代数示例

$f (x) < - \sqrt{x + 2} - 4$

解题步骤 1

从不等式两边同时减去 $f (x)$ 。

$0 < - \sqrt{x + 2} - 4 - f (x)$

解题步骤 2

求边界线的斜率和 y 轴截距。

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解题步骤 2.1

重写为斜截式。

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解题步骤 2.1.1

斜截式为 $y = m x + b$ ，其中 $m$ 是斜率， $b$ 是 y 轴截距。

$y = m x + b$

解题步骤 2.1.2

重写为 $x$ 在不等式左边的形式。

$- \sqrt{x + 2} - 4 - f (x) > 0$

解题步骤 2.1.3

将所有不包含 $- \sqrt{x + 2}$ 的项移到不等式右边。

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解题步骤 2.1.3.1

在不等式两边同时加上 $4$ 。

$- \sqrt{x + 2} - f (x) > 4$

解题步骤 2.1.3.2

在不等式两边同时加上 $f (x)$ 。

$- \sqrt{x + 2} > 4 + f (x)$

解题步骤 2.1.4

要去掉不等式左边的根式，请对不等式两边进行立方。

${(- \sqrt{x + 2})}^{2} > {(4 + f (x))}^{2}$

解题步骤 2.1.5

化简不等式的两边。

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解题步骤 2.1.5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x + 2}$ 重写成 ${(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ 。

${(- {(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} > {(4 + f (x))}^{2}$

解题步骤 2.1.5.2

化简左边。

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解题步骤 2.1.5.2.1

化简 ${(- {(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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解题步骤 2.1.5.2.1.1

对 $- {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ 运用乘积法则。

${(- 1)}^{2} {({(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} > {(4 + f (x))}^{2}$

解题步骤 2.1.5.2.1.2

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$1 {({(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} > {(4 + f (x))}^{2}$

解题步骤 2.1.5.2.1.3

将 ${({(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 乘以 $1$ 。

${({(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} > {(4 + f (x))}^{2}$

解题步骤 2.1.5.2.1.4

将 ${({(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.1.5.2.1.4.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

${(x + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} > {(4 + f (x))}^{2}$

解题步骤 2.1.5.2.1.4.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.5.2.1.4.2.1

约去公因数。

${(x + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} > {(4 + f (x))}^{2}$

解题步骤 2.1.5.2.1.4.2.2

重写表达式。

${(x + 2)}^{1} > {(4 + f (x))}^{2}$

解题步骤 2.1.5.2.1.5

化简。

$x + 2 > {(4 + f (x))}^{2}$

解题步骤 2.1.5.3

化简右边。

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解题步骤 2.1.5.3.1

化简 ${(4 + f (x))}^{2}$ 。

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解题步骤 2.1.5.3.1.1

将 ${(4 + f (x))}^{2}$ 重写为 $(4 + f (x)) (4 + f (x))$ 。

$x + 2 > (4 + f (x)) (4 + f (x))$

解题步骤 2.1.5.3.1.2

使用 FOIL 方法展开 $(4 + f (x)) (4 + f (x))$ 。

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解题步骤 2.1.5.3.1.2.1

运用分配律。

$x + 2 > 4 (4 + f (x)) + f (x) (4 + f (x))$

解题步骤 2.1.5.3.1.2.2

运用分配律。

$x + 2 > 4 \cdot 4 + 4 f (x) + f (x) (4 + f (x))$

解题步骤 2.1.5.3.1.2.3

运用分配律。

$x + 2 > 4 \cdot 4 + 4 f (x) + f (x) \cdot 4 + f (x) f (x)$

解题步骤 2.1.5.3.1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 2.1.5.3.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.5.3.1.3.1.1

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$x + 2 > 16 + 4 f (x) + f (x) \cdot 4 + f (x) f (x)$

解题步骤 2.1.5.3.1.3.1.2

将 $4$ 移到 $f (x)$ 的左侧。

$x + 2 > 16 + 4 f (x) + 4 \cdot f (x) + f (x) f (x)$

解题步骤 2.1.5.3.1.3.1.3

乘以 $f (x) f (x)$ 。

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解题步骤 2.1.5.3.1.3.1.3.1

对 $f (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$x + 2 > 16 + 4 f (x) + 4 f (x) + {f (x)}^{1} f (x)$

