代数示例

$3 x - y^{2} = 8 y + 1$

解题步骤 1

在等式两边都加上 $y^{2}$ 。

$3 x = 8 y + 1 + y^{2}$

解题步骤 2

将 $3 x = 8 y + 1 + y^{2}$ 中的每一项除以 $3$ 并化简。

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解题步骤 2.1

将 $3 x = 8 y + 1 + y^{2}$ 中的每一项都除以 $3$ 。

$\frac{3 x}{3} = \frac{8 y}{3} + \frac{1}{3} + \frac{y^{2}}{3}$

解题步骤 2.2

化简左边。

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解题步骤 2.2.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{3 x}{3} = \frac{8 y}{3} + \frac{1}{3} + \frac{y^{2}}{3}$

解题步骤 2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{8 y}{3} + \frac{1}{3} + \frac{y^{2}}{3}$

解题步骤 3

确定给定抛物线的性质。

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解题步骤 3.1

将方程重写为顶点式。

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解题步骤 3.1.1

化简 $\frac{8 y}{3} + \frac{1}{3} + \frac{y^{2}}{3}$ 。

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解题步骤 3.1.1.1

移动 $\frac{1}{3}$ 。

$x = \frac{8 y}{3} + \frac{y^{2}}{3} + \frac{1}{3}$

解题步骤 3.1.1.2

将 $\frac{8 y}{3}$ 和 $\frac{y^{2}}{3}$ 重新排序。

$x = \frac{y^{2}}{3} + \frac{8 y}{3} + \frac{1}{3}$

解题步骤 3.1.2

对 $\frac{y^{2}}{3} + \frac{8 y}{3} + \frac{1}{3}$ 进行配方。

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解题步骤 3.1.2.1

使用 $a x^{2} + b x + c$ 的形式求 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 的值。

$a = \frac{1}{3}$

$b = \frac{8}{3}$

$c = \frac{1}{3}$

解题步骤 3.1.2.2

思考一下抛物线的顶点形式。

$a {(x + d)}^{2} + e$

解题步骤 3.1.2.3

使用公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 求 $d$ 的值。

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解题步骤 3.1.2.3.1

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 。

$d = \frac{\frac{8}{3}}{2 (\frac{1}{3})}$

解题步骤 3.1.2.3.2

化简右边。

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解题步骤 3.1.2.3.2.1

将分子乘以分母的倒数。

$d = \frac{8}{3} \cdot \frac{1}{2 (\frac{1}{3})}$

解题步骤 3.1.2.3.2.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.2.3.2.2.1

从 $8$ 中分解出因数 $2$ 。

$d = \frac{2 (4)}{3} \cdot \frac{1}{2 (\frac{1}{3})}$

解题步骤 3.1.2.3.2.2.2

约去公因数。

$d = \frac{2 \cdot 4}{3} \cdot \frac{1}{2 (\frac{1}{3})}$

解题步骤 3.1.2.3.2.2.3

重写表达式。

$d = \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{\frac{1}{3}}$

解题步骤 3.1.2.3.2.3

将 $\frac{4}{3}$ 乘以 $\frac{1}{\frac{1}{3}}$ 。

$d = \frac{4}{3 (\frac{1}{3})}$

解题步骤 3.1.2.3.2.4

组合 $3$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$d = \frac{4}{\frac{3}{3}}$

解题步骤 3.1.2.3.2.5

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.2.3.2.5.1

约去公因数。

$d = \frac{4}{\frac{3}{3}}$

解题步骤 3.1.2.3.2.5.2

重写表达式。

$d = \frac{4}{1}$

解题步骤 3.1.2.3.2.6

用 $4$ 除以 $1$ 。

$d = 4$

解题步骤 3.1.2.4

使用公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 求 $e$ 的值。

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解题步骤 3.1.2.4.1

将 $c$ 、 $b$ 和 $a$ 的值代入公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 。

$e = \frac{1}{3} - \frac{{(\frac{8}{3})}^{2}}{4 (\frac{1}{3})}$

解题步骤 3.1.2.4.2

化简右边。

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解题步骤 3.1.2.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.2.4.2.1.1

化简分子。

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解题步骤 3.1.2.4.2.1.1.1

对 $\frac{8}{3}$ 运用乘积法则。

$e = \frac{1}{3} - \frac{\frac{8^{2}}{3^{2}}}{4 (\frac{1}{3})}$

解题步骤 3.1.2.4.2.1.1.2

对 $8$ 进行 $2$ 次方运算。

$e = \frac{1}{3} - \frac{\frac{64}{3^{2}}}{4 (\frac{1}{3})}$

解题步骤 3.1.2.4.2.1.1.3

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$e = \frac{1}{3} - \frac{\frac{64}{9}}{4 (\frac{1}{3})}$

