代数示例

$(1 - \cos^{2} (x)) (1 + \cot^{2} (x)) = 0$

解题步骤 1

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$1 - \cos^{2} (x) = 0$

$1 + \cot^{2} (x) = 0$

解题步骤 2

将 $1 - \cos^{2} (x)$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.1

将 $1 - \cos^{2} (x)$ 设为等于 $0$ 。

$1 - \cos^{2} (x) = 0$

解题步骤 2.2

求解 $x$ 的 $1 - \cos^{2} (x) = 0$ 。

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解题步骤 2.2.1

从等式两边同时减去 $1$ 。

$- \cos^{2} (x) = - 1$

解题步骤 2.2.2

将 $- \cos^{2} (x) = - 1$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 2.2.2.1

将 $- \cos^{2} (x) = - 1$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- \cos^{2} (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

解题步骤 2.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 2.2.2.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{\cos^{2} (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

解题步骤 2.2.2.2.2

用 $\cos^{2} (x)$ 除以 $1$ 。

$\cos^{2} (x) = \frac{- 1}{- 1}$

解题步骤 2.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 2.2.2.3.1

用 $- 1$ 除以 $- 1$ 。

$\cos^{2} (x) = 1$

解题步骤 2.2.3

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$\cos (x) = \pm \sqrt{1}$

解题步骤 2.2.4

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$\cos (x) = \pm 1$

解题步骤 2.2.5

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 2.2.5.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$\cos (x) = 1$

解题步骤 2.2.5.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$\cos (x) = - 1$

解题步骤 2.2.5.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$\cos (x) = 1, - 1$

解题步骤 2.2.6

建立每一个解以求解 $x$ 。

$\cos (x) = 1$

$\cos (x) = - 1$

解题步骤 2.2.7

在 $\cos (x) = 1$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 2.2.7.1

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $x$ 。

$x = \arccos (1)$

解题步骤 2.2.7.2

化简右边。

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解题步骤 2.2.7.2.1

$\arccos (1)$ 的准确值为 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 2.2.7.3

余弦函数在第一象限和第四象限恒为正。要求第二个解，从 $2 π$ 中减去参考角即可求出第四象限中的解。

$x = 2 π - 0$

解题步骤 2.2.7.4

从 $2 π$ 中减去 $0$ 。

$x = 2 π$

解题步骤 2.2.7.5

求 $\cos (x)$ 的周期。

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解题步骤 2.2.7.5.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 2.2.7.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 2.2.7.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 2.2.7.5.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 2.2.7.6

$\cos (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 2.2.8

在 $\cos (x) = - 1$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 2.2.8.1

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $x$ 。

$x = \arccos (- 1)$

解题步骤 2.2.8.2

化简右边。

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解题步骤 2.2.8.2.1

$\arccos (- 1)$ 的准确值为 $π$ 。

$x = π$

解题步骤 2.2.8.3

余弦函数在第二象限和第三象限为负。要求第二个解，应从 $2 π$ 中减去参考角以求第三象限中的解。

$x = 2 π - π$

解题步骤 2.2.8.4

从 $2 π$ 中减去 $π$ 。

$x = π$

解题步骤 2.2.8.5

求 $\cos (x)$ 的周期。

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解题步骤 2.2.8.5.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 2.2.8.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 2.2.8.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 2.2.8.5.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 2.2.8.6

$\cos (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = π + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 2.2.9

列出所有解。

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n, π + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 2.2.10

合并答案。

$x = π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 3

将 $1 + \cot^{2} (x)$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 3.1

将 $1 + \cot^{2} (x)$ 设为等于 $0$ 。

$1 + \cot^{2} (x) = 0$

解题步骤 3.2

求解 $x$ 的 $1 + \cot^{2} (x) = 0$ 。

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解题步骤 3.2.1

从等式两边同时减去 $1$ 。

$\cot^{2} (x) = - 1$

解题步骤 3.2.2

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$\cot (x) = \pm \sqrt{- 1}$

解题步骤 3.2.3

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$\cot (x) = \pm i$

解题步骤 3.2.4

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 3.2.4.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$\cot (x) = i$

解题步骤 3.2.4.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$\cot (x) = - i$

解题步骤 3.2.4.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$\cot (x) = i, - i$

解题步骤 3.2.5

建立每一个解以求解 $x$ 。

$\cot (x) = i$

$\cot (x) = - i$

解题步骤 3.2.6

在 $\cot (x) = i$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 3.2.6.1

取方程两边的逆余切从而提取余切内的 $x$ 。

$x = arccot (i)$

解题步骤 3.2.6.2

The inverse cotangent of $arccot (i)$ is undefined.

无定义

解题步骤 3.2.7

在 $\cot (x) = - i$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 3.2.7.1

取方程两边的逆余切从而提取余切内的 $x$ 。

$x = arccot (- i)$

解题步骤 3.2.7.2

The inverse cotangent of $arccot (- i)$ is undefined.

无定义

解题步骤 3.2.8

列出所有解。

无解

解题步骤 4

最终解为使 $(1 - \cos^{2} (x)) (1 + \cot^{2} (x)) = 0$ 成立的所有值。

$x = π n$ ，对于任意整数 $n$

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