代数示例

$\frac{x + 2}{x + 3} - \frac{5}{x^{2} + x - 6} + \frac{1}{2 - x}$

解题步骤 1

使用 AC 法来对 $x^{2} + x - 6$ 进行因式分解。

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解题步骤 1.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 6$ ，和为 $1$ 。

$- 2, 3$

解题步骤 1.2

使用这些整数书写分数形式。

$\frac{x + 2}{x + 3} - \frac{5}{(x - 2) (x + 3)} + \frac{1}{2 - x}$

解题步骤 2

要将 $\frac{x + 2}{x + 3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x - 2}{x - 2}$ 。

$\frac{x + 2}{x + 3} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} - \frac{5}{(x - 2) (x + 3)} + \frac{1}{2 - x}$

解题步骤 3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $(x + 3) (x - 2)$ 的形式。

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解题步骤 3.1

将 $\frac{x + 2}{x + 3}$ 乘以 $\frac{x - 2}{x - 2}$ 。

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{(x + 3) (x - 2)} - \frac{5}{(x - 2) (x + 3)} + \frac{1}{2 - x}$

解题步骤 3.2

重新排序 $(x - 2) (x + 3)$ 的因式。

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{(x + 3) (x - 2)} - \frac{5}{(x + 3) (x - 2)} + \frac{1}{2 - x}$

解题步骤 4

化简项。

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解题步骤 4.1

在公分母上合并分子。

$\frac{(x + 2) (x - 2) - 5}{(x + 3) (x - 2)} + \frac{1}{2 - x}$

解题步骤 4.2

化简每一项。

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解题步骤 4.2.1

化简分子。

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解题步骤 4.2.1.1

使用 FOIL 方法展开 $(x + 2) (x - 2)$ 。

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解题步骤 4.2.1.1.1

运用分配律。

$\frac{x (x - 2) + 2 (x - 2) - 5}{(x + 3) (x - 2)} + \frac{1}{2 - x}$

解题步骤 4.2.1.1.2

运用分配律。

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 (x - 2) - 5}{(x + 3) (x - 2)} + \frac{1}{2 - x}$

解题步骤 4.2.1.1.3

运用分配律。

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2 - 5}{(x + 3) (x - 2)} + \frac{1}{2 - x}$

解题步骤 4.2.1.2

合并 $x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2$ 中相反的项。

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解题步骤 4.2.1.2.1

按照 $x \cdot - 2$ 和 $2 x$ 重新排列因数。

$\frac{x \cdot x - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2 - 5}{(x + 3) (x - 2)} + \frac{1}{2 - x}$

解题步骤 4.2.1.2.2

将 $- 2 x$ 和 $2 x$ 相加。

$\frac{x \cdot x + 0 + 2 \cdot - 2 - 5}{(x + 3) (x - 2)} + \frac{1}{2 - x}$

解题步骤 4.2.1.2.3

将 $x \cdot x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{x \cdot x + 2 \cdot - 2 - 5}{(x + 3) (x - 2)} + \frac{1}{2 - x}$

解题步骤 4.2.1.3

化简每一项。

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解题步骤 4.2.1.3.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{x^{2} + 2 \cdot - 2 - 5}{(x + 3) (x - 2)} + \frac{1}{2 - x}$

解题步骤 4.2.1.3.2

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{x^{2} - 4 - 5}{(x + 3) (x - 2)} + \frac{1}{2 - x}$

解题步骤 4.2.1.4

从 $- 4$ 中减去 $5$ 。

$\frac{x^{2} - 9}{(x + 3) (x - 2)} + \frac{1}{2 - x}$

解题步骤 4.2.1.5

以因式分解的形式重写 $x^{2} - 9$ 。

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解题步骤 4.2.1.5.1

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$\frac{x^{2} - 3^{2}}{(x + 3) (x - 2)} + \frac{1}{2 - x}$

解题步骤 4.2.1.5.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 3$ 。

$\frac{(x + 3) (x - 3)}{(x + 3) (x - 2)} + \frac{1}{2 - x}$

解题步骤 4.2.2

约去 $x + 3$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.2.1

约去公因数。

$\frac{(x + 3) (x - 3)}{(x + 3) (x - 2)} + \frac{1}{2 - x}$

解题步骤 4.2.2.2

重写表达式。

$\frac{x - 3}{x - 2} + \frac{1}{2 - x}$

解题步骤 4.3

化简项。

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解题步骤 4.3.1

将 $2$ 重写为 $- 1 (- 2)$ 。

$\frac{x - 3}{x - 2} + \frac{1}{- 1 (- 2) - x}$

解题步骤 4.3.2

从 $- x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{x - 3}{x - 2} + \frac{1}{- 1 (- 2) - (x)}$

解题步骤 4.3.3

从 $- 1 (- 2) - (x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{x - 3}{x - 2} + \frac{1}{- 1 (- 2 + x)}$

解题步骤 4.3.4

化简表达式。

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解题步骤 4.3.4.1

将 $\frac{1}{- 1 (- 2 + x)}$ 分母的一个负号移到分子上。

$\frac{x - 3}{x - 2} + \frac{- 1 \cdot 1}{- 2 + x}$

解题步骤 4.3.4.2

重新排序项。

$\frac{x - 3}{x - 2} + \frac{- 1 \cdot 1}{x - 2}$

解题步骤 4.3.5

在公分母上合并分子。

$\frac{x - 3 - 1 \cdot 1}{x - 2}$

解题步骤 5

化简分子。

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解题步骤 5.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x - 3 - 1}{x - 2}$

解题步骤 5.2

从 $- 3$ 中减去 $1$ 。

$\frac{x - 4}{x - 2}$

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