代数示例

$5 x^{2} + 2 y^{2} \leq 10$ $y \geq x^{2} - 2 x + 1$

解题步骤 1

求解 $y$ 。

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解题步骤 1.1

从不等式两边同时减去 $5 x^{2}$ 。

$2 y^{2} \leq 10 - 5 x^{2}$

解题步骤 1.2

将 $2 y^{2} \leq 10 - 5 x^{2}$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 1.2.1

将 $2 y^{2} \leq 10 - 5 x^{2}$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 y^{2}}{2} \leq \frac{10}{2} + \frac{- 5 x^{2}}{2}$

解题步骤 1.2.2

化简左边。

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解题步骤 1.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 y^{2}}{2} \leq \frac{10}{2} + \frac{- 5 x^{2}}{2}$

解题步骤 1.2.2.1.2

用 $y^{2}$ 除以 $1$ 。

$y^{2} \leq \frac{10}{2} + \frac{- 5 x^{2}}{2}$

解题步骤 1.2.3

化简右边。

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解题步骤 1.2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.2.3.1.1

用 $10$ 除以 $2$ 。

$y^{2} \leq 5 + \frac{- 5 x^{2}}{2}$

解题步骤 1.2.3.1.2

将负号移到分数的前面。

$y^{2} \leq 5 - \frac{5 x^{2}}{2}$

解题步骤 1.3

取不等式两边的指定根来消去方程左边的指数。

$\sqrt{y^{2}} \leq \sqrt{5 - \frac{5 x^{2}}{2}}$

解题步骤 1.4

化简方程。

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解题步骤 1.4.1

化简左边。

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解题步骤 1.4.1.1

从根式下提出各项。

$| y | \leq \sqrt{5 - \frac{5 x^{2}}{2}}$

解题步骤 1.4.2

化简右边。

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解题步骤 1.4.2.1

化简 $\sqrt{5 - \frac{5 x^{2}}{2}}$ 。

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解题步骤 1.4.2.1.1

要将 $5$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$| y | \leq \sqrt{5 \cdot \frac{2}{2} - \frac{5 x^{2}}{2}}$

解题步骤 1.4.2.1.2

组合 $5$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$| y | \leq \sqrt{\frac{5 \cdot 2}{2} - \frac{5 x^{2}}{2}}$

解题步骤 1.4.2.1.3

在公分母上合并分子。

$| y | \leq \sqrt{\frac{5 \cdot 2 - 5 x^{2}}{2}}$

解题步骤 1.4.2.1.4

从 $5 \cdot 2 - 5 x^{2}$ 中分解出因数 $5$ 。

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解题步骤 1.4.2.1.4.1

从 $5 \cdot 2$ 中分解出因数 $5$ 。

$| y | \leq \sqrt{\frac{5 (2) - 5 x^{2}}{2}}$

解题步骤 1.4.2.1.4.2

从 $- 5 x^{2}$ 中分解出因数 $5$ 。

$| y | \leq \sqrt{\frac{5 (2) + 5 (- x^{2})}{2}}$

解题步骤 1.4.2.1.4.3

从 $5 (2) + 5 (- x^{2})$ 中分解出因数 $5$ 。

$| y | \leq \sqrt{\frac{5 (2 - x^{2})}{2}}$

解题步骤 1.4.2.1.5

将 $\sqrt{\frac{5 (2 - x^{2})}{2}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{5 (2 - x^{2})}}{\sqrt{2}}$ 。

$| y | \leq \frac{\sqrt{5 (2 - x^{2})}}{\sqrt{2}}$

解题步骤 1.4.2.1.6

将 $\frac{\sqrt{5 (2 - x^{2})}}{\sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$| y | \leq \frac{\sqrt{5 (2 - x^{2})}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

解题步骤 1.4.2.1.7

合并和化简分母。

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解题步骤 1.4.2.1.7.1

将 $\frac{\sqrt{5 (2 - x^{2})}}{\sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$| y | \leq \frac{\sqrt{5 (2 - x^{2})} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

解题步骤 1.4.2.1.7.2

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$| y | \leq \frac{\sqrt{5 (2 - x^{2})} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

解题步骤 1.4.2.1.7.3

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$| y | \leq \frac{\sqrt{5 (2 - x^{2})} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

解题步骤 1.4.2.1.7.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$| y | \leq \frac{\sqrt{5 (2 - x^{2})} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