解题步骤 2.1.5.3.1.3.1.3.2

对 $f (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$x + 2 > 16 + 4 f (x) + 4 f (x) + {f (x)}^{1} {f (x)}^{1}$

解题步骤 2.1.5.3.1.3.1.3.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x + 2 > 16 + 4 f (x) + 4 f (x) + {f (x)}^{1 + 1}$

解题步骤 2.1.5.3.1.3.1.3.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$x + 2 > 16 + 4 f (x) + 4 f (x) + {f (x)}^{2}$

解题步骤 2.1.5.3.1.3.2

将 $4 f (x)$ 和 $4 f (x)$ 相加。

$x + 2 > 16 + 8 f (x) + {f (x)}^{2}$

解题步骤 2.1.6

求解 $x$ 。

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解题步骤 2.1.6.1

重写为 $x$ 在不等式左边的形式。

$16 + 8 f x + f x^{2} < x + 2$

解题步骤 2.1.6.2

从不等式两边同时减去 $x$ 。

$16 + 8 f x + f x^{2} - x < 2$

解题步骤 2.1.6.3

将所有项移到等式左边并化简。

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解题步骤 2.1.6.3.1

从不等式两边同时减去 $2$ 。

$16 + 8 f x + f x^{2} - x - 2 < 0$

解题步骤 2.1.6.3.2

从 $16$ 中减去 $2$ 。

$8 f x + f x^{2} - x + 14 < 0$

解题步骤 2.1.6.4

把不等式转换成方程。

$8 f x + f x^{2} - x + 14 = 0$

解题步骤 2.1.6.5

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 2.1.6.6

将 $a = f$ 、 $b = 8 f - 1$ 和 $c = 14$ 的值代入二次公式中并求解 $x$ 。

$\frac{- (8 f - 1) \pm \sqrt{{(8 f - 1)}^{2} - 4 \cdot (f \cdot 14)}}{2 f}$

解题步骤 2.1.6.7

化简分子。

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解题步骤 2.1.6.7.1

运用分配律。

$x = \frac{- (8 f) + 1 \pm \sqrt{{(8 f - 1)}^{2} - 4 \cdot f \cdot 14}}{2 f}$

解题步骤 2.1.6.7.2

将 $8$ 乘以 $- 1$ 。

$x = \frac{- 8 f + 1 \pm \sqrt{{(8 f - 1)}^{2} - 4 \cdot f \cdot 14}}{2 f}$

解题步骤 2.1.6.7.3

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$x = \frac{- 8 f + 1 \pm \sqrt{{(8 f - 1)}^{2} - 4 \cdot f \cdot 14}}{2 f}$

解题步骤 2.1.6.7.4

将 ${(8 f - 1)}^{2}$ 重写为 $(8 f - 1) (8 f - 1)$ 。

$x = \frac{- 8 f + 1 \pm \sqrt{(8 f - 1) (8 f - 1) - 4 \cdot f \cdot 14}}{2 f}$

解题步骤 2.1.6.7.5

使用 FOIL 方法展开 $(8 f - 1) (8 f - 1)$ 。

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解题步骤 2.1.6.7.5.1

运用分配律。

$x = \frac{- 8 f + 1 \pm \sqrt{8 f (8 f - 1) - 1 (8 f - 1) - 4 \cdot f \cdot 14}}{2 f}$

解题步骤 2.1.6.7.5.2

运用分配律。

$x = \frac{- 8 f + 1 \pm \sqrt{8 f (8 f) + 8 f \cdot - 1 - 1 (8 f - 1) - 4 \cdot f \cdot 14}}{2 f}$

解题步骤 2.1.6.7.5.3

运用分配律。

$x = \frac{- 8 f + 1 \pm \sqrt{8 f (8 f) + 8 f \cdot - 1 - 1 (8 f) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot f \cdot 14}}{2 f}$

解题步骤 2.1.6.7.6

化简并合并同类项。

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解题步骤 2.1.6.7.6.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.6.7.6.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$x = \frac{- 8 f + 1 \pm \sqrt{8 \cdot (8 f \cdot f) + 8 f \cdot - 1 - 1 (8 f) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot f \cdot 14}}{2 f}$

