代数示例

$f (x) = x^{5} - 6 x^{4} + 8 x^{3} + 6 x^{2} - 9 x$

解题步骤 1

将 $x^{5} - 6 x^{4} + 8 x^{3} + 6 x^{2} - 9 x$ 设为等于 $0$ 。

$x^{5} - 6 x^{4} + 8 x^{3} + 6 x^{2} - 9 x = 0$

解题步骤 2

求解 $x$ 。

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解题步骤 2.1

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 2.1.1

从 $x^{5} - 6 x^{4} + 8 x^{3} + 6 x^{2} - 9 x$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 2.1.1.1

从 $x^{5}$ 中分解出因数 $x$ 。

$x \cdot x^{4} - 6 x^{4} + 8 x^{3} + 6 x^{2} - 9 x = 0$

解题步骤 2.1.1.2

从 $- 6 x^{4}$ 中分解出因数 $x$ 。

$x \cdot x^{4} + x (- 6 x^{3}) + 8 x^{3} + 6 x^{2} - 9 x = 0$

解题步骤 2.1.1.3

从 $8 x^{3}$ 中分解出因数 $x$ 。

$x \cdot x^{4} + x (- 6 x^{3}) + x (8 x^{2}) + 6 x^{2} - 9 x = 0$

解题步骤 2.1.1.4

从 $6 x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$x \cdot x^{4} + x (- 6 x^{3}) + x (8 x^{2}) + x (6 x) - 9 x = 0$

解题步骤 2.1.1.5

从 $- 9 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$x \cdot x^{4} + x (- 6 x^{3}) + x (8 x^{2}) + x (6 x) + x \cdot - 9 = 0$

解题步骤 2.1.1.6

从 $x \cdot x^{4} + x (- 6 x^{3})$ 中分解出因数 $x$ 。

$x (x^{4} - 6 x^{3}) + x (8 x^{2}) + x (6 x) + x \cdot - 9 = 0$

解题步骤 2.1.1.7

从 $x (x^{4} - 6 x^{3}) + x (8 x^{2})$ 中分解出因数 $x$ 。

$x (x^{4} - 6 x^{3} + 8 x^{2}) + x (6 x) + x \cdot - 9 = 0$

解题步骤 2.1.1.8

从 $x (x^{4} - 6 x^{3} + 8 x^{2}) + x (6 x)$ 中分解出因数 $x$ 。

$x (x^{4} - 6 x^{3} + 8 x^{2} + 6 x) + x \cdot - 9 = 0$

解题步骤 2.1.1.9

从 $x (x^{4} - 6 x^{3} + 8 x^{2} + 6 x) + x \cdot - 9$ 中分解出因数 $x$ 。

$x (x^{4} - 6 x^{3} + 8 x^{2} + 6 x - 9) = 0$

解题步骤 2.1.2

重新组合项。

$x (- 6 x^{3} + 6 x + x^{4} + 8 x^{2} - 9) = 0$

解题步骤 2.1.3

从 $- 6 x^{3} + 6 x$ 中分解出因数 $- 6 x$ 。

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解题步骤 2.1.3.1

从 $- 6 x^{3}$ 中分解出因数 $- 6 x$ 。

$x (- 6 x \cdot x^{2} + 6 x + x^{4} + 8 x^{2} - 9) = 0$

解题步骤 2.1.3.2

从 $6 x$ 中分解出因数 $- 6 x$ 。

$x (- 6 x \cdot x^{2} - 6 x \cdot - 1 + x^{4} + 8 x^{2} - 9) = 0$

解题步骤 2.1.3.3

从 $- 6 x (x^{2}) - 6 x (- 1)$ 中分解出因数 $- 6 x$ 。

$x (- 6 x (x^{2} - 1) + x^{4} + 8 x^{2} - 9) = 0$

解题步骤 2.1.4

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$x (- 6 x (x^{2} - 1^{2}) + x^{4} + 8 x^{2} - 9) = 0$

解题步骤 2.1.5

因数。

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解题步骤 2.1.5.1

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 1$ 。

$x (- 6 x ((x + 1) (x - 1)) + x^{4} + 8 x^{2} - 9) = 0$

解题步骤 2.1.5.2

去掉多余的括号。

$x (- 6 x (x + 1) (x - 1) + x^{4} + 8 x^{2} - 9) = 0$

解题步骤 2.1.6

将 $x^{4}$ 重写为 ${(x^{2})}^{2}$ 。

$x (- 6 x (x + 1) (x - 1) + {(x^{2})}^{2} + 8 x^{2} - 9) = 0$

解题步骤 2.1.7

使 $u = x^{2}$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $x^{2}$ 。

$x (- 6 x (x + 1) (x - 1) + u^{2} + 8 u - 9) = 0$

解题步骤 2.1.8

使用 AC 法来对 $u^{2} + 8 u - 9$ 进行因式分解。

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解题步骤 2.1.8.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 9$ ，和为 $8$ 。