解题步骤 1.4.2.1.7.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$| y | \leq \frac{\sqrt{5 (2 - x^{2})} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

解题步骤 1.4.2.1.7.6

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 1.4.2.1.7.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$| y | \leq \frac{\sqrt{5 (2 - x^{2})} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 1.4.2.1.7.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$| y | \leq \frac{\sqrt{5 (2 - x^{2})} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 1.4.2.1.7.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$| y | \leq \frac{\sqrt{5 (2 - x^{2})} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 1.4.2.1.7.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.4.2.1.7.6.4.1

约去公因数。

$| y | \leq \frac{\sqrt{5 (2 - x^{2})} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 1.4.2.1.7.6.4.2

重写表达式。

$| y | \leq \frac{\sqrt{5 (2 - x^{2})} \sqrt{2}}{2^{1}}$

解题步骤 1.4.2.1.7.6.5

计算指数。

$| y | \leq \frac{\sqrt{5 (2 - x^{2})} \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 1.4.2.1.8

化简分子。

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解题步骤 1.4.2.1.8.1

使用根数乘积法则进行合并。

$| y | \leq \frac{\sqrt{5 (2 - x^{2}) \cdot 2}}{2}$

解题步骤 1.4.2.1.8.2

将 $2$ 乘以 $5$ 。

$| y | \leq \frac{\sqrt{10 (2 - x^{2})}}{2}$

解题步骤 1.5

将 $| y | \leq \frac{\sqrt{10 (2 - x^{2})}}{2}$ 书写为分段式。

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解题步骤 1.5.1

要求第一段的区间，需找到绝对值内为非负的地方。

$y \geq 0$

解题步骤 1.5.2

在 $y$ 为非负数的地方，去掉绝对值。

$y \leq \frac{\sqrt{10 (2 - x^{2})}}{2}$

解题步骤 1.5.3

求 $y \leq \frac{\sqrt{10 (2 - x^{2})}}{2}$ 的定义域，并求与 $y \geq 0$ 的交点。

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解题步骤 1.5.3.1

求 $y \leq \frac{\sqrt{10 (2 - x^{2})}}{2}$ 的定义域。

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解题步骤 1.5.3.1.1

将 $\sqrt{10 (2 - x^{2})}$ 的被开方数设为大于或等于 $0$ ，以求使表达式有意义的区间。

$10 (2 - x^{2}) \geq 0$

解题步骤 1.5.3.1.2

求解 $y$ 。

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解题步骤 1.5.3.1.2.1

将 $10 (2 - x^{2}) \geq 0$ 中的每一项除以 $10$ 并化简。

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解题步骤 1.5.3.1.2.1.1

将 $10 (2 - x^{2}) \geq 0$ 中的每一项都除以 $10$ 。

$\frac{10 (2 - x^{2})}{10} \geq \frac{0}{10}$

解题步骤 1.5.3.1.2.1.2

化简左边。

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解题步骤 1.5.3.1.2.1.2.1

约去 $10$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.3.1.2.1.2.1.1

约去公因数。

$\frac{10 (2 - x^{2})}{10} \geq \frac{0}{10}$

解题步骤 1.5.3.1.2.1.2.1.2

用 $2 - x^{2}$ 除以 $1$ 。

$2 - x^{2} \geq \frac{0}{10}$

解题步骤 1.5.3.1.2.1.3

化简右边。

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解题步骤 1.5.3.1.2.1.3.1

用 $0$ 除以 $10$ 。

$2 - x^{2} \geq 0$

解题步骤 1.5.3.1.2.2

从不等式两边同时减去 $2$ 。

$- x^{2} \geq - 2$

解题步骤 1.5.3.1.2.3

将 $- x^{2} \geq - 2$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 1.5.3.1.2.3.1

将 $- x^{2} \geq - 2$ 中的每一项除以 $- 1$ 。当不等式两边同时乘以或除以一个负数时，应改变不等号的方向。

$\frac{- x^{2}}{- 1} \leq \frac{- 2}{- 1}$

解题步骤 1.5.3.1.2.3.2

化简左边。

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解题步骤 1.5.3.1.2.3.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{x^{2}}{1} \leq \frac{- 2}{- 1}$