解题步骤 3.1.2.4.2.1.2

组合 $4$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$e = \frac{1}{3} - \frac{\frac{64}{9}}{\frac{4}{3}}$

解题步骤 3.1.2.4.2.1.3

将分子乘以分母的倒数。

$e = \frac{1}{3} - (\frac{64}{9} \cdot \frac{3}{4})$

解题步骤 3.1.2.4.2.1.4

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.2.4.2.1.4.1

从 $64$ 中分解出因数 $4$ 。

$e = \frac{1}{3} - (\frac{4 (16)}{9} \cdot \frac{3}{4})$

解题步骤 3.1.2.4.2.1.4.2

约去公因数。

$e = \frac{1}{3} - (\frac{4 \cdot 16}{9} \cdot \frac{3}{4})$

解题步骤 3.1.2.4.2.1.4.3

重写表达式。

$e = \frac{1}{3} - (\frac{16}{9} \cdot 3)$

解题步骤 3.1.2.4.2.1.5

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.2.4.2.1.5.1

从 $9$ 中分解出因数 $3$ 。

$e = \frac{1}{3} - (\frac{16}{3 (3)} \cdot 3)$

解题步骤 3.1.2.4.2.1.5.2

约去公因数。

$e = \frac{1}{3} - (\frac{16}{3 \cdot 3} \cdot 3)$

解题步骤 3.1.2.4.2.1.5.3

重写表达式。

$e = \frac{1}{3} - \frac{16}{3}$

解题步骤 3.1.2.4.2.2

在公分母上合并分子。

$e = \frac{1 - 16}{3}$

解题步骤 3.1.2.4.2.3

从 $1$ 中减去 $16$ 。

$e = \frac{- 15}{3}$

解题步骤 3.1.2.4.2.4

用 $- 15$ 除以 $3$ 。

$e = - 5$

解题步骤 3.1.2.5

将 $a$ 、 $d$ 和 $e$ 的值代入顶点式 $\frac{1}{3} {(y + 4)}^{2} - 5$ 。

$\frac{1}{3} {(y + 4)}^{2} - 5$

解题步骤 3.1.3

将 $x$ 设为等于右边新的值。

$x = \frac{1}{3} \cdot {(y + 4)}^{2} - 5$

解题步骤 3.2

使用顶点式 $x = a {(y - k)}^{2} + h$ 求 $a$ 、 $h$ 和 $k$ 的值。

$a = \frac{1}{3}$

$h = - 5$

$k = - 4$

解题步骤 3.3

因为 $a$ 的值是正数，所以该抛物线开口向右。

开口向右

解题步骤 3.4

求顶点 $(h, k)$ 。

$(- 5, - 4)$

解题步骤 3.5

求 $p$ ，即从顶点到焦点的距离。

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解题步骤 3.5.1

使用以下公式求从抛物线顶点到焦点的距离。

$\frac{1}{4 a}$

解题步骤 3.5.2

将 $a$ 的值代入公式中。

$\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{3}}$

解题步骤 3.5.3

化简。

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解题步骤 3.5.3.1

组合 $4$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$\frac{1}{\frac{4}{3}}$

解题步骤 3.5.3.2

将分子乘以分母的倒数。

$1 (\frac{3}{4})$

解题步骤 3.5.3.3

将 $\frac{3}{4}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{3}{4}$

解题步骤 3.6

求焦点。

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解题步骤 3.6.1

如果抛物线开口向左或向右，则可通过让 $p$ 加上 X 轴坐标 $h$ 求得抛物线的焦点。

$(h + p, k)$

解题步骤 3.6.2

将 $h$ 、 $p$ 和 $k$ 的已知值代入公式并化简。

$(- \frac{17}{4}, - 4)$

解题步骤 3.7

通过找出经过顶点和焦点的直线，确定对称轴。

$y = - 4$

解题步骤 3.8

求准线。

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解题步骤 3.8.1

如果抛物线开口向左或向右，那么抛物线的准线为通过从顶点的 x 坐标 $h$ 减去 $p$ 求得的正垂线。

$x = h - p$

解题步骤 3.8.2

将 $p$ 和 $h$ 的已知值代入公式并化简。

$x = - \frac{23}{4}$

解题步骤 3.9

使用抛物线的性质分析抛物线并画出其图像。

方向：开口向右

顶点： $(- 5, - 4)$

焦点： $(- \frac{17}{4}, - 4)$

对称轴： $y = - 4$

准线： $x = - \frac{23}{4}$

方向：开口向右

顶点： $(- 5, - 4)$

焦点： $(- \frac{17}{4}, - 4)$

对称轴： $y = - 4$

准线： $x = - \frac{23}{4}$

解题步骤 4

选取几个 $x$ 的值，将其代入方程以求对应的 $y$ 值，所选取的 $x$ 值应在顶点附近。

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解题步骤 4.1

将 $x$ 的值 $- 4$ 代入 $f (x) = - 4 - \sqrt{3 (x + 5)}$ 。在本例中，该点为 $(- 4, - 5.7320508)$ 。

