代数示例

$y^{6 a} + 65 y^{3 a} + 64$

解题步骤 1

将 $y^{6 a}$ 重写为 ${(y^{3 a})}^{2}$ 。

${(y^{3 a})}^{2} + 65 y^{3 a} + 64$

解题步骤 2

使 $u = y^{3 a}$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $y^{3 a}$ 。

$u^{2} + 65 u + 64$

解题步骤 3

使用 AC 法来对 $u^{2} + 65 u + 64$ 进行因式分解。

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解题步骤 3.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $64$ ，和为 $65$ 。

$1, 64$

解题步骤 3.2

使用这些整数书写分数形式。

$(u + 1) (u + 64)$

解题步骤 4

使用 $y^{3 a}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$(y^{3 a} + 1) (y^{3 a} + 64)$

解题步骤 5

将 $y^{3 a}$ 重写为 ${(y^{a})}^{3}$ 。

$({(y^{a})}^{3} + 1) (y^{3 a} + 64)$

解题步骤 6

将 $1$ 重写为 $1^{3}$ 。

$({(y^{a})}^{3} + 1^{3}) (y^{3 a} + 64)$

解题步骤 7

因为两项都是完全立方数，所以使用立方和公式 $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ 进行因式分解，其中 $a = y^{a}$ 和 $b = 1$ 。

$(y^{a} + 1) ({(y^{a})}^{2} - y^{a} \cdot 1 + 1^{2}) (y^{3 a} + 64)$

解题步骤 8

化简。

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解题步骤 8.1

将 ${(y^{a})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 8.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$(y^{a} + 1) (y^{a \cdot 2} - y^{a} \cdot 1 + 1^{2}) (y^{3 a} + 64)$

解题步骤 8.1.2

将 $2$ 移到 $a$ 的左侧。

$(y^{a} + 1) (y^{2 a} - y^{a} \cdot 1 + 1^{2}) (y^{3 a} + 64)$

解题步骤 8.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$(y^{a} + 1) (y^{2 a} - y^{a} + 1^{2}) (y^{3 a} + 64)$

解题步骤 8.3

一的任意次幂都为一。

$(y^{a} + 1) (y^{2 a} - y^{a} + 1) (y^{3 a} + 64)$

解题步骤 9

将 $y^{3 a}$ 重写为 ${(y^{a})}^{3}$ 。

$(y^{a} + 1) (y^{2 a} - y^{a} + 1) ({(y^{a})}^{3} + 64)$

解题步骤 10

将 $64$ 重写为 $4^{3}$ 。

$(y^{a} + 1) (y^{2 a} - y^{a} + 1) ({(y^{a})}^{3} + 4^{3})$

解题步骤 11

因为两项都是完全立方数，所以使用立方和公式 $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ 进行因式分解，其中 $a = y^{a}$ 和 $b = 4$ 。

$(y^{a} + 1) (y^{2 a} - y^{a} + 1) ((y^{a} + 4) ({(y^{a})}^{2} - y^{a} \cdot 4 + 4^{2}))$

解题步骤 12

因数。

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解题步骤 12.1

化简。

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解题步骤 12.1.1

将 ${(y^{a})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 12.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$(y^{a} + 1) (y^{2 a} - y^{a} + 1) ((y^{a} + 4) (y^{a \cdot 2} - y^{a} \cdot 4 + 4^{2}))$

解题步骤 12.1.1.2

将 $2$ 移到 $a$ 的左侧。

$(y^{a} + 1) (y^{2 a} - y^{a} + 1) ((y^{a} + 4) (y^{2 a} - y^{a} \cdot 4 + 4^{2}))$

解题步骤 12.1.2

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$(y^{a} + 1) (y^{2 a} - y^{a} + 1) ((y^{a} + 4) (y^{2 a} - 4 y^{a} + 4^{2}))$

解题步骤 12.1.3

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$(y^{a} + 1) (y^{2 a} - y^{a} + 1) ((y^{a} + 4) (y^{2 a} - 4 y^{a} + 16))$

解题步骤 12.2

去掉多余的括号。

$(y^{a} + 1) (y^{2 a} - y^{a} + 1) (y^{a} + 4) (y^{2 a} - 4 y^{a} + 16)$

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