代数示例

$f (x) = - x^{3} + 15 x^{2} - 75 x + 125$

解题步骤 1

将 $- x^{3} + 15 x^{2} - 75 x + 125$ 设为等于 $0$ 。

$- x^{3} + 15 x^{2} - 75 x + 125 = 0$

解题步骤 2

求解 $x$ 。

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解题步骤 2.1

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 2.1.1

重新组合项。

$- x^{3} + 125 + 15 x^{2} - 75 x = 0$

解题步骤 2.1.2

从 $- x^{3} + 125$ 中分解出因数 $- 1$ 。

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解题步骤 2.1.2.1

从 $- x^{3}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- (x^{3}) + 125 + 15 x^{2} - 75 x = 0$

解题步骤 2.1.2.2

将 $125$ 重写为 $- 1 (- 125)$ 。

$- (x^{3}) - 1 \cdot - 125 + 15 x^{2} - 75 x = 0$

解题步骤 2.1.2.3

从 $- (x^{3}) - 1 (- 125)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- (x^{3} - 125) + 15 x^{2} - 75 x = 0$

解题步骤 2.1.3

将 $125$ 重写为 $5^{3}$ 。

$- (x^{3} - 5^{3}) + 15 x^{2} - 75 x = 0$

解题步骤 2.1.4

因为两项都是完全立方数，所以使用立方差公式 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 5$ 。

$- ((x - 5) (x^{2} + x \cdot 5 + 5^{2})) + 15 x^{2} - 75 x = 0$

解题步骤 2.1.5

因数。

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解题步骤 2.1.5.1

化简。

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解题步骤 2.1.5.1.1

将 $5$ 移到 $x$ 的左侧。

$- ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 5^{2})) + 15 x^{2} - 75 x = 0$

解题步骤 2.1.5.1.2

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$- ((x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)) + 15 x^{2} - 75 x = 0$

解题步骤 2.1.5.2

去掉多余的括号。

$- (x - 5) (x^{2} + 5 x + 25) + 15 x^{2} - 75 x = 0$

解题步骤 2.1.6

从 $15 x^{2} - 75 x$ 中分解出因数 $15 x$ 。

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解题步骤 2.1.6.1

从 $15 x^{2}$ 中分解出因数 $15 x$ 。

$- (x - 5) (x^{2} + 5 x + 25) + 15 x (x) - 75 x = 0$

解题步骤 2.1.6.2

从 $- 75 x$ 中分解出因数 $15 x$ 。

$- (x - 5) (x^{2} + 5 x + 25) + 15 x (x) + 15 x (- 5) = 0$

解题步骤 2.1.6.3

从 $15 x (x) + 15 x (- 5)$ 中分解出因数 $15 x$ 。

$- (x - 5) (x^{2} + 5 x + 25) + 15 x (x - 5) = 0$

解题步骤 2.1.7

从 $- (x - 5) (x^{2} + 5 x + 25) + 15 x (x - 5)$ 中分解出因数 $x - 5$ 。

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解题步骤 2.1.7.1

从 $- (x - 5) (x^{2} + 5 x + 25)$ 中分解出因数 $x - 5$ 。

$(x - 5) (- 1 (x^{2} + 5 x + 25)) + 15 x (x - 5) = 0$

解题步骤 2.1.7.2

从 $15 x (x - 5)$ 中分解出因数 $x - 5$ 。

$(x - 5) (- 1 (x^{2} + 5 x + 25)) + (x - 5) (15 x) = 0$

解题步骤 2.1.7.3

从 $(x - 5) (- 1 (x^{2} + 5 x + 25)) + (x - 5) (15 x)$ 中分解出因数 $x - 5$ 。

$(x - 5) (- 1 (x^{2} + 5 x + 25) + 15 x) = 0$

解题步骤 2.1.8

运用分配律。

$(x - 5) (- 1 x^{2} - 1 (5 x) - 1 \cdot 25 + 15 x) = 0$

解题步骤 2.1.9

化简。

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解题步骤 2.1.9.1

将 $- 1 x^{2}$ 重写为 $- x^{2}$ 。

$(x - 5) (- x^{2} - 1 (5 x) - 1 \cdot 25 + 15 x) = 0$

解题步骤 2.1.9.2

将 $5$ 乘以 $- 1$ 。

$(x - 5) (- x^{2} - 5 x - 1 \cdot 25 + 15 x) = 0$

解题步骤 2.1.9.3

将 $- 1$ 乘以 $25$ 。

$(x - 5) (- x^{2} - 5 x - 25 + 15 x) = 0$

解题步骤 2.1.10

将 $- 5 x$ 和 $15 x$ 相加。

$(x - 5) (- x^{2} + 10 x - 25) = 0$

解题步骤 2.1.11

因数。

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解题步骤 2.1.11.1

分组因式分解。

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解题步骤 2.1.11.1.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = - 1 \cdot - 25 = 25$ 并且它们的和为 $b = 10$ 。

