代数示例

$\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1} + \frac{1}{x + 1} + \frac{1}{x - 1}$

解题步骤 1

化简分母。

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解题步骤 1.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\frac{x^{2} + 1}{x^{2} - 1^{2}} + \frac{1}{x + 1} + \frac{1}{x - 1}$

解题步骤 1.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 1$ 。

$\frac{x^{2} + 1}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{1}{x + 1} + \frac{1}{x - 1}$

解题步骤 2

求公分母。

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解题步骤 2.1

将 $\frac{1}{x + 1}$ 乘以 $\frac{x - 1}{x - 1}$ 。

$\frac{x^{2} + 1}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{1}{x + 1} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} + \frac{1}{x - 1}$

解题步骤 2.2

将 $\frac{1}{x + 1}$ 乘以 $\frac{x - 1}{x - 1}$ 。

$\frac{x^{2} + 1}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{x - 1}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{1}{x - 1}$

解题步骤 2.3

将 $\frac{1}{x - 1}$ 乘以 $\frac{x + 1}{x + 1}$ 。

$\frac{x^{2} + 1}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{x - 1}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{x + 1}{x + 1}$

解题步骤 2.4

将 $\frac{1}{x - 1}$ 乘以 $\frac{x + 1}{x + 1}$ 。

$\frac{x^{2} + 1}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{x - 1}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{x + 1}{(x - 1) (x + 1)}$

解题步骤 2.5

重新排序 $(x - 1) (x + 1)$ 的因式。

$\frac{x^{2} + 1}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{x - 1}{(x + 1) (x - 1)} + \frac{x + 1}{(x + 1) (x - 1)}$

解题步骤 3

化简项。

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解题步骤 3.1

在公分母上合并分子。

$\frac{x^{2} + 1 + x - 1 + x + 1}{(x + 1) (x - 1)}$

解题步骤 3.2

合并 $x^{2} + 1 + x - 1 + x + 1$ 中相反的项。

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解题步骤 3.2.1

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$\frac{x^{2} + x + 0 + x + 1}{(x + 1) (x - 1)}$

解题步骤 3.2.2

将 $x^{2} + x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{x^{2} + x + x + 1}{(x + 1) (x - 1)}$

解题步骤 3.3

将 $x$ 和 $x$ 相加。

$\frac{x^{2} + 2 x + 1}{(x + 1) (x - 1)}$

解题步骤 4

使用完全平方法则进行因式分解。

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解题步骤 4.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\frac{x^{2} + 2 x + 1^{2}}{(x + 1) (x - 1)}$

解题步骤 4.2

请检查中间项是否为第一项被平方数和第三项被平方数的乘积的两倍。

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

解题步骤 4.3

重写多项式。

$\frac{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}}{(x + 1) (x - 1)}$

解题步骤 4.4

使用完全平方三项式法则对 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 1$ 。

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{(x + 1) (x - 1)}$

解题步骤 5

约去 ${(x + 1)}^{2}$ 和 $x + 1$ 的公因数。

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解题步骤 5.1

从 ${(x + 1)}^{2}$ 中分解出因数 $x + 1$ 。

$\frac{(x + 1) (x + 1)}{(x + 1) (x - 1)}$

解题步骤 5.2

约去公因数。

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解题步骤 5.2.1

约去公因数。

$\frac{(x + 1) (x + 1)}{(x + 1) (x - 1)}$

解题步骤 5.2.2

重写表达式。

$\frac{x + 1}{x - 1}$

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