代数示例

$3^{x + 2} + 3^{1 - x} > 28$

解题步骤 1

将 $3^{x + 2}$ 重写为 $3^{x} \cdot 3^{2}$ 。

$3^{x} \cdot 3^{2} + 3^{1 - x} = 28$

解题步骤 2

将 $3^{1 - x}$ 重写为 $3^{1} \cdot 3^{- x}$ 。

$3^{x} \cdot 3^{2} + 3 \cdot 3^{- x} = 28$

解题步骤 3

将 $3^{- x}$ 重写为乘方形式。

$3^{x} \cdot 3^{2} + 3 \cdot {(3^{x})}^{- 1} = 28$

解题步骤 4

代入 $u$ 替换 $3^{x}$ 。

$u \cdot 3^{2} + 3 \cdot u^{- 1} = 28$

解题步骤 5

化简每一项。

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解题步骤 5.1

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$u \cdot 9 + 3 \cdot u^{- 1} = 28$

解题步骤 5.2

将 $9$ 移到 $u$ 的左侧。

$9 u + 3 \cdot u^{- 1} = 28$

解题步骤 5.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$9 u + 3 \cdot \frac{1}{u} = 28$

解题步骤 5.4

组合 $3$ 和 $\frac{1}{u}$ 。

$9 u + \frac{3}{u} = 28$

解题步骤 6

求解 $u$ 。

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解题步骤 6.1

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

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解题步骤 6.1.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

$1, u, 1$

解题步骤 6.1.2

1 和任何表达式的最小公倍数就是该表达式。

$u$

解题步骤 6.2

将 $9 u + \frac{3}{u} = 28$ 中的每一项乘以 $u$ 以消去分数。

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解题步骤 6.2.1

将 $9 u + \frac{3}{u} = 28$ 中的每一项乘以 $u$ 。

$9 u \cdot u + \frac{3}{u} u = 28 u$

解题步骤 6.2.2

化简左边。

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解题步骤 6.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.2.2.1.1

通过指数相加将 $u$ 乘以 $u$ 。

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解题步骤 6.2.2.1.1.1

移动 $u$ 。

$9 (u \cdot u) + \frac{3}{u} u = 28 u$

解题步骤 6.2.2.1.1.2

将 $u$ 乘以 $u$ 。

$9 u^{2} + \frac{3}{u} u = 28 u$

解题步骤 6.2.2.1.2

约去 $u$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.2.1.2.1

约去公因数。

$9 u^{2} + \frac{3}{u} u = 28 u$

解题步骤 6.2.2.1.2.2

重写表达式。

$9 u^{2} + 3 = 28 u$

解题步骤 6.3

求解方程。

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解题步骤 6.3.1

从等式两边同时减去 $28 u$ 。

$9 u^{2} + 3 - 28 u = 0$

解题步骤 6.3.2

分组因式分解。

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解题步骤 6.3.2.1

重新排序项。

$9 u^{2} - 28 u + 3 = 0$

解题步骤 6.3.2.2

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = 9 \cdot 3 = 27$ 并且它们的和为 $b = - 28$ 。

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解题步骤 6.3.2.2.1

从 $- 28 u$ 中分解出因数 $- 28$ 。

$9 u^{2} - 28 u + 3 = 0$

解题步骤 6.3.2.2.2

把 $- 28$ 重写为 $- 1$ 加 $- 27$

$9 u^{2} + (- 1 - 27) u + 3 = 0$

解题步骤 6.3.2.2.3

运用分配律。

$9 u^{2} - 1 u - 27 u + 3 = 0$

解题步骤 6.3.2.3

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 6.3.2.3.1

将首两项和最后两项分成两组。

$(9 u^{2} - 1 u) - 27 u + 3 = 0$

解题步骤 6.3.2.3.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$u (9 u - 1) - 3 (9 u - 1) = 0$

解题步骤 6.3.2.4

通过因式分解出最大公因数 $9 u - 1$ 来因式分解多项式。

$(9 u - 1) (u - 3) = 0$

解题步骤 6.3.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$9 u - 1 = 0$

$u - 3 = 0$

解题步骤 6.3.4

将 $9 u - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $u$ 。

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解题步骤 6.3.4.1

将 $9 u - 1$ 设为等于 $0$ 。

$9 u - 1 = 0$

解题步骤 6.3.4.2

求解 $u$ 的 $9 u - 1 = 0$ 。

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解题步骤 6.3.4.2.1

在等式两边都加上 $1$ 。

$9 u = 1$

解题步骤 6.3.4.2.2

将 $9 u = 1$ 中的每一项除以 $9$ 并化简。

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解题步骤 6.3.4.2.2.1

将 $9 u = 1$ 中的每一项都除以 $9$ 。

$\frac{9 u}{9} = \frac{1}{9}$

解题步骤 6.3.4.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 6.3.4.2.2.2.1

约去 $9$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.4.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{9 u}{9} = \frac{1}{9}$

