2})$

解题步骤 5

对 $9 a^{2}$ 运用乘积法则。

$(3 a + 2 b) (3 a - 2 b) (9^{2} {(a^{2})}^{2} + 36 a^{2} b^{2} + {(4 b^{2})}^{2})$

解题步骤 6

对 $9$ 进行 $2$ 次方运算。

$(3 a + 2 b) (3 a - 2 b) (81 {(a^{2})}^{2} + 36 a^{2} b^{2} + {(4 b^{2})}^{2})$

解题步骤 7

将 ${(a^{2})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 7.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$(3 a + 2 b) (3 a - 2 b) (81 a^{2 \cdot 2} + 36 a^{2} b^{2} + {(4 b^{2})}^{2})$

解题步骤 7.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$(3 a + 2 b) (3 a - 2 b) (81 a^{4} + 36 a^{2} b^{2} + {(4 b^{2})}^{2})$

解题步骤 8

对 $4 b^{2}$ 运用乘积法则。

$(3 a + 2 b) (3 a - 2 b) (81 a^{4} + 36 a^{2} b^{2} + 4^{2} {(b^{2})}^{2})$

解题步骤 9

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$(3 a + 2 b) (3 a - 2 b) (81 a^{4} + 36 a^{2} b^{2} + 16 {(b^{2})}^{2})$

解题步骤 10

将 ${(b^{2})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 10.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$(3 a + 2 b) (3 a - 2 b) (81 a^{4} + 36 a^{2} b^{2} + 16 b^{2 \cdot 2})$

解题步骤 10.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$(3 a + 2 b) (3 a - 2 b) (81 a^{4} + 36 a^{2} b^{2} + 16 b^{4})$

解题步骤 11

因数。

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解题步骤 11.1

以因式分解的形式重写 $81 a^{4} + 36 a^{2} b^{2} + 16 b^{4}$ 。

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解题步骤 11.1.1

重写中间项。

$(3 a + 2 b) (3 a - 2 b) (81 a^{4} + 2 (9 a^{2}) (4 b^{2}) - 36 a^{2} b^{2} + 16 b^{4})$

解题步骤 11.1.2

重新整理项。

$(3 a + 2 b) (3 a - 2 b) (81 a^{4} + 2 (9 a^{2}) (4 b^{2}) + 16 b^{4} - 36 a^{2} b^{2})$

解题步骤 11.1.3

通过完全平方法则对前三项进行因式分解。

$(3 a + 2 b) (3 a - 2 b) ({(9 a^{2} + 4 b^{2})}^{2} - 36 a^{2} b^{2})$

解题步骤 11.1.4

将 $36 a^{2} b^{2}$ 重写为 ${(6 a b)}^{2}$ 。

$(3 a + 2 b) (3 a - 2 b) ({(9 a^{2} + 4 b^{2})}^{2} - {(6 a b)}^{2})$

解题步骤 11.1.5

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 9 a^{2} + 4 b^{2}$ 和 $b = 6 a b$ 。

$(3 a + 2 b) (3 a - 2 b) ((9 a^{2} + 4 b^{2} + 6 a b) (9 a^{2} + 4 b^{2} - (6 a b)))$

解题步骤 11.1.6

化简。

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解题步骤 11.1.6.1

将 $6$ 乘以 $- 1$ 。

$(3 a + 2 b) (3 a - 2 b) ((9 a^{2} + 4 b^{2} + 6 a b) (9 a^{2} + 4 b^{2} - 6 (a b)))$

解题步骤 11.1.6.2

去掉圆括号。

$(3 a + 2 b) (3 a - 2 b) ((9 a^{2} + 4 b^{2} + 6 a b) (9 a^{2} + 4 b^{2} - 6 a b))$

解题步骤 11.2

去掉多余的括号。

$(3 a + 2 b) (3 a - 2 b) (9 a^{2} + 4 b^{2} + 6 a b) (9 a^{2} + 4 b^{2} - 6 a b)$

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