解题步骤 2.1.6.7.6.1.2

通过指数相加将 $f$ 乘以 $f$ 。

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解题步骤 2.1.6.7.6.1.2.1

移动 $f$ 。

$x = \frac{- 8 f + 1 \pm \sqrt{8 \cdot (8 (f \cdot f)) + 8 f \cdot - 1 - 1 (8 f) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot f \cdot 14}}{2 f}$

解题步骤 2.1.6.7.6.1.2.2

将 $f$ 乘以 $f$ 。

$x = \frac{- 8 f + 1 \pm \sqrt{8 \cdot (8 f^{2}) + 8 f \cdot - 1 - 1 (8 f) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot f \cdot 14}}{2 f}$

解题步骤 2.1.6.7.6.1.3

将 $8$ 乘以 $8$ 。

$x = \frac{- 8 f + 1 \pm \sqrt{64 f^{2} + 8 f \cdot - 1 - 1 (8 f) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot f \cdot 14}}{2 f}$

解题步骤 2.1.6.7.6.1.4

将 $- 1$ 乘以 $8$ 。

$x = \frac{- 8 f + 1 \pm \sqrt{64 f^{2} - 8 f - 1 (8 f) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot f \cdot 14}}{2 f}$

解题步骤 2.1.6.7.6.1.5

将 $8$ 乘以 $- 1$ 。

$x = \frac{- 8 f + 1 \pm \sqrt{64 f^{2} - 8 f - 8 f - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot f \cdot 14}}{2 f}$

解题步骤 2.1.6.7.6.1.6

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$x = \frac{- 8 f + 1 \pm \sqrt{64 f^{2} - 8 f - 8 f + 1 - 4 \cdot f \cdot 14}}{2 f}$

解题步骤 2.1.6.7.6.2

从 $- 8 f$ 中减去 $8 f$ 。

$x = \frac{- 8 f + 1 \pm \sqrt{64 f^{2} - 16 f + 1 - 4 \cdot f \cdot 14}}{2 f}$

解题步骤 2.1.6.7.7

将 $14$ 乘以 $- 4$ 。

$x = \frac{- 8 f + 1 \pm \sqrt{64 f^{2} - 16 f + 1 - 56 f}}{2 f}$

解题步骤 2.1.6.7.8

从 $- 16 f$ 中减去 $56 f$ 。

$x = \frac{- 8 f + 1 \pm \sqrt{64 f^{2} - 72 f + 1}}{2 f}$

解题步骤 2.1.6.8

化简表达式以求 $\pm$ 在 $+$ 部分的解。

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解题步骤 2.1.6.8.1

将 $\pm$ 变换为 $+$ 。

$x = \frac{- 8 f + 1 + \sqrt{64 f^{2} - 72 f + 1}}{2 f}$

解题步骤 2.1.6.8.2

从 $- 8 f$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x = \frac{- (8 f) + 1 + \sqrt{64 f^{2} - 72 f + 1}}{2 f}$

解题步骤 2.1.6.8.3

将 $1$ 重写为 $- 1 (- 1)$ 。

$x = \frac{- (8 f) - 1 \cdot - 1 + \sqrt{64 f^{2} - 72 f + 1}}{2 f}$

解题步骤 2.1.6.8.4

从 $- (8 f) - 1 (- 1)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x = \frac{- (8 f - 1) + \sqrt{64 f^{2} - 72 f + 1}}{2 f}$

解题步骤 2.1.6.8.5

从 $\sqrt{64 f^{2} - 72 f + 1}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x = \frac{- (8 f - 1) - 1 (- \sqrt{64 f^{2} - 72 f + 1})}{2 f}$

解题步骤 2.1.6.8.6

从 $- (8 f - 1) - 1 (- \sqrt{64 f^{2} - 72 f + 1})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x = \frac{- (8 f - 1 - \sqrt{64 f^{2} - 72 f + 1})}{2 f}$

解题步骤 2.1.6.8.7

将 $- (8 f - 1 - \sqrt{64 f^{2} - 72 f + 1})$ 重写为 $- 1 (8 f - 1 - \sqrt{64 f^{2} - 72 f + 1})$ 。

