代数示例

$arccot (\sqrt{x}) + \arctan (x) = \frac{π}{2}$

解题步骤 1

求解 $\sqrt{x}$ 。

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解题步骤 1.1

从等式两边同时减去 $\arctan (x)$ 。

$arccot (\sqrt{x}) = \frac{π}{2} - \arctan (x)$

解题步骤 1.2

将方程重写为 $\frac{π}{2} - \arctan (x) = arccot (\sqrt{x})$ 。

$\frac{π}{2} - \arctan (x) = arccot (\sqrt{x})$

解题步骤 1.3

从等式两边同时减去 $\frac{π}{2}$ 。

$- \arctan (x) = arccot (\sqrt{x}) - \frac{π}{2}$

解题步骤 1.4

将 $- \arctan (x) = arccot (\sqrt{x}) - \frac{π}{2}$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 1.4.1

将 $- \arctan (x) = arccot (\sqrt{x}) - \frac{π}{2}$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- \arctan (x)}{- 1} = \frac{arccot (\sqrt{x})}{- 1} + \frac{- \frac{π}{2}}{- 1}$

解题步骤 1.4.2

化简左边。

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解题步骤 1.4.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{\arctan (x)}{1} = \frac{arccot (\sqrt{x})}{- 1} + \frac{- \frac{π}{2}}{- 1}$

解题步骤 1.4.2.2

用 $\arctan (x)$ 除以 $1$ 。

$\arctan (x) = \frac{arccot (\sqrt{x})}{- 1} + \frac{- \frac{π}{2}}{- 1}$

解题步骤 1.4.3

化简右边。

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解题步骤 1.4.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.4.3.1.1

移动 $\frac{arccot (\sqrt{x})}{- 1}$ 中分母的负号。

$\arctan (x) = - 1 \cdot arccot (\sqrt{x}) + \frac{- \frac{π}{2}}{- 1}$

解题步骤 1.4.3.1.2

将 $- 1 \cdot arccot (\sqrt{x})$ 重写为 $- arccot (\sqrt{x})$ 。

$\arctan (x) = - arccot (\sqrt{x}) + \frac{- \frac{π}{2}}{- 1}$

解题步骤 1.4.3.1.3

将两个负数相除得到一个正数。

$\arctan (x) = - arccot (\sqrt{x}) + \frac{\frac{π}{2}}{1}$

解题步骤 1.4.3.1.4

用 $\frac{π}{2}$ 除以 $1$ 。

$\arctan (x) = - arccot (\sqrt{x}) + \frac{π}{2}$

解题步骤 1.5

取方程两边的反正切的逆函数来从反正切内提出 $\sqrt{x}$ 。

$x = \tan (- arccot (\sqrt{x}) + \frac{π}{2})$

解题步骤 1.6

将方程重写为 $\tan (- arccot (\sqrt{x}) + \frac{π}{2}) = x$ 。

$\tan (- arccot (\sqrt{x}) + \frac{π}{2}) = x$

解题步骤 1.7

取方程两边的逆正切从而提取正切内的 $arccot (\sqrt{x})$ 。

$- arccot (\sqrt{x}) + \frac{π}{2} = \arctan (x)$

解题步骤 1.8

从等式两边同时减去 $\frac{π}{2}$ 。

$- arccot (\sqrt{x}) = \arctan (x) - \frac{π}{2}$

解题步骤 1.9

将 $- arccot (\sqrt{x}) = \arctan (x) - \frac{π}{2}$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 1.9.1

将 $- arccot (\sqrt{x}) = \arctan (x) - \frac{π}{2}$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- arccot (\sqrt{x})}{- 1} = \frac{\arctan (x)}{- 1} + \frac{- \frac{π}{2}}{- 1}$

解题步骤 1.9.2

化简左边。

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解题步骤 1.9.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{arccot (\sqrt{x})}{1} = \frac{\arctan (x)}{- 1} + \frac{- \frac{π}{2}}{- 1}$

解题步骤 1.9.2.2

用 $arccot (\sqrt{x})$ 除以 $1$ 。

$arccot (\sqrt{x}) = \frac{\arctan (x)}{- 1} + \frac{- \frac{π}{2}}{- 1}$

解题步骤 1.9.3

化简右边。

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解题步骤 1.9.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.9.3.1.1

移动 $\frac{\arctan (x)}{- 1}$ 中分母的负号。

$arccot (\sqrt{x}) = - 1 \cdot \arctan (x) + \frac{- \frac{π}{2}}{- 1}$

解题步骤 1.9.3.1.2

将 $- 1 \cdot \arctan (x)$ 重写为 $- \arctan (x)$ 。

$arccot (\sqrt{x}) = - \arctan (x) + \frac{- \frac{π}{2}}{- 1}$

解题步骤 1.9.3.1.3

将两个负数相除得到一个正数。

$arccot (\sqrt{x}) = - \arctan (x) + \frac{\frac{π}{2}}{1}$

解题步骤 1.9.3.1.4

用 $\frac{π}{2}$ 除以 $1$ 。

$arccot (\sqrt{x}) = - \arctan (x) + \frac{π}{2}$

解题步骤 1.10

Take the inverse arccotangent of both sides of the equation to extract $\sqrt{x}$ from inside the arccotangent.