解题步骤 1.5.3.1.2.3.2.2

用 $x^{2}$ 除以 $1$ 。

$x^{2} \leq \frac{- 2}{- 1}$

解题步骤 1.5.3.1.2.3.3

化简右边。

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解题步骤 1.5.3.1.2.3.3.1

用 $- 2$ 除以 $- 1$ 。

$x^{2} \leq 2$

解题步骤 1.5.3.1.2.4

取不等式两边的指定根来消去方程左边的指数。

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{2}$

解题步骤 1.5.3.1.2.5

化简左边。

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解题步骤 1.5.3.1.2.5.1

从根式下提出各项。

$| x | \leq \sqrt{2}$

解题步骤 1.5.3.1.2.6

将 $| x | \leq \sqrt{2}$ 书写为分段式。

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解题步骤 1.5.3.1.2.6.1

要求第一段的区间，需找到绝对值内为非负的地方。

$x \geq 0$

解题步骤 1.5.3.1.2.6.2

在 $x$ 为非负数的地方，去掉绝对值。

$x \leq \sqrt{2}$

解题步骤 1.5.3.1.2.6.3

要求第二段的区间，需找到绝对值内为负的地方。

$x < 0$

解题步骤 1.5.3.1.2.6.4

在 $x$ 为负的地方，去掉绝对值符号并乘以 $- 1$ 。

$- x \leq \sqrt{2}$

解题步骤 1.5.3.1.2.6.5

书写为分段式。

${\begin{cases} x \leq \sqrt{2} & x \geq 0 \\ - x \leq \sqrt{2} & x < 0 \end{cases}$

解题步骤 1.5.3.1.2.7

求 $x \leq \sqrt{2}$ 和 $x \geq 0$ 的交点。

$0 \leq x \leq \sqrt{2}$

解题步骤 1.5.3.1.2.8

当 $x < 0$ 时求解 $- x \leq \sqrt{2}$ 。

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解题步骤 1.5.3.1.2.8.1

将 $- x \leq \sqrt{2}$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 1.5.3.1.2.8.1.1

将 $- x \leq \sqrt{2}$ 中的每一项除以 $- 1$ 。当不等式两边同时乘以或除以一个负数时，应改变不等号的方向。

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{\sqrt{2}}{- 1}$

解题步骤 1.5.3.1.2.8.1.2

化简左边。

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解题步骤 1.5.3.1.2.8.1.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{x}{1} \geq \frac{\sqrt{2}}{- 1}$

解题步骤 1.5.3.1.2.8.1.2.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x \geq \frac{\sqrt{2}}{- 1}$

