代数示例

$2 x^{3} + 2 x - 3 = - 0.5 | x - 4 |$

解题步骤 1

将方程重写为 $- 0.5 | x - 4 | = 2 x^{3} + 2 x - 3$ 。

$- 0.5 | x - 4 | = 2 x^{3} + 2 x - 3$

解题步骤 2

将 $- 0.5 | x - 4 | = 2 x^{3} + 2 x - 3$ 中的每一项除以 $- 0.5$ 并化简。

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解题步骤 2.1

将 $- 0.5 | x - 4 | = 2 x^{3} + 2 x - 3$ 中的每一项都除以 $- 0.5$ 。

$\frac{- 0.5 | x - 4 |}{- 0.5} = \frac{2 x^{3}}{- 0.5} + \frac{2 x}{- 0.5} + \frac{- 3}{- 0.5}$

解题步骤 2.2

化简左边。

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解题步骤 2.2.1

约去 $- 0.5$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{- 0.5 | x - 4 |}{- 0.5} = \frac{2 x^{3}}{- 0.5} + \frac{2 x}{- 0.5} + \frac{- 3}{- 0.5}$

解题步骤 2.2.1.2

用 $| x - 4 |$ 除以 $1$ 。

$| x - 4 | = \frac{2 x^{3}}{- 0.5} + \frac{2 x}{- 0.5} + \frac{- 3}{- 0.5}$

解题步骤 2.3

化简右边。

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解题步骤 2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 2.3.1.1

将负号移到分数的前面。

$| x - 4 | = - \frac{2 x^{3}}{0.5} + \frac{2 x}{- 0.5} + \frac{- 3}{- 0.5}$

解题步骤 2.3.1.2

从 $2 x^{3}$ 中分解出因数 $2$ 。

$| x - 4 | = - \frac{2 (x^{3})}{0.5} + \frac{2 x}{- 0.5} + \frac{- 3}{- 0.5}$

解题步骤 2.3.1.3

从 $0.5$ 中分解出因数 $0.5$ 。

$| x - 4 | = - \frac{2 (x^{3})}{0.5 (1)} + \frac{2 x}{- 0.5} + \frac{- 3}{- 0.5}$

解题步骤 2.3.1.4

分离分数。

$| x - 4 | = - (\frac{2}{0.5} \cdot \frac{x^{3}}{1}) + \frac{2 x}{- 0.5} + \frac{- 3}{- 0.5}$

解题步骤 2.3.1.5

用 $2$ 除以 $0.5$ 。

$| x - 4 | = - (4 \frac{x^{3}}{1}) + \frac{2 x}{- 0.5} + \frac{- 3}{- 0.5}$

解题步骤 2.3.1.6

用 $x^{3}$ 除以 $1$ 。

$| x - 4 | = - (4 x^{3}) + \frac{2 x}{- 0.5} + \frac{- 3}{- 0.5}$

解题步骤 2.3.1.7

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$| x - 4 | = - 4 x^{3} + \frac{2 x}{- 0.5} + \frac{- 3}{- 0.5}$

解题步骤 2.3.1.8

将负号移到分数的前面。

$| x - 4 | = - 4 x^{3} - \frac{2 x}{0.5} + \frac{- 3}{- 0.5}$

解题步骤 2.3.1.9

从 $2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$| x - 4 | = - 4 x^{3} - \frac{2 (x)}{0.5} + \frac{- 3}{- 0.5}$

解题步骤 2.3.1.10

从 $0.5$ 中分解出因数 $0.5$ 。

$| x - 4 | = - 4 x^{3} - \frac{2 (x)}{0.5 (1)} + \frac{- 3}{- 0.5}$

解题步骤 2.3.1.11

分离分数。

$| x - 4 | = - 4 x^{3} - (\frac{2}{0.5} \cdot \frac{x}{1}) + \frac{- 3}{- 0.5}$

解题步骤 2.3.1.12

用 $2$ 除以 $0.5$ 。

$| x - 4 | = - 4 x^{3} - (4 \frac{x}{1}) + \frac{- 3}{- 0.5}$

解题步骤 2.3.1.13

用 $x$ 除以 $1$ 。

$| x - 4 | = - 4 x^{3} - (4 x) + \frac{- 3}{- 0.5}$

解题步骤 2.3.1.14

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$| x - 4 | = - 4 x^{3} - 4 x + \frac{- 3}{- 0.5}$

