代数示例

$\frac{x^{4} - 81}{x^{2} + 9} \div \frac{x^{2} + 2 x - 15}{x^{2} + 5 x}$

解题步骤 1

要除以一个分数，请乘以其倒数。

$\frac{x^{4} - 81}{x^{2} + 9} \cdot \frac{x^{2} + 5 x}{x^{2} + 2 x - 15}$

解题步骤 2

化简分子。

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解题步骤 2.1

将 $x^{4}$ 重写为 ${(x^{2})}^{2}$ 。

$\frac{{(x^{2})}^{2} - 81}{x^{2} + 9} \cdot \frac{x^{2} + 5 x}{x^{2} + 2 x - 15}$

解题步骤 2.2

将 $81$ 重写为 $9^{2}$ 。

$\frac{{(x^{2})}^{2} - 9^{2}}{x^{2} + 9} \cdot \frac{x^{2} + 5 x}{x^{2} + 2 x - 15}$

解题步骤 2.3

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x^{2}$ 和 $b = 9$ 。

$\frac{(x^{2} + 9) (x^{2} - 9)}{x^{2} + 9} \cdot \frac{x^{2} + 5 x}{x^{2} + 2 x - 15}$

解题步骤 2.4

化简。

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解题步骤 2.4.1

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$\frac{(x^{2} + 9) (x^{2} - 3^{2})}{x^{2} + 9} \cdot \frac{x^{2} + 5 x}{x^{2} + 2 x - 15}$

解题步骤 2.4.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 3$ 。

$\frac{(x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3)}{x^{2} + 9} \cdot \frac{x^{2} + 5 x}{x^{2} + 2 x - 15}$

解题步骤 3

约去 $x^{2} + 9$ 的公因数。

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解题步骤 3.1

约去公因数。

$\frac{(x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3)}{x^{2} + 9} \cdot \frac{x^{2} + 5 x}{x^{2} + 2 x - 15}$

解题步骤 3.2

用 $(x + 3) (x - 3)$ 除以 $1$ 。

$(x + 3) (x - 3) \frac{x^{2} + 5 x}{x^{2} + 2 x - 15}$

解题步骤 4

使用 FOIL 方法展开 $(x + 3) (x - 3)$ 。

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解题步骤 4.1

运用分配律。

$(x (x - 3) + 3 (x - 3)) \frac{x^{2} + 5 x}{x^{2} + 2 x - 15}$

解题步骤 4.2

运用分配律。

$(x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 (x - 3)) \frac{x^{2} + 5 x}{x^{2} + 2 x - 15}$

解题步骤 4.3

运用分配律。

$(x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 x + 3 \cdot - 3) \frac{x^{2} + 5 x}{x^{2} + 2 x - 15}$

解题步骤 5

化简项。

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解题步骤 5.1

合并 $x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 x + 3 \cdot - 3$ 中相反的项。

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解题步骤 5.1.1

按照 $x \cdot - 3$ 和 $3 x$ 重新排列因数。

$(x \cdot x - 3 x + 3 x + 3 \cdot - 3) \frac{x^{2} + 5 x}{x^{2} + 2 x - 15}$

解题步骤 5.1.2

将 $- 3 x$ 和 $3 x$ 相加。

$(x \cdot x + 0 + 3 \cdot - 3) \frac{x^{2} + 5 x}{x^{2} + 2 x - 15}$

解题步骤 5.1.3

将 $x \cdot x$ 和 $0$ 相加。

$(x \cdot x + 3 \cdot - 3) \frac{x^{2} + 5 x}{x^{2} + 2 x - 15}$

解题步骤 5.2

从 $x^{2} + 5 x$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 5.2.1

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$(x \cdot x + 3 \cdot - 3) \frac{x \cdot x + 5 x}{x^{2} + 2 x - 15}$

解题步骤 5.2.2

从 $5 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$(x \cdot x + 3 \cdot - 3) \frac{x \cdot x + x \cdot 5}{x^{2} + 2 x - 15}$

解题步骤 5.2.3

从 $x \cdot x + x \cdot 5$ 中分解出因数 $x$ 。

$(x \cdot x + 3 \cdot - 3) \frac{x (x + 5)}{x^{2} + 2 x - 15}$

解题步骤 6

使用 AC 法来对 $x^{2} + 2 x - 15$ 进行因式分解。

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解题步骤 6.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 15$ ，和为 $2$ 。

$- 3, 5$

解题步骤 6.2

使用这些整数书写分数形式。

$(x \cdot x + 3 \cdot - 3) \frac{x (x + 5)}{(x - 3) (x + 5)}$

解题步骤 7

化简项。

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解题步骤 7.1

化简每一项。

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解题步骤 7.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$(x^{2} + 3 \cdot - 3) \frac{x (x + 5)}{(x - 3) (x + 5)}$

解题步骤 7.1.2

将 $3$ 乘以 $- 3$ 。

$(x^{2} - 9) \frac{x (x + 5)}{(x - 3) (x + 5)}$

解题步骤 7.2

化简项。

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解题步骤 7.2.1

约去 $x + 5$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.1.1

约去公因数。

$(x^{2} - 9) \frac{x (x + 5)}{(x - 3) (x + 5)}$

解题步骤 7.2.1.2

重写表达式。

$(x^{2} - 9) \frac{x}{x - 3}$

解题步骤 7.2.2

将 $x^{2} - 9$ 乘以 $\frac{x}{x - 3}$ 。

$\frac{(x^{2} - 9) x}{x - 3}$

解题步骤 8

化简分子。

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解题步骤 8.1

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$\frac{(x^{2} - 3^{2}) x}{x - 3}$

解题步骤 8.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 3$ 。

$\frac{(x + 3) (x - 3) x}{x - 3}$

解题步骤 9

化简项。

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解题步骤 9.1

约去 $x - 3$ 的公因数。

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解题步骤 9.1.1

约去公因数。

$\frac{(x + 3) (x - 3) x}{x - 3}$

解题步骤 9.1.2

用 $(x + 3) x$ 除以 $1$ 。

$(x + 3) x$

解题步骤 9.2

运用分配律。

$x \cdot x + 3 x$

解题步骤 9.3

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$x^{2} + 3 x$

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