解题步骤 1.5.3.1.2.8.1.3

化简右边。

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解题步骤 1.5.3.1.2.8.1.3.1

移动 $\frac{\sqrt{2}}{- 1}$ 中分母的负号。

$x \geq - 1 \cdot \sqrt{2}$

解题步骤 1.5.3.1.2.8.1.3.2

将 $- 1 \cdot \sqrt{2}$ 重写为 $- \sqrt{2}$ 。

$x \geq - \sqrt{2}$

解题步骤 1.5.3.1.2.8.2

求 $x \geq - \sqrt{2}$ 和 $x < 0$ 的交点。

$- \sqrt{2} \leq x < 0$

解题步骤 1.5.3.1.2.9

求解的并集。

$- \sqrt{2} \leq x \leq \sqrt{2}$

解题步骤 1.5.3.1.3

定义域为使表达式有定义的所有值 $y$ 。

$[- \sqrt{2}, \sqrt{2}]$

解题步骤 1.5.3.2

求 $y \geq 0$ 和 $[- \sqrt{2}, \sqrt{2}]$ 的交点。

$0 \leq y \leq \sqrt{2}$

解题步骤 1.5.4

要求第二段的区间，需找到绝对值内为负的地方。

$y < 0$

解题步骤 1.5.5

在 $y$ 为负的地方，去掉绝对值符号并乘以 $- 1$ 。

$- y \leq \frac{\sqrt{10 (2 - x^{2})}}{2}$

解题步骤 1.5.6

求 $- y \leq \frac{\sqrt{10 (2 - x^{2})}}{2}$ 的定义域，并求与 $y < 0$ 的交点。

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解题步骤 1.5.6.1

求 $- y \leq \frac{\sqrt{10 (2 - x^{2})}}{2}$ 的定义域。

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解题步骤 1.5.6.1.1

将 $\sqrt{10 (2 - x^{2})}$ 的被开方数设为大于或等于 $0$ ，以求使表达式有意义的区间。

$10 (2 - x^{2}) \geq 0$

解题步骤 1.5.6.1.2

求解 $y$ 。

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解题步骤 1.5.6.1.2.1

将 $10 (2 - x^{2}) \geq 0$ 中的每一项除以 $10$ 并化简。

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解题步骤 1.5.6.1.2.1.1

将 $10 (2 - x^{2}) \geq 0$ 中的每一项都除以 $10$ 。

$\frac{10 (2 - x^{2})}{10} \geq \frac{0}{10}$

解题步骤 1.5.6.1.2.1.2

化简左边。

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解题步骤 1.5.6.1.2.1.2.1

约去 $10$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.6.1.2.1.2.1.1

约去公因数。

$\frac{10 (2 - x^{2})}{10} \geq \frac{0}{10}$

解题步骤 1.5.6.1.2.1.2.1.2

用 $2 - x^{2}$ 除以 $1$ 。

$2 - x^{2} \geq \frac{0}{10}$

解题步骤 1.5.6.1.2.1.3

化简右边。

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解题步骤 1.5.6.1.2.1.3.1

用 $0$ 除以 $10$ 。

$2 - x^{2} \geq 0$

解题步骤 1.5.6.1.2.2

从不等式两边同时减去 $2$ 。

$- x^{2} \geq - 2$

解题步骤 1.5.6.1.2.3

将 $- x^{2} \geq - 2$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 1.5.6.1.2.3.1

将 $- x^{2} \geq - 2$ 中的每一项除以 $- 1$ 。当不等式两边同时乘以或除以一个负数时，应改变不等号的方向。

$\frac{- x^{2}}{- 1} \leq \frac{- 2}{- 1}$

解题步骤 1.5.6.1.2.3.2

化简左边。

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解题步骤 1.5.6.1.2.3.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{x^{2}}{1} \leq \frac{- 2}{- 1}$

解题步骤 1.5.6.1.2.3.2.2

用 $x^{2}$ 除以 $1$ 。

$x^{2} \leq \frac{- 2}{- 1}$

解题步骤 1.5.6.1.2.3.3

化简右边。

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解题步骤 1.5.6.1.2.3.3.1

用 $- 2$ 除以 $- 1$ 。

$x^{2} \leq 2$

解题步骤 1.5.6.1.2.4

取不等式两边的指定根来消去方程左边的指数。

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{2}$

解题步骤 1.5.6.1.2.5

化简左边。

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解题步骤 1.5.6.1.2.5.1

从根式下提出各项。

$| x | \leq \sqrt{2}$

解题步骤 1.5.6.1.2.6

将 $| x | \leq \sqrt{2}$ 书写为分段式。

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解题步骤 1.5.6.1.2.6.1

要求第一段的区间，需找到绝对值内为非负的地方。

$x \geq 0$

解题步骤 1.5.6.1.2.6.2

在 $x$ 为非负数的地方，去掉绝对值。

$x \leq \sqrt{2}$

解题步骤 1.5.6.1.2.6.3

要求第二段的区间，需找到绝对值内为负的地方。

$x < 0$

解题步骤 1.5.6.1.2.6.4

在 $x$ 为负的地方，去掉绝对值符号并乘以 $- 1$ 。

$- x \leq \sqrt{2}$

解题步骤 1.5.6.1.2.6.5

书写为分段式。

${\begin{cases} x \leq \sqrt{2} & x \geq 0 \\ - x \leq \sqrt{2} & x < 0 \end{cases}$

解题步骤 1.5.6.1.2.7

求 $x \leq \sqrt{2}$ 和 $x \geq 0$ 的交点。

$0 \leq x \leq \sqrt{2}$

解题步骤 1.5.6.1.2.8

当 $x < 0$ 时求解 $- x \leq \sqrt{2}$ 。

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解题步骤 1.5.6.1.2.8.1

将 $- x \leq \sqrt{2}$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 1.5.6.1.2.8.1.1

将 $- x \leq \sqrt{2}$ 中的每一项除以 $- 1$ 。当不等式两边同时乘以或除以一个负数时，应改变不等号的方向。

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{\sqrt{2}}{- 1}$

解题步骤 1.5.6.1.2.8.1.2

化简左边。

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解题步骤 1.5.6.1.2.8.1.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{x}{1} \geq \frac{\sqrt{2}}{- 1}$