解题步骤 2.3.1.15

用 $- 3$ 除以 $- 0.5$ 。

$| x - 4 | = - 4 x^{3} - 4 x + 6$

解题步骤 3

去掉绝对值项。因为 $| x | = \pm x$ ，所以这将使方程右边新增 $\pm$ 。

$x - 4 = \pm (- 4 x^{3} - 4 x + 6)$

解题步骤 4

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 4.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x - 4 = - 4 x^{3} - 4 x + 6$

解题步骤 4.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x - 4 = - (- 4 x^{3} - 4 x + 6)$

解题步骤 4.3

因为 $x$ 在方程的右边，所以要交换两边使其出现在方程的左边。

$- (- 4 x^{3} - 4 x + 6) = x - 4$

解题步骤 4.4

化简 $- (- 4 x^{3} - 4 x + 6)$ 。

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解题步骤 4.4.1

重写。

$0 + 0 - (- 4 x^{3} - 4 x + 6) = x - 4$

解题步骤 4.4.2

通过加上各个零进行化简。

$- (- 4 x^{3} - 4 x + 6) = x - 4$

解题步骤 4.4.3

运用分配律。

$- (- 4 x^{3}) - (- 4 x) - 1 \cdot 6 = x - 4$

解题步骤 4.4.4

化简。

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解题步骤 4.4.4.1

将 $- 4$ 乘以 $- 1$ 。

$4 x^{3} - (- 4 x) - 1 \cdot 6 = x - 4$

解题步骤 4.4.4.2

将 $- 4$ 乘以 $- 1$ 。

$4 x^{3} + 4 x - 1 \cdot 6 = x - 4$

解题步骤 4.4.4.3

将 $- 1$ 乘以 $6$ 。

$4 x^{3} + 4 x - 6 = x - 4$

解题步骤 4.5

将所有包含 $x$ 的项移到等式左边。

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解题步骤 4.5.1

从等式两边同时减去 $x$ 。

$4 x^{3} + 4 x - 6 - x = - 4$

解题步骤 4.5.2

从 $4 x$ 中减去 $x$ 。

$4 x^{3} + 3 x - 6 = - 4$

解题步骤 4.6

在等式两边都加上 $4$ 。

$4 x^{3} + 3 x - 6 + 4 = 0$

解题步骤 4.7

将 $- 6$ 和 $4$ 相加。

$4 x^{3} + 3 x - 2 = 0$

解题步骤 4.8

使用有理根检验法因式分解 $4 x^{3} + 3 x - 2$ 。

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解题步骤 4.8.1

如果一个多项式函数的各项系数都为整数，则每个有理零点应为 $\frac{p}{q}$ 的形式，其中 $p$ 为常数的因数，而 $q$ 为首项系数的因数。

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

解题步骤 4.8.2

求 $\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。这些将是多项式函数的可能根。

$\pm 1, \pm 0.25, \pm 0.5, \pm 2$

解题步骤 4.8.3

代入 $0.5$ 并化简表达式。在本例中，表达式等于 $0$ ，所以 $0.5$ 是多项式的根。

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解题步骤 4.8.3.1

将 $0.5$ 代入多项式。

$4 \cdot {0.5}^{3} + 3 \cdot 0.5 - 2$

解题步骤 4.8.3.2

对 $0.5$ 进行 $3$ 次方运算。

$4 \cdot 0.125 + 3 \cdot 0.5 - 2$

解题步骤 4.8.3.3

将 $4$ 乘以 $0.125$ 。

$0.5 + 3 \cdot 0.5 - 2$

解题步骤 4.8.3.4

将 $3$ 乘以 $0.5$ 。

$0.5 + 1.5 - 2$

解题步骤 4.8.3.5

将 $0.5$ 和 $1.5$ 相加。

$2 - 2$

解题步骤 4.8.3.6

从 $2$ 中减去 $2$ 。

$0$

解题步骤 4.8.4

因为 $0.5$ 是一个已知的根，所以将多项式除以 $2 x - 1$ 求商式。得到的多项式之后可以用来求其余的根。

$\frac{4 x^{3} + 3 x - 2}{2 x - 1}$

解题步骤 4.8.5

用 $4 x^{3} + 3 x - 2$ 除以 $2 x - 1$ 。

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解题步骤 4.8.5.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$2 x$

$1$

$4 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x$

$2$

解题步骤 4.8.5.2

将被除数中的最高阶项 $4 x^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $2 x$ 。

					$2 x^{2}$
	$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$

解题步骤 4.8.5.3

将新的商式项乘以除数。

				$2 x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			+	$4 x^{3}$	-	$2 x^{2}$

解题步骤 4.8.5.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $4 x^{3} - 2 x^{2}$ 中的所有符号

