代数示例

${(\frac{1}{2})}^{x^{2} - x - 2} = 1$

解题步骤 1

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln ({(\frac{1}{2})}^{x^{2} - x - 2}) = \ln (1)$

解题步骤 2

展开左边。

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解题步骤 2.1

通过将 $x^{2} - x - 2$ 移到对数外来展开 $\ln ({(\frac{1}{2})}^{x^{2} - x - 2})$ 。

$(x^{2} - x - 2) \ln (\frac{1}{2}) = \ln (1)$

解题步骤 2.2

将 $\ln (\frac{1}{2})$ 重写为 $\ln (1) - \ln (2)$ 。

$(x^{2} - x - 2) (\ln (1) - \ln (2)) = \ln (1)$

解题步骤 2.3

$1$ 的自然对数为 $0$ 。

$(x^{2} - x - 2) (0 - \ln (2)) = \ln (1)$

解题步骤 2.4

从 $0$ 中减去 $\ln (2)$ 。

$(x^{2} - x - 2) (- \ln (2)) = \ln (1)$

解题步骤 3

化简左边。

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解题步骤 3.1

化简 $(x^{2} - x - 2) (- \ln (2))$ 。

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解题步骤 3.1.1

运用分配律。

$x^{2} (- \ln (2)) - x (- \ln (2)) - 2 (- \ln (2)) = \ln (1)$

解题步骤 3.1.2

化简。

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解题步骤 3.1.2.1

乘以 $- x (- \ln (2))$ 。

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解题步骤 3.1.2.1.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$x^{2} (- \ln (2)) + 1 x \ln (2) - 2 (- \ln (2)) = \ln (1)$

解题步骤 3.1.2.1.2

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$x^{2} (- \ln (2)) + x \ln (2) - 2 (- \ln (2)) = \ln (1)$

解题步骤 3.1.2.2

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$x^{2} (- \ln (2)) + x \ln (2) + 2 \ln (2) = \ln (1)$

解题步骤 3.1.3

将 $x^{2} (- \ln (2)) + x \ln (2) + 2 \ln (2)$ 中的因式重新排序。

$- x^{2} \ln (2) + x \ln (2) + 2 \ln (2) = \ln (1)$

解题步骤 4

化简右边。

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解题步骤 4.1

$1$ 的自然对数为 $0$ 。

$- x^{2} \ln (2) + x \ln (2) + 2 \ln (2) = 0$

解题步骤 5

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 6

将 $a = - \ln (2)$ 、 $b = \ln (2)$ 和 $c = 2 \ln (2)$ 的值代入二次公式中并求解 $x$ 。

$\frac{- \ln (2) \pm \sqrt{\ln^{2} (2) - 4 \cdot (- \ln (2) \cdot (2 \ln (2)))}}{2 (- \ln (2))}$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

化简分子。

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解题步骤 7.1.1

从 $\ln^{2} (2) - 4 \cdot - 1 \ln (2) \cdot (2 \ln (2))$ 中分解出因数 $\ln (2)$ 。

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解题步骤 7.1.1.1

从 $\ln^{2} (2)$ 中分解出因数 $\ln (2)$ 。

$x = \frac{- \ln (2) \pm \sqrt{\ln (2) \ln (2) - 4 \cdot (- 1 \ln (2)) \cdot (2 \ln (2))}}{2 (- \ln (2))}$

解题步骤 7.1.1.2

从 $- 4 \cdot - 1 \ln (2) \cdot (2 \ln (2))$ 中分解出因数 $\ln (2)$ 。

$x = \frac{- \ln (2) \pm \sqrt{\ln (2) \ln (2) + \ln (2) (- 4 \cdot - 1 \cdot (2 \ln (2)))}}{2 (- \ln (2))}$

解题步骤 7.1.1.3

从 $\ln (2) \ln (2) + \ln (2) (- 4 \cdot - 1 \cdot (2 \ln (2)))$ 中分解出因数 $\ln (2)$ 。

$x = \frac{- \ln (2) \pm \sqrt{\ln (2) (\ln (2) - 4 \cdot - 1 \cdot (2 \ln (2)))}}{2 (- \ln (2))}$