$x = \frac{- 1 (8 f - 1 - \sqrt{64 f^{2} - 72 f + 1})}{2 f}$

解题步骤 2.1.6.8.8

将负号移到分数的前面。

$x = - \frac{8 f - 1 - \sqrt{64 f^{2} - 72 f + 1}}{2 f}$

解题步骤 2.1.6.9

化简表达式以求 $\pm$ 在 $-$ 部分的解。

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解题步骤 2.1.6.9.1

化简分子。

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解题步骤 2.1.6.9.1.1

运用分配律。

$x = \frac{- (8 f) + 1 \pm \sqrt{{(8 f - 1)}^{2} - 4 \cdot f \cdot 14}}{2 f}$

解题步骤 2.1.6.9.1.2

将 $8$ 乘以 $- 1$ 。

$x = \frac{- 8 f + 1 \pm \sqrt{{(8 f - 1)}^{2} - 4 \cdot f \cdot 14}}{2 f}$

解题步骤 2.1.6.9.1.3

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$x = \frac{- 8 f + 1 \pm \sqrt{{(8 f - 1)}^{2} - 4 \cdot f \cdot 14}}{2 f}$

解题步骤 2.1.6.9.1.4

将 ${(8 f - 1)}^{2}$ 重写为 $(8 f - 1) (8 f - 1)$ 。

$x = \frac{- 8 f + 1 \pm \sqrt{(8 f - 1) (8 f - 1) - 4 \cdot f \cdot 14}}{2 f}$

解题步骤 2.1.6.9.1.5

使用 FOIL 方法展开 $(8 f - 1) (8 f - 1)$ 。

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解题步骤 2.1.6.9.1.5.1

运用分配律。

$x = \frac{- 8 f + 1 \pm \sqrt{8 f (8 f - 1) - 1 (8 f - 1) - 4 \cdot f \cdot 14}}{2 f}$

解题步骤 2.1.6.9.1.5.2

运用分配律。

$x = \frac{- 8 f + 1 \pm \sqrt{8 f (8 f) + 8 f \cdot - 1 - 1 (8 f - 1) - 4 \cdot f \cdot 14}}{2 f}$

解题步骤 2.1.6.9.1.5.3

运用分配律。

$x = \frac{- 8 f + 1 \pm \sqrt{8 f (8 f) + 8 f \cdot - 1 - 1 (8 f) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot f \cdot 14}}{2 f}$

解题步骤 2.1.6.9.1.6

化简并合并同类项。

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解题步骤 2.1.6.9.1.6.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.6.9.1.6.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$x = \frac{- 8 f + 1 \pm \sqrt{8 \cdot (8 f \cdot f) + 8 f \cdot - 1 - 1 (8 f) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot f \cdot 14}}{2 f}$

解题步骤 2.1.6.9.1.6.1.2

通过指数相加将 $f$ 乘以 $f$ 。

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解题步骤 2.1.6.9.1.6.1.2.1

移动 $f$ 。

$x = \frac{- 8 f + 1 \pm \sqrt{8 \cdot (8 (f \cdot f)) + 8 f \cdot - 1 - 1 (8 f) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot f \cdot 14}}{2 f}$

解题步骤 2.1.6.9.1.6.1.2.2

将 $f$ 乘以 $f$ 。

$x = \frac{- 8 f + 1 \pm \sqrt{8 \cdot (8 f^{2}) + 8 f \cdot - 1 - 1 (8 f) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot f \cdot 14}}{2 f}$

解题步骤 2.1.6.9.1.6.1.3

将 $8$ 乘以 $8$ 。

$x = \frac{- 8 f + 1 \pm \sqrt{64 f^{2} + 8 f \cdot - 1 - 1 (8 f) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot f \cdot 14}}{2 f}$

解题步骤 2.1.6.9.1.6.1.4

将 $- 1$ 乘以 $8$ 。

$x = \frac{- 8 f + 1 \pm \sqrt{64 f^{2} - 8 f - 1 (8 f) - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot f \cdot 14}}{2 f}$

解题步骤 2.1.6.9.1.6.1.5

将 $8$ 乘以 $- 1$ 。

$x = \frac{- 8 f + 1 \pm \sqrt{64 f^{2} - 8 f - 8 f - 1 \cdot - 1 - 4 \cdot f \cdot 14}}{2 f}$

