代数示例

$(1 + \sqrt{2} + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{2} - \sqrt{3})$

解题步骤 1

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(1 + \sqrt{2} + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{2} - \sqrt{3})$ 。

$1 \cdot 1 + 1 \sqrt{2} + 1 (- \sqrt{3}) + \sqrt{2} \cdot 1 + \sqrt{2} \sqrt{2} + \sqrt{2} (- \sqrt{3}) + \sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} \sqrt{2} + \sqrt{3} (- \sqrt{3})$

解题步骤 2

化简项。

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解题步骤 2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.1

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$1 + 1 \sqrt{2} + 1 (- \sqrt{3}) + \sqrt{2} \cdot 1 + \sqrt{2} \sqrt{2} + \sqrt{2} (- \sqrt{3}) + \sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} \sqrt{2} + \sqrt{3} (- \sqrt{3})$

解题步骤 2.1.2

将 $\sqrt{2}$ 乘以 $1$ 。

$1 + \sqrt{2} + 1 (- \sqrt{3}) + \sqrt{2} \cdot 1 + \sqrt{2} \sqrt{2} + \sqrt{2} (- \sqrt{3}) + \sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} \sqrt{2} + \sqrt{3} (- \sqrt{3})$

解题步骤 2.1.3

将 $- \sqrt{3}$ 乘以 $1$ 。

$1 + \sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{2} \cdot 1 + \sqrt{2} \sqrt{2} + \sqrt{2} (- \sqrt{3}) + \sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} \sqrt{2} + \sqrt{3} (- \sqrt{3})$

解题步骤 2.1.4

将 $\sqrt{2}$ 乘以 $1$ 。

$1 + \sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{2} + \sqrt{2} (- \sqrt{3}) + \sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} \sqrt{2} + \sqrt{3} (- \sqrt{3})$

解题步骤 2.1.5

使用根数乘积法则进行合并。

$1 + \sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{2} + \sqrt{2 \cdot 2} + \sqrt{2} (- \sqrt{3}) + \sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} \sqrt{2} + \sqrt{3} (- \sqrt{3})$

解题步骤 2.1.6

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$1 + \sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{2} + \sqrt{4} + \sqrt{2} (- \sqrt{3}) + \sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} \sqrt{2} + \sqrt{3} (- \sqrt{3})$

解题步骤 2.1.7

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$1 + \sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{2} + \sqrt{2^{2}} + \sqrt{2} (- \sqrt{3}) + \sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} \sqrt{2} + \sqrt{3} (- \sqrt{3})$

解题步骤 2.1.8

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$1 + \sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{2} + 2 + \sqrt{2} (- \sqrt{3}) + \sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} \sqrt{2} + \sqrt{3} (- \sqrt{3})$

解题步骤 2.1.9

乘以 $\sqrt{2} (- \sqrt{3})$ 。

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解题步骤 2.1.9.1

使用根数乘积法则进行合并。

$1 + \sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{2} + 2 - \sqrt{2 \cdot 3} + \sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} \sqrt{2} + \sqrt{3} (- \sqrt{3})$

解题步骤 2.1.9.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$1 + \sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{2} + 2 - \sqrt{6} + \sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} \sqrt{2} + \sqrt{3} (- \sqrt{3})$

解题步骤 2.1.10

将 $\sqrt{3}$ 乘以 $1$ 。

$1 + \sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{2} + 2 - \sqrt{6} + \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{2} + \sqrt{3} (- \sqrt{3})$

解题步骤 2.1.11

使用根数乘积法则进行合并。

$1 + \sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{2} + 2 - \sqrt{6} + \sqrt{3} + \sqrt{3 \cdot 2} + \sqrt{3} (- \sqrt{3})$

解题步骤 2.1.12

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$1 + \sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{2} + 2 - \sqrt{6} + \sqrt{3} + \sqrt{6} + \sqrt{3} (- \sqrt{3})$

解题步骤 2.1.13

乘以 $\sqrt{3} (- \sqrt{3})$ 。

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解题步骤 2.1.13.1

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$1 + \sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{2} + 2 - \sqrt{6} + \sqrt{3} + \sqrt{6} - ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})$

解题步骤 2.1.13.2

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$1 + \sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{2} + 2 - \sqrt{6} + \sqrt{3} + \sqrt{6} - ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})$

解题步骤 2.1.13.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$1 + \sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{2} + 2 - \sqrt{6} + \sqrt{3} + \sqrt{6} - {\sqrt{3}}^{1 + 1}$

解题步骤 2.1.13.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$1 + \sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{2} + 2 - \sqrt{6} + \sqrt{3} + \sqrt{6} - {\sqrt{3}}^{2}$

解题步骤 2.1.14

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 2.1.14.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$1 + \sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{2} + 2 - \sqrt{6} + \sqrt{3} + \sqrt{6} - {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}$

解题步骤 2.1.14.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$1 + \sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{2} + 2 - \sqrt{6} + \sqrt{3} + \sqrt{6} - 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

解题步骤 2.1.14.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$1 + \sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{2} + 2 - \sqrt{6} + \sqrt{3} + \sqrt{6} - 3^{\frac{2}{2}}$

解题步骤 2.1.14.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.14.4.1

约去公因数。

$1 + \sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{2} + 2 - \sqrt{6} + \sqrt{3} + \sqrt{6} - 3^{\frac{2}{2}}$

解题步骤 2.1.14.4.2

重写表达式。

$1 + \sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{2} + 2 - \sqrt{6} + \sqrt{3} + \sqrt{6} - 3^{1}$

解题步骤 2.1.14.5

计算指数。

$1 + \sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{2} + 2 - \sqrt{6} + \sqrt{3} + \sqrt{6} - 1 \cdot 3$

解题步骤 2.1.15

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$1 + \sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{2} + 2 - \sqrt{6} + \sqrt{3} + \sqrt{6} - 3$

解题步骤 2.2

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 2.2.1

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$3 + \sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{2} - \sqrt{6} + \sqrt{3} + \sqrt{6} - 3$

解题步骤 2.2.2

通过减去各数进行化简。

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解题步骤 2.2.2.1

从 $3$ 中减去 $3$ 。

$0 + \sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{2} - \sqrt{6} + \sqrt{3} + \sqrt{6}$

解题步骤 2.2.2.2

将 $0$ 和 $\sqrt{2}$ 相加。

$\sqrt{2} - \sqrt{3} + \sqrt{2} - \sqrt{6} + \sqrt{3} + \sqrt{6}$

解题步骤 2.2.3

将 $\sqrt{2}$ 和 $\sqrt{2}$ 相加。

$2 \sqrt{2} - \sqrt{3} - \sqrt{6} + \sqrt{3} + \sqrt{6}$

解题步骤 2.2.4

将 $- \sqrt{3}$ 和 $\sqrt{3}$ 相加。

$2 \sqrt{2} + 0 - \sqrt{6} + \sqrt{6}$

解题步骤 2.2.5

将 $2 \sqrt{2}$ 和 $0$ 相加。

$2 \sqrt{2} - \sqrt{6} + \sqrt{6}$

解题步骤 2.2.6

将 $- \sqrt{6}$ 和 $\sqrt{6}$ 相加。

$2 \sqrt{2} + 0$

解题步骤 2.2.7

将 $2 \sqrt{2}$ 和 $0$ 相加。

$2 \sqrt{2}$

解题步骤 3

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$2 \sqrt{2}$

小数形式：

$2.82842712 \dots$

代数 示例

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