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解题步骤 2.1.11.1.1.1

从 $10 x$ 中分解出因数 $10$ 。

$(x - 5) (- x^{2} + 10 (x) - 25) = 0$

解题步骤 2.1.11.1.1.2

把 $10$ 重写为 $5$ 加 $5$

$(x - 5) (- x^{2} + (5 + 5) x - 25) = 0$

解题步骤 2.1.11.1.1.3

运用分配律。

$(x - 5) (- x^{2} + 5 x + 5 x - 25) = 0$

解题步骤 2.1.11.1.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 2.1.11.1.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$(x - 5) ((- x^{2} + 5 x) + 5 x - 25) = 0$

解题步骤 2.1.11.1.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$(x - 5) (x (- x + 5) - 5 (- x + 5)) = 0$

解题步骤 2.1.11.1.3

通过因式分解出最大公因数 $- x + 5$ 来因式分解多项式。

$(x - 5) ((- x + 5) (x - 5)) = 0$

解题步骤 2.1.11.2

去掉多余的括号。

$(x - 5) (- x + 5) (x - 5) = 0$

解题步骤 2.1.12

合并指数。

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解题步骤 2.1.12.1

从 $x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$(- 1 (- x) - 5) (- x + 5) (x - 5) = 0$

解题步骤 2.1.12.2

将 $- 5$ 重写为 $- 1 (5)$ 。

$(- 1 (- x) - 1 \cdot 5) (- x + 5) (x - 5) = 0$

解题步骤 2.1.12.3

从 $- 1 (- x) - 1 (5)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- 1 (- x + 5) (- x + 5) (x - 5) = 0$

解题步骤 2.1.12.4

对 $- x + 5$ 进行 $1$ 次方运算。

$- 1 ((- x + 5) (- x + 5)) (x - 5) = 0$

解题步骤 2.1.12.5

对 $- x + 5$ 进行 $1$ 次方运算。

$- 1 ((- x + 5) (- x + 5)) (x - 5) = 0$

解题步骤 2.1.12.6

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- 1 {(- x + 5)}^{1 + 1} (x - 5) = 0$

解题步骤 2.1.12.7

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- 1 {(- x + 5)}^{2} (x - 5) = 0$

解题步骤 2.1.12.8

从 $- x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- 1 {(- (x) + 5)}^{2} (x - 5) = 0$

解题步骤 2.1.12.9

将 $5$ 重写为 $- 1 (- 5)$ 。

$- 1 {(- (x) - 1 \cdot - 5)}^{2} (x - 5) = 0$

解题步骤 2.1.12.10

从 $- (x) - 1 (- 5)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- 1 {(- (x - 5))}^{2} (x - 5) = 0$

解题步骤 2.1.12.11

将 $- (x - 5)$ 重写为 $- 1 (x - 5)$ 。

$- 1 {(- 1 (x - 5))}^{2} (x - 5) = 0$

解题步骤 2.1.12.12

对 $- 1 (x - 5)$ 运用乘积法则。

$- 1 ({(- 1)}^{2} {(x - 5)}^{2}) (x - 5) = 0$

解题步骤 2.1.12.13

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$- 1 (1 {(x - 5)}^{2}) (x - 5) = 0$

解题步骤 2.1.12.14

将 ${(x - 5)}^{2}$ 乘以 $1$ 。

$- 1 {(x - 5)}^{2} (x - 5) = 0$

解题步骤 2.1.12.15

对 $x - 5$ 进行 $1$ 次方运算。

$- 1 ((x - 5) {(x - 5)}^{2}) = 0$

解题步骤 2.1.12.16

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- 1 {(x - 5)}^{1 + 2} = 0$

解题步骤 2.1.12.17

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$- 1 {(x - 5)}^{3} = 0$

解题步骤 2.2

将 $- 1 {(x - 5)}^{3} = 0$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 2.2.1

将 $- 1 {(x - 5)}^{3} = 0$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- 1 {(x - 5)}^{3}}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

解题步骤 2.2.2

化简左边。

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解题步骤 2.2.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{{(x - 5)}^{3}}{1} = \frac{0}{- 1}$

解题步骤 2.2.2.2

用 ${(x - 5)}^{3}$ 除以 $1$ 。

${(x - 5)}^{3} = \frac{0}{- 1}$

解题步骤 2.2.3

化简右边。

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解题步骤 2.2.3.1

用 $0$ 除以 $- 1$ 。

${(x - 5)}^{3} = 0$

解题步骤 2.3

将 $x - 5$ 设为等于 $0$ 。

$x - 5 = 0$

解题步骤 2.4

在等式两边都加上 $5$ 。

$x = 5$ ( $3$ 的倍数)

解题步骤 3

代数 示例

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