代数示例

$f (x) = \sqrt{9 x^{2}}$

解题步骤 1

将 $f (x) = \sqrt{9 x^{2}}$ 写为等式。

$y = \sqrt{9 x^{2}}$

解题步骤 2

交换变量。

$x = \sqrt{9 y^{2}}$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

将方程重写为 $\sqrt{9 y^{2}} = x$ 。

$\sqrt{9 y^{2}} = x$

解题步骤 3.2

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行平方。

${\sqrt{9 y^{2}}}^{2} = x^{2}$

解题步骤 3.3

化简方程的两边。

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解题步骤 3.3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{9 y^{2}}$ 重写成 ${(9 y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 。

${({(9 y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

解题步骤 3.3.2

化简左边。

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解题步骤 3.3.2.1

化简 ${({(9 y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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解题步骤 3.3.2.1.1

将 ${({(9 y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.3.2.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

${(9 y^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

解题步骤 3.3.2.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.2.1.1.2.1

约去公因数。

${(9 y^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

解题步骤 3.3.2.1.1.2.2

重写表达式。

${(9 y^{2})}^{1} = x^{2}$

解题步骤 3.3.2.1.2

化简。

$9 y^{2} = x^{2}$

解题步骤 3.4

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.4.1

将 $9 y^{2} = x^{2}$ 中的每一项除以 $9$ 并化简。

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解题步骤 3.4.1.1

将 $9 y^{2} = x^{2}$ 中的每一项都除以 $9$ 。

$\frac{9 y^{2}}{9} = \frac{x^{2}}{9}$

解题步骤 3.4.1.2

化简左边。

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解题步骤 3.4.1.2.1

约去 $9$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.1.2.1.1

约去公因数。

$\frac{9 y^{2}}{9} = \frac{x^{2}}{9}$

解题步骤 3.4.1.2.1.2

用 $y^{2}$ 除以 $1$ 。

$y^{2} = \frac{x^{2}}{9}$

解题步骤 3.4.2

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2}}{9}}$

解题步骤 3.4.3

化简 $\pm \sqrt{\frac{x^{2}}{9}}$ 。

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解题步骤 3.4.3.1

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$y = \pm \sqrt{\frac{x^{2}}{3^{2}}}$

解题步骤 3.4.3.2

将 $\frac{x^{2}}{3^{2}}$ 重写为 ${(\frac{x}{3})}^{2}$ 。

$y = \pm \sqrt{{(\frac{x}{3})}^{2}}$

解题步骤 3.4.3.3

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$y = \pm \frac{x}{3}$

解题步骤 3.4.4

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 3.4.4.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$y = \frac{x}{3}$

解题步骤 3.4.4.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$y = - \frac{x}{3}$

解题步骤 3.4.4.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$y = \frac{x}{3}$

$y = - \frac{x}{3}$

$y = \frac{x}{3}$

$y = - \frac{x}{3}$

$y = \frac{x}{3}$

$y = - \frac{x}{3}$

$y = \frac{x}{3}$

$y = - \frac{x}{3}$

解题步骤 4

使用 $f^{- 1} (x)$ 替换 $y$ ，以得到最终答案。

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{3}, - \frac{x}{3}$

解题步骤 5

验证 $f^{- 1} (x) = \frac{x}{3}, - \frac{x}{3}$ 是否为 $f (x) = \sqrt{9 x^{2}}$ 的反函数。

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解题步骤 5.1

反函数的值域为原函数的定义域，反之亦然。求 $f (x) = \sqrt{9 x^{2}}$ 和 $f^{- 1} (x) = \frac{x}{3}, - \frac{x}{3}$ 的值域及定义域，并将结果进行比较。

解题步骤 5.2

求 $f (x) = \sqrt{9 x^{2}}$ 的值域。

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解题步骤 5.2.1

值域为全部有效 $y$ 值的集合。可使用图像找出值域。

区间计数法：

$(- \infty, \infty)$

解题步骤 5.3

求 $\frac{x}{3}$ 的定义域。

$(- \infty, \infty)$

解题步骤 5.4

由于 $f^{- 1} (x) = \frac{x}{3}, - \frac{x}{3}$ 的定义域为 $f (x) = \sqrt{9 x^{2}}$ 的值域，而 $f^{- 1} (x) = \frac{x}{3}, - \frac{x}{3}$ 的值域又为 $f (x) = \sqrt{9 x^{2}}$ 的定义域，因此 $f^{- 1} (x) = \frac{x}{3}, - \frac{x}{3}$ 为 $f (x) = \sqrt{9 x^{2}}$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{3}, - \frac{x}{3}$

解题步骤 6

代数 示例

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