代数示例

$e^{k^{2} + 9} \cdot e^{- k} = e^{2 k + 5} \cdot e^{3 k - 4}$

解题步骤 1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$e^{k^{2} + 9 - k} = e^{2 k + 5} \cdot e^{3 k - 4}$

解题步骤 2

通过指数相加将 $e^{2 k + 5}$ 乘以 $e^{3 k - 4}$ 。

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解题步骤 2.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$e^{k^{2} + 9 - k} = e^{2 k + 5 + 3 k - 4}$

解题步骤 2.2

将 $2 k$ 和 $3 k$ 相加。

$e^{k^{2} + 9 - k} = e^{5 k + 5 - 4}$

解题步骤 2.3

从 $5$ 中减去 $4$ 。

$e^{k^{2} + 9 - k} = e^{5 k + 1}$

解题步骤 3

因为底相同，所以两个表达式仅当指数也相等时才会相等。

$k^{2} + 9 - k = 5 k + 1$

解题步骤 4

求解 $k$ 。

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解题步骤 4.1

将所有包含 $k$ 的项移到等式左边。

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解题步骤 4.1.1

从等式两边同时减去 $5 k$ 。

$k^{2} + 9 - k - 5 k = 1$

解题步骤 4.1.2

从 $- k$ 中减去 $5 k$ 。

$k^{2} + 9 - 6 k = 1$

解题步骤 4.2

从等式两边同时减去 $1$ 。

$k^{2} + 9 - 6 k - 1 = 0$

解题步骤 4.3

从 $9$ 中减去 $1$ 。

$k^{2} - 6 k + 8 = 0$

解题步骤 4.4

使用 AC 法来对 $k^{2} - 6 k + 8$ 进行因式分解。

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解题步骤 4.4.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $8$ ，和为 $- 6$ 。

$- 4, - 2$

解题步骤 4.4.2

使用这些整数书写分数形式。

$(k - 4) (k - 2) = 0$

解题步骤 4.5

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$k - 4 = 0$

$k - 2 = 0$

解题步骤 4.6

将 $k - 4$ 设为等于 $0$ 并求解 $k$ 。

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解题步骤 4.6.1

将 $k - 4$ 设为等于 $0$ 。

$k - 4 = 0$

解题步骤 4.6.2

在等式两边都加上 $4$ 。

$k = 4$

解题步骤 4.7

将 $k - 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $k$ 。

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解题步骤 4.7.1

将 $k - 2$ 设为等于 $0$ 。

$k - 2 = 0$

解题步骤 4.7.2

在等式两边都加上 $2$ 。

$k = 2$

解题步骤 4.8

最终解为使 $(k - 4) (k - 2) = 0$ 成立的所有值。

$k = 4, 2$

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