$- 1, 9$

解题步骤 2.1.8.2

使用这些整数书写分数形式。

$x (- 6 x (x + 1) (x - 1) + (u - 1) (u + 9)) = 0$

解题步骤 2.1.9

使用 $x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$x (- 6 x (x + 1) (x - 1) + (x^{2} - 1) (x^{2} + 9)) = 0$

解题步骤 2.1.10

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$x (- 6 x (x + 1) (x - 1) + (x^{2} - 1^{2}) (x^{2} + 9)) = 0$

解题步骤 2.1.11

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 1$ 。

$x (- 6 x (x + 1) (x - 1) + (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 9)) = 0$

解题步骤 2.1.12

从 $- 6 x (x + 1) (x - 1) + (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 9)$ 中分解出因数 $(x + 1) (x - 1)$ 。

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解题步骤 2.1.12.1

从 $- 6 x (x + 1) (x - 1)$ 中分解出因数 $(x + 1) (x - 1)$ 。

$x ((x + 1) (x - 1) (- 6 x) + (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 9)) = 0$

解题步骤 2.1.12.2

从 $(x + 1) (x - 1) (- 6 x) + (x + 1) (x - 1) (x^{2} + 9)$ 中分解出因数 $(x + 1) (x - 1)$ 。

$x ((x + 1) (x - 1) (- 6 x + x^{2} + 9)) = 0$

解题步骤 2.1.13

使 $u = x$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $x$ 。

$x ((x + 1) (x - 1) (- 6 u + u^{2} + 9)) = 0$

解题步骤 2.1.14

使用完全平方法则进行因式分解。

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解题步骤 2.1.14.1

重新整理项。

$x ((x + 1) (x - 1) (u^{2} - 6 u + 9)) = 0$

解题步骤 2.1.14.2

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$x ((x + 1) (x - 1) (u^{2} - 6 u + 3^{2})) = 0$

解题步骤 2.1.14.3

请检查中间项是否为第一项被平方数和第三项被平方数的乘积的两倍。

$6 u = 2 \cdot u \cdot 3$

解题步骤 2.1.14.4

重写多项式。

$x ((x + 1) (x - 1) (u^{2} - 2 \cdot u \cdot 3 + 3^{2})) = 0$

解题步骤 2.1.14.5

使用完全平方三项式法则对 $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ 进行因式分解，其中 $a = u$ 和 $b = 3$ 。

$x ((x + 1) (x - 1) {(u - 3)}^{2}) = 0$

解题步骤 2.1.15

因数。

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解题步骤 2.1.15.1

使用 $x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$x ((x + 1) (x - 1) {(x - 3)}^{2}) = 0$

解题步骤 2.1.15.2

去掉多余的括号。

$x (x + 1) (x - 1) {(x - 3)}^{2} = 0$

解题步骤 2.2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x = 0$

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

${(x - 3)}^{2} = 0$

解题步骤 2.3

将 $x$ 设为等于 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 2.4

将 $x + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.4.1

将 $x + 1$ 设为等于 $0$ 。

$x + 1 = 0$

解题步骤 2.4.2

从等式两边同时减去 $1$ 。

$x = - 1$

解题步骤 2.5

将 $x - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.5.1

将 $x - 1$ 设为等于 $0$ 。

$x - 1 = 0$

解题步骤 2.5.2

在等式两边都加上 $1$ 。

$x = 1$

解题步骤 2.6

将 ${(x - 3)}^{2}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.6.1

将 ${(x - 3)}^{2}$ 设为等于 $0$ 。

${(x - 3)}^{2} = 0$

解题步骤 2.6.2

求解 $x$ 的 ${(x - 3)}^{2} = 0$ 。

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解题步骤 2.6.2.1

将 $x - 3$ 设为等于 $0$ 。

$x - 3 = 0$

解题步骤 2.6.2.2

在等式两边都加上 $3$ 。

$x = 3$

解题步骤 2.7

最终解为使 $x (x + 1) (x - 1) {(x - 3)}^{2} = 0$ 成立的所有值。根的重数为根出现的次数。

$x = 0$ ( $1$ 的倍数)

$x = - 1$ ( $1$ 的倍数)

$x = 1$ ( $1$ 的倍数)

$x = 3$ ( $2$ 的倍数)

$x = 0$ ( $1$ 的倍数)

$x = - 1$ ( $1$ 的倍数)

$x = 1$ ( $1$ 的倍数)

$x = 3$ ( $2$ 的倍数)

解题步骤 3

代数 示例

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