$\sqrt{x} = \cot (- \arctan (x) + \frac{π}{2})$

解题步骤 2

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行平方。

${\sqrt{x}}^{2} = \cot^{2} (- \arctan (x) + \frac{π}{2})$

解题步骤 3

化简方程的两边。

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解题步骤 3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = \cot^{2} (- \arctan (x) + \frac{π}{2})$

解题步骤 3.2

化简左边。

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解题步骤 3.2.1

化简 ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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解题步骤 3.2.1.1

将 ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.2.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = \cot^{2} (- \arctan (x) + \frac{π}{2})$

解题步骤 3.2.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1.1.2.1

约去公因数。

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = \cot^{2} (- \arctan (x) + \frac{π}{2})$

解题步骤 3.2.1.1.2.2

重写表达式。

$x^{1} = \cot^{2} (- \arctan (x) + \frac{π}{2})$

解题步骤 3.2.1.2

化简。

$x = \cot^{2} (- \arctan (x) + \frac{π}{2})$

解题步骤 4

求解 $x$ 。

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解题步骤 4.1

从等式两边同时减去 $\cot^{2} (- \arctan (x) + \frac{π}{2})$ 。

$x - \cot^{2} (- \arctan (x) + \frac{π}{2}) = 0$

解题步骤 4.2

化简每一项。

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解题步骤 4.2.1

重新整理项。

$x - \cot^{2} (\frac{π}{2} - \arctan (x)) = 0$

解题步骤 4.2.2

应用角度恒等式的差。

$x - {(\frac{\cot (\frac{π}{2}) \cot (\arctan (x)) + 1}{\cot (\arctan (x)) - \cot (\frac{π}{2})})}^{2} = 0$

解题步骤 4.2.3

化简分子。

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解题步骤 4.2.3.1

$\cot (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $0$ 。

$x - {(\frac{0 \cot (\arctan (x)) + 1}{\cot (\arctan (x)) - \cot (\frac{π}{2})})}^{2} = 0$

解题步骤 4.2.3.2

在平面中画出顶点为 $(1, x)$ 、 $(1, 0)$ 和原点的三角形。则 $\arctan (x)$ 是在 x 轴的正轴与从原点开始并穿过 $(1, x)$ 的射线之间形成的一个角。因此， $\cot (\arctan (x))$ 为 $\frac{1}{x}$ 。

$x - {(\frac{0 (\frac{1}{x}) + 1}{\cot (\arctan (x)) - \cot (\frac{π}{2})})}^{2} = 0$

解题步骤 4.2.3.3

将 $0$ 乘以 $\frac{1}{x}$ 。

$x - {(\frac{0 + 1}{\cot (\arctan (x)) - \cot (\frac{π}{2})})}^{2} = 0$

解题步骤 4.2.3.4

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$x - {(\frac{1}{\cot (\arctan (x)) - \cot (\frac{π}{2})})}^{2} = 0$

解题步骤 4.2.4

化简分母。

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解题步骤 4.2.4.1

$x - {(\frac{1}{\frac{1}{x} - \cot (\frac{π}{2})})}^{2} = 0$

解题步骤 4.2.4.2

$\cot (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $0$ 。

$x - {(\frac{1}{\frac{1}{x} - 0})}^{2} = 0$

解题步骤 4.2.4.3

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$x - {(\frac{1}{\frac{1}{x} + 0})}^{2} = 0$

解题步骤 4.2.4.4

将 $\frac{1}{x}$ 和 $0$ 相加。

$x - {(\frac{1}{\frac{1}{x}})}^{2} = 0$

解题步骤 4.2.5

将分子乘以分母的倒数。

$x - {(1 x)}^{2} = 0$

解题步骤 4.2.6

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$x - x^{2} = 0$

解题步骤 4.3

从 $x - x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 4.3.1

从 $x^{1}$ 中分解出因数 $x$ 。

$x \cdot 1 - x^{2} = 0$

解题步骤 4.3.2

从 $- x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$x \cdot 1 + x (- x) = 0$

解题步骤 4.3.3

从 $x \cdot 1 + x (- x)$ 中分解出因数 $x$ 。

$x (1 - x) = 0$

解题步骤 4.4

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x = 0$

$1 - x = 0$

解题步骤 4.5

将 $x$ 设为等于 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 4.6

将 $1 - x$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 4.6.1

将 $1 - x$ 设为等于 $0$ 。

$1 - x = 0$

解题步骤 4.6.2

求解 $x$ 的 $1 - x = 0$ 。

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解题步骤 4.6.2.1

从等式两边同时减去 $1$ 。

$- x = - 1$

解题步骤 4.6.2.2

将 $- x = - 1$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 4.6.2.2.1

将 $- x = - 1$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

解题步骤 4.6.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 4.6.2.2.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

解题步骤 4.6.2.2.2.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{- 1}{- 1}$

解题步骤 4.6.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 4.6.2.2.3.1

用 $- 1$ 除以 $- 1$ 。

$x = 1$

解题步骤 4.7

最终解为使 $x (1 - x) = 0$ 成立的所有值。

$x = 0, 1$

解题步骤 5

排除不能使 $arccot (\sqrt{x}) + \arctan (x) = \frac{π}{2}$ 成立的解。

$x = 1$

代数 示例

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