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解题步骤 4.1.1

使用表达式中的 $- 4$ 替换变量 $x$ 。

$f (- 4) = - 4 - \sqrt{3 ((- 4) + 5)}$

解题步骤 4.1.2

化简结果。

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解题步骤 4.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.2.1.1

将 $- 4$ 和 $5$ 相加。

$f (- 4) = - 4 - \sqrt{3 \cdot 1}$

解题步骤 4.1.2.1.2

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$f (- 4) = - 4 - \sqrt{3}$

解题步骤 4.1.2.2

最终答案为 $- 4 - \sqrt{3}$ 。

$y = - 4 - \sqrt{3}$

解题步骤 4.1.3

把 $- 4 - \sqrt{3}$ 转换成小数。

$= - 5.7320508$

解题步骤 4.2

将 $x$ 的值 $- 4$ 代入 $f (x) = - 4 + \sqrt{3 (x + 5)}$ 。在本例中，该点为 $(- 4, - 2.26794919)$ 。

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解题步骤 4.2.1

使用表达式中的 $- 4$ 替换变量 $x$ 。

$f (- 4) = - 4 + \sqrt{3 ((- 4) + 5)}$

解题步骤 4.2.2

化简结果。

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解题步骤 4.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.2.1.1

将 $- 4$ 和 $5$ 相加。

$f (- 4) = - 4 + \sqrt{3 \cdot 1}$

解题步骤 4.2.2.1.2

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$f (- 4) = - 4 + \sqrt{3}$

解题步骤 4.2.2.2

最终答案为 $- 4 + \sqrt{3}$ 。

$y = - 4 + \sqrt{3}$

解题步骤 4.2.3

把 $- 4 + \sqrt{3}$ 转换成小数。

$= - 2.26794919$

解题步骤 4.3

将 $x$ 的值 $- 3$ 代入 $f (x) = - 4 - \sqrt{3 (x + 5)}$ 。在本例中，该点为 $(- 3, - 6.44948974)$ 。

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解题步骤 4.3.1

使用表达式中的 $- 3$ 替换变量 $x$ 。

$f (- 3) = - 4 - \sqrt{3 ((- 3) + 5)}$

解题步骤 4.3.2

化简结果。

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解题步骤 4.3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.3.2.1.1

将 $- 3$ 和 $5$ 相加。

$f (- 3) = - 4 - \sqrt{3 \cdot 2}$

解题步骤 4.3.2.1.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$f (- 3) = - 4 - \sqrt{6}$

解题步骤 4.3.2.2

最终答案为 $- 4 - \sqrt{6}$ 。

$y = - 4 - \sqrt{6}$

解题步骤 4.3.3

把 $- 4 - \sqrt{6}$ 转换成小数。

$= - 6.44948974$

解题步骤 4.4

将 $x$ 的值 $- 3$ 代入 $f (x) = - 4 + \sqrt{3 (x + 5)}$ 。在本例中，该点为 $(- 3, - 1.55051025)$ 。

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解题步骤 4.4.1

使用表达式中的 $- 3$ 替换变量 $x$ 。

$f (- 3) = - 4 + \sqrt{3 ((- 3) + 5)}$

解题步骤 4.4.2

化简结果。

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解题步骤 4.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.4.2.1.1

将 $- 3$ 和 $5$ 相加。

$f (- 3) = - 4 + \sqrt{3 \cdot 2}$

解题步骤 4.4.2.1.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$f (- 3) = - 4 + \sqrt{6}$

解题步骤 4.4.2.2

最终答案为 $- 4 + \sqrt{6}$ 。

$y = - 4 + \sqrt{6}$

解题步骤 4.4.3

把 $- 4 + \sqrt{6}$ 转换成小数。

$= - 1.55051025$

解题步骤 4.5

利用抛物线的性质和特定点画出其图像。

$\begin{array}{c} x & y \\ - 5 & - 4 \\ - 4 & - 5.73 \\ - 4 & - 2.27 \\ - 3 & - 6.45 \\ - 3 & - 1.55 \end{array}$

解题步骤 5

利用抛物线的性质和特定点画出其图像。

方向：开口向右

顶点： $(- 5, - 4)$

焦点： $(- \frac{17}{4}, - 4)$

对称轴： $y = - 4$

准线： $x = - \frac{23}{4}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 5 & - 4 \\ - 4 & - 5.73 \\ - 4 & - 2.27 \\ - 3 & - 6.45 \\ - 3 & - 1.55 \end{array}$

解题步骤 6

代数 示例

代数示例