解题步骤 6.3.4.2.2.2.1.2

用 $u$ 除以 $1$ 。

$u = \frac{1}{9}$

解题步骤 6.3.5

将 $u - 3$ 设为等于 $0$ 并求解 $u$ 。

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解题步骤 6.3.5.1

将 $u - 3$ 设为等于 $0$ 。

$u - 3 = 0$

解题步骤 6.3.5.2

在等式两边都加上 $3$ 。

$u = 3$

解题步骤 6.3.6

最终解为使 $(9 u - 1) (u - 3) = 0$ 成立的所有值。

$u = \frac{1}{9}, 3$

解题步骤 7

代入 $\frac{1}{9}$ 替换 $u = 3^{x}$ 中的 $u$ 。

$\frac{1}{9} = 3^{x}$

解题步骤 8

求解 $\frac{1}{9} = 3^{x}$ 。

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解题步骤 8.1

将方程重写为 $3^{x} = \frac{1}{9}$ 。

$3^{x} = \frac{1}{9}$

解题步骤 8.2

对 $9$ 进行 $1$ 次方运算。

$3^{x} = \frac{1}{9^{1}}$

解题步骤 8.3

使用负指数规则 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ 将 $9^{1}$ 移动到分子。

$3^{x} = 9^{- 1}$

解题步骤 8.4

在方程中创建底数相同的对等表达式。

$3^{x} = 3^{- 2}$

解题步骤 8.5

因为底相同，所以两个表达式仅当指数也相等时才会相等。

$x = - 2$

解题步骤 9

代入 $3$ 替换 $u = 3^{x}$ 中的 $u$ 。

$3 = 3^{x}$

解题步骤 10

求解 $3 = 3^{x}$ 。

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解题步骤 10.1

将方程重写为 $3^{x} = 3$ 。

$3^{x} = 3$

解题步骤 10.2

在方程中创建底数相同的对等表达式。

$3^{x} = 3^{1}$

解题步骤 10.3

因为底相同，所以两个表达式仅当指数也相等时才会相等。

$x = 1$

解题步骤 11

列出使方程成立的解。

$x = - 2, 1$

解题步骤 12

使用每一个根建立验证区间。

$x < - 2$

$- 2 < x < 1$

$x > 1$

解题步骤 13

从每个区间中选择一个测试值并将其代入原不等式中以判定哪些区间能满足不等式。

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解题步骤 13.1

检验区间 $x < - 2$ 上的值是否使不等式成立。

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解题步骤 13.1.1

选择区间 $x < - 2$ 上的一个值并查看该数值是否能使原不等式成立。

$x = - 4$

解题步骤 13.1.2

使用原不等式中的 $- 4$ 替换 $x$ 。

$3^{(- 4) + 2} + 3^{1 - (- 4)} > 28$

解题步骤 13.1.3

左边的 $243.\overline{1}$ 大于右边的 $28$ ，即给定的命题恒为真命题。

真

解题步骤 13.2

检验区间 $- 2 < x < 1$ 上的值是否使不等式成立。

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解题步骤 13.2.1

选择区间 $- 2 < x < 1$ 上的一个值并查看该数值是否能使原不等式成立。

$x = 0$

解题步骤 13.2.2

使用原不等式中的 $0$ 替换 $x$ 。

$3^{(0) + 2} + 3^{1 - (0)} > 28$

解题步骤 13.2.3

左边的 $12$ 不大于右边的 $28$ ，即给定的命题是假命题。

假

解题步骤 13.3

检验区间 $x > 1$ 上的值是否使不等式成立。

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解题步骤 13.3.1

选择区间 $x > 1$ 上的一个值并查看该数值是否能使原不等式成立。

$x = 4$

解题步骤 13.3.2

使用原不等式中的 $4$ 替换 $x$ 。

$3^{(4) + 2} + 3^{1 - (4)} > 28$

解题步骤 13.3.3

左边的 $729.\overline{037}$ 大于右边的 $28$ ，即给定的命题恒为真命题。

真

解题步骤 13.4

比较各区间以判定哪些区间能满足原不等式。

$x < - 2$ 为真

$- 2 < x < 1$ 为假

$x > 1$ 为真

$x < - 2$ 为真

$- 2 < x < 1$ 为假

$x > 1$ 为真

解题步骤 14

解由使等式成立的所有区间组成。

$x < - 2$ 或 $x > 1$

解题步骤 15

结果可以多种形式表示。

不等式形式：

$x < - 2 or x > 1$

区间计数法：

$(- \infty, - 2) \cup (1, \infty)$

解题步骤 16

代数 示例

代数示例