解题步骤 2.1.6.9.1.6.1.6

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$x = \frac{- 8 f + 1 \pm \sqrt{64 f^{2} - 8 f - 8 f + 1 - 4 \cdot f \cdot 14}}{2 f}$

解题步骤 2.1.6.9.1.6.2

从 $- 8 f$ 中减去 $8 f$ 。

$x = \frac{- 8 f + 1 \pm \sqrt{64 f^{2} - 16 f + 1 - 4 \cdot f \cdot 14}}{2 f}$

解题步骤 2.1.6.9.1.7

将 $14$ 乘以 $- 4$ 。

$x = \frac{- 8 f + 1 \pm \sqrt{64 f^{2} - 16 f + 1 - 56 f}}{2 f}$

解题步骤 2.1.6.9.1.8

从 $- 16 f$ 中减去 $56 f$ 。

$x = \frac{- 8 f + 1 \pm \sqrt{64 f^{2} - 72 f + 1}}{2 f}$

解题步骤 2.1.6.9.2

将 $\pm$ 变换为 $-$ 。

$x = \frac{- 8 f + 1 - \sqrt{64 f^{2} - 72 f + 1}}{2 f}$

解题步骤 2.1.6.9.3

从 $- 8 f$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x = \frac{- (8 f) + 1 - \sqrt{64 f^{2} - 72 f + 1}}{2 f}$

解题步骤 2.1.6.9.4

将 $1$ 重写为 $- 1 (- 1)$ 。

$x = \frac{- (8 f) - 1 \cdot - 1 - \sqrt{64 f^{2} - 72 f + 1}}{2 f}$

解题步骤 2.1.6.9.5

从 $- (8 f) - 1 (- 1)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x = \frac{- (8 f - 1) - \sqrt{64 f^{2} - 72 f + 1}}{2 f}$

解题步骤 2.1.6.9.6

从 $- \sqrt{64 f^{2} - 72 f + 1}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x = \frac{- (8 f - 1) - (\sqrt{64 f^{2} - 72 f + 1})}{2 f}$

解题步骤 2.1.6.9.7

从 $- (8 f - 1) - (\sqrt{64 f^{2} - 72 f + 1})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x = \frac{- (8 f - 1 + \sqrt{64 f^{2} - 72 f + 1})}{2 f}$

解题步骤 2.1.6.9.8

将 $- (8 f - 1 + \sqrt{64 f^{2} - 72 f + 1})$ 重写为 $- 1 (8 f - 1 + \sqrt{64 f^{2} - 72 f + 1})$ 。

$x = \frac{- 1 (8 f - 1 + \sqrt{64 f^{2} - 72 f + 1})}{2 f}$

解题步骤 2.1.6.9.9

将负号移到分数的前面。

$x = - \frac{8 f - 1 + \sqrt{64 f^{2} - 72 f + 1}}{2 f}$

解题步骤 2.1.6.10

合并解集。

$x = - \frac{8 f - 1 - \sqrt{64 f^{2} - 72 f + 1}}{2 f}$

$x = - \frac{8 f - 1 + \sqrt{64 f^{2} - 72 f + 1}}{2 f}$

$x = - \frac{8 f - 1 - \sqrt{64 f^{2} - 72 f + 1}}{2 f}$

$x = - \frac{8 f - 1 + \sqrt{64 f^{2} - 72 f + 1}}{2 f}$

解题步骤 2.1.7

重写为斜截式。

$= - \frac{8 - 1 - \sqrt{64^{2} - 72 + 1}}{2}$

$= f - \frac{8 f - 1 + \sqrt{64 f^{2} - 72 f + 1}}{2 f}$

$= - \frac{8 - 1 - \sqrt{64^{2} - 72 + 1}}{2}$

$= f - \frac{8 f - 1 + \sqrt{64 f^{2} - 72 f + 1}}{2 f}$

解题步骤 2.2

该方程并非线性方程，因此不存在常数斜率。

非线性

解题步骤 3

画一条虚线，再把界线下方的区域涂上阴影，因为 $y$ 小于 $- \sqrt{x + 2} - 4 - f (x)$ 。

$0 < - \sqrt{x + 2} - 4 - f (x)$

解题步骤 4

代数 示例

代数示例