解题步骤 7.1.2

从 $\ln (2) - 4 \cdot - 1 \cdot 2 \ln (2)$ 中分解出因数 $\ln (2)$ 。

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解题步骤 7.1.2.1

对 $\ln (2)$ 进行 $1$ 次方运算。

$x = \frac{- \ln (2) \pm \sqrt{\ln (2) (\ln (2) - 4 \cdot - 1 \cdot (2 \ln (2)))}}{2 (- \ln (2))}$

解题步骤 7.1.2.2

从 $\ln^{1} (2)$ 中分解出因数 $\ln (2)$ 。

$x = \frac{- \ln (2) \pm \sqrt{\ln (2) (\ln (2) \cdot 1 - 4 \cdot - 1 \cdot (2 \ln (2)))}}{2 (- \ln (2))}$

解题步骤 7.1.2.3

从 $- 4 \cdot - 1 \cdot 2 \ln (2)$ 中分解出因数 $\ln (2)$ 。

$x = \frac{- \ln (2) \pm \sqrt{\ln (2) (\ln (2) \cdot 1 + \ln (2) (- 4 \cdot - 1 \cdot 2))}}{2 (- \ln (2))}$

解题步骤 7.1.2.4

从 $\ln (2) \cdot 1 + \ln (2) (- 4 \cdot - 1 \cdot 2)$ 中分解出因数 $\ln (2)$ 。

$x = \frac{- \ln (2) \pm \sqrt{\ln (2) (\ln (2) (1 - 4 \cdot - 1 \cdot 2))}}{2 (- \ln (2))}$

解题步骤 7.1.3

乘以 $- 4 \cdot - 1 \cdot 2$ 。

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解题步骤 7.1.3.1

将 $- 4$ 乘以 $- 1$ 。

$x = \frac{- \ln (2) \pm \sqrt{\ln (2) (\ln (2) (1 + 4 \cdot 2))}}{2 (- \ln (2))}$

解题步骤 7.1.3.2

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{- \ln (2) \pm \sqrt{\ln (2) (\ln (2) (1 + 8))}}{2 (- \ln (2))}$

解题步骤 7.1.4

将 $1$ 和 $8$ 相加。

$x = \frac{- \ln (2) \pm \sqrt{\ln (2) \ln (2) \cdot 9}}{2 (- \ln (2))}$

解题步骤 7.1.5

合并指数。

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解题步骤 7.1.5.1

对 $\ln (2)$ 进行 $1$ 次方运算。

$x = \frac{- \ln (2) \pm \sqrt{\ln (2) \ln (2) \cdot 9}}{2 (- \ln (2))}$

解题步骤 7.1.5.2

对 $\ln (2)$ 进行 $1$ 次方运算。

$x = \frac{- \ln (2) \pm \sqrt{\ln (2) \ln (2) \cdot 9}}{2 (- \ln (2))}$

解题步骤 7.1.5.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x = \frac{- \ln (2) \pm \sqrt{{\ln (2)}^{1 + 1} \cdot 9}}{2 (- \ln (2))}$

解题步骤 7.1.5.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$x = \frac{- \ln (2) \pm \sqrt{\ln^{2} (2) \cdot 9}}{2 (- \ln (2))}$

解题步骤 7.1.6

将 $\ln^{2} (2) \cdot 9$ 重写为 ${(\ln (2) \cdot 3)}^{2}$ 。

$x = \frac{- \ln (2) \pm \sqrt{{(\ln (2) \cdot 3)}^{2}}}{2 (- \ln (2))}$

解题步骤 7.1.7

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \frac{- \ln (2) \pm \ln (2) \cdot 3}{2 (- \ln (2))}$

解题步骤 7.1.8

将 $3$ 移到 $\ln (2)$ 的左侧。

$x = \frac{- \ln (2) \pm 3 \ln (2)}{2 (- \ln (2))}$

解题步骤 7.2

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{- \ln (2) \pm 3 \ln (2)}{- 2 \ln (2)}$

解题步骤 7.3

化简 $\frac{- \ln (2) \pm 3 \ln (2)}{- 2 \ln (2)}$ 。

$x = \frac{1 \pm 3}{2}$

解题步骤 8

最终答案为两个解的组合。

$x = 2, - 1$

代数 示例

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