				$2 x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$

解题步骤 4.8.5.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$2 x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$

解题步骤 4.8.5.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$2 x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$3 x$

解题步骤 4.8.5.7

将被除数中的最高阶项 $2 x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $2 x$ 。

				$2 x^{2}$	+	$x$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$3 x$

解题步骤 4.8.5.8

将新的商式项乘以除数。

				$2 x^{2}$	+	$x$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$x$

解题步骤 4.8.5.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $2 x^{2} - x$ 中的所有符号

				$2 x^{2}$	+	$x$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$x$

解题步骤 4.8.5.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$2 x^{2}$	+	$x$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$x$
							+	$4 x$

解题步骤 4.8.5.11

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$2 x^{2}$	+	$x$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$x$
							+	$4 x$	-	$2$

解题步骤 4.8.5.12

将被除数中的最高阶项 $4 x$ 除以除数中的最高阶项 $2 x$ 。

				$2 x^{2}$	+	$x$	+	$2$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$x$
							+	$4 x$	-	$2$

解题步骤 4.8.5.13

将新的商式项乘以除数。

				$2 x^{2}$	+	$x$	+	$2$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$x$
							+	$4 x$	-	$2$
							+	$4 x$	-	$2$

解题步骤 4.8.5.14

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $4 x - 2$ 中的所有符号

				$2 x^{2}$	+	$x$	+	$2$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$x$
							+	$4 x$	-	$2$
							-	$4 x$	+	$2$

解题步骤 4.8.5.15

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$2 x^{2}$	+	$x$	+	$2$
$2 x$	-	$1$		$4 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$3 x$	-	$2$
			-	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					+	$2 x^{2}$	+	$3 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$x$
							+	$4 x$	-	$2$
							-	$4 x$	+	$2$
										$0$

解题步骤 4.8.5.16

因为余数为 $0$ ，所以最终答案是商。

$2 x^{2} + x + 2$

解题步骤 4.8.6

将 $4 x^{3} + 3 x - 2$ 书写为因数的集合。

$(2 x - 1) (2 x^{2} + x + 2) = 0$

解题步骤 4.9

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$2 x - 1 = 0$

$2 x^{2} + x + 2 = 0$

解题步骤 4.10

将 $2 x - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 4.10.1

将 $2 x - 1$ 设为等于 $0$ 。

$2 x - 1 = 0$

解题步骤 4.10.2

求解 $x$ 的 $2 x - 1 = 0$ 。

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解题步骤 4.10.2.1

在等式两边都加上 $1$ 。

$2 x = 1$

解题步骤 4.10.2.2

将 $2 x = 1$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 4.10.2.2.1

将 $2 x = 1$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

解题步骤 4.10.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 4.10.2.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.10.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

解题步骤 4.10.2.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{1}{2}$

解题步骤 4.11

将 $2 x^{2} + x + 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 4.11.1

将 $2 x^{2} + x + 2$ 设为等于 $0$ 。

$2 x^{2} + x + 2 = 0$

解题步骤 4.11.2

求解 $x$ 的 $2 x^{2} + x + 2 = 0$ 。

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解题步骤 4.11.2.1

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 4.11.2.2

将 $a = 2$ 、 $b = 1$ 和 $c = 2$ 的值代入二次公式中并求解 $x$ 。

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (2 \cdot 2)}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 4.11.2.3

化简。

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解题步骤 4.11.2.3.1

化简分子。

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解题步骤 4.11.2.3.1.1

一的任意次幂都为一。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 2 \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 4.11.2.3.1.2

乘以 $- 4 \cdot 2 \cdot 2$ 。

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解题步骤 4.11.2.3.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 8 \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 4.11.2.3.1.2.2

将 $- 8$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 16}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 4.11.2.3.1.3

从 $1$ 中减去 $16$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 15}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 4.11.2.3.1.4

将 $- 15$ 重写为 $- 1 (15)$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 15}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 4.11.2.3.1.5

将 $\sqrt{- 1 (15)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{15}$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{15}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 4.11.2.3.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{15}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 4.11.2.3.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{15}}{4}$

解题步骤 4.11.2.4

最终答案为两个解的组合。

$x = - \frac{1 - i \sqrt{15}}{4}, - \frac{1 + i \sqrt{15}}{4}$

解题步骤 4.12

最终解为使 $(2 x - 1) (2 x^{2} + x + 2) = 0$ 成立的所有值。

$x = \frac{1}{2}, - \frac{1 - i \sqrt{15}}{4}, - \frac{1 + i \sqrt{15}}{4}$

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