解题步骤 1.5.6.1.2.8.1.2.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x \geq \frac{\sqrt{2}}{- 1}$

解题步骤 1.5.6.1.2.8.1.3

化简右边。

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解题步骤 1.5.6.1.2.8.1.3.1

移动 $\frac{\sqrt{2}}{- 1}$ 中分母的负号。

$x \geq - 1 \cdot \sqrt{2}$

解题步骤 1.5.6.1.2.8.1.3.2

将 $- 1 \cdot \sqrt{2}$ 重写为 $- \sqrt{2}$ 。

$x \geq - \sqrt{2}$

解题步骤 1.5.6.1.2.8.2

求 $x \geq - \sqrt{2}$ 和 $x < 0$ 的交点。

$- \sqrt{2} \leq x < 0$

解题步骤 1.5.6.1.2.9

求解的并集。

$- \sqrt{2} \leq x \leq \sqrt{2}$

解题步骤 1.5.6.1.3

定义域为使表达式有定义的所有值 $y$ 。

$[- \sqrt{2}, \sqrt{2}]$

解题步骤 1.5.6.2

求 $y < 0$ 和 $[- \sqrt{2}, \sqrt{2}]$ 的交点。

$- \sqrt{2} \leq y < 0$

解题步骤 1.5.7

书写为分段式。

${\begin{cases} y \leq \frac{\sqrt{10 (2 - x^{2})}}{2} & 0 \leq y \leq \sqrt{2} \\ - y \leq \frac{\sqrt{10 (2 - x^{2})}}{2} & - \sqrt{2} \leq y < 0 \end{cases}$

解题步骤 1.6

求 $y \leq \frac{\sqrt{10 (2 - x^{2})}}{2}$ 和 $0 \leq y \leq \sqrt{2}$ 的交点。

$0 \leq y \leq N o (Min i m u m)$

解题步骤 1.7

当 $- \sqrt{2} \leq y < 0$ 时求解 $- y \leq \frac{\sqrt{10 (2 - x^{2})}}{2}$ 。

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解题步骤 1.7.1

将 $- y \leq \frac{\sqrt{10 (2 - x^{2})}}{2}$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 1.7.1.1

将 $- y \leq \frac{\sqrt{10 (2 - x^{2})}}{2}$ 中的每一项除以 $- 1$ 。当不等式两边同时乘以或除以一个负数时，应改变不等号的方向。

$\frac{- y}{- 1} \geq \frac{\frac{\sqrt{10 (2 - x^{2})}}{2}}{- 1}$

解题步骤 1.7.1.2

化简左边。

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解题步骤 1.7.1.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{y}{1} \geq \frac{\frac{\sqrt{10 (2 - x^{2})}}{2}}{- 1}$

解题步骤 1.7.1.2.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y \geq \frac{\frac{\sqrt{10 (2 - x^{2})}}{2}}{- 1}$

解题步骤 1.7.1.3

化简右边。

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解题步骤 1.7.1.3.1

移动 $\frac{\frac{\sqrt{10 (2 - x^{2})}}{2}}{- 1}$ 中分母的负号。

$y \geq - 1 \cdot \frac{\sqrt{10 (2 - x^{2})}}{2}$

解题步骤 1.7.1.3.2

将 $- 1 \cdot \frac{\sqrt{10 (2 - x^{2})}}{2}$ 重写为 $- \frac{\sqrt{10 (2 - x^{2})}}{2}$ 。

$y \geq - \frac{\sqrt{10 (2 - x^{2})}}{2}$

解题步骤 1.7.2

求 $y \geq - \frac{\sqrt{10 (2 - x^{2})}}{2}$ 和 $- \sqrt{2} \leq y < 0$ 的交点。

无解

解题步骤 1.8

求解的并集。

$0 \leq y \leq i N o Min m^{2} u$

解题步骤 2

画出 $y \geq x^{2} - 2 x + 1$ 的图像。

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解题步骤 2.1

该方程并非线性方程，因此不存在常数斜率。

非线性

解题步骤 2.2

画一条实线，再把界线上方的区域涂上阴影，因为 $y$ 大于 $x^{2} - 2 x + 1$ 。

$y \geq x^{2} - 2 x + 1$

解题步骤 3

在同一坐标系上绘制出每一个图像。

$5 x^{2} + 2 y^{2} \leq 10$

$y \geq x^{2} - 2 x + 1$

解题步骤 4

代数 示例

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