代数示例

$\tan^{2} (x) - \sec (x) = 1$

解题步骤 1

以平方差的形式重写 $\tan^{2} (x) - \sec (x)$ 。

$\tan^{2} (x) - {\sqrt{\sec (x)}}^{2}$

解题步骤 2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = \tan (x)$ 和 $b = \sqrt{\sec (x)}$ 。

$(\tan (x) + \sqrt{\sec (x)}) (\tan (x) - \sqrt{\sec (x)})$

解题步骤 3

求解 $\sqrt{\sec (x)}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1.1

化简 $(\tan (x) + \sqrt{\sec (x)}) (\tan (x) - \sqrt{\sec (x)})$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1.1.1

使用 FOIL 方法展开 $(\tan (x) + \sqrt{\sec (x)}) (\tan (x) - \sqrt{\sec (x)})$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1.1.1.1

运用分配律。

$\tan (x) (\tan (x) - \sqrt{\sec (x)}) + \sqrt{\sec (x)} (\tan (x) - \sqrt{\sec (x)}) = 1$

解题步骤 3.1.1.1.2

运用分配律。

$\tan (x) \tan (x) + \tan (x) (- \sqrt{\sec (x)}) + \sqrt{\sec (x)} (\tan (x) - \sqrt{\sec (x)}) = 1$

解题步骤 3.1.1.1.3

运用分配律。

$\tan (x) \tan (x) + \tan (x) (- \sqrt{\sec (x)}) + \sqrt{\sec (x)} \tan (x) + \sqrt{\sec (x)} (- \sqrt{\sec (x)}) = 1$

解题步骤 3.1.1.2

化简项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1.1.2.1

合并 $\tan (x) \tan (x) + \tan (x) (- \sqrt{\sec (x)}) + \sqrt{\sec (x)} \tan (x) + \sqrt{\sec (x)} (- \sqrt{\sec (x)})$ 中相反的项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1.1.2.1.1

按照 $\tan (x) (- \sqrt{\sec (x)})$ 和 $\sqrt{\sec (x)} \tan (x)$ 重新排列因数。

$\tan (x) \tan (x) - \sqrt{\sec (x)} \tan (x) + \sqrt{\sec (x)} \tan (x) + \sqrt{\sec (x)} (- \sqrt{\sec (x)}) = 1$

解题步骤 3.1.1.2.1.2

将 $- \sqrt{\sec (x)} \tan (x)$ 和 $\sqrt{\sec (x)} \tan (x)$ 相加。

$\tan (x) \tan (x) + 0 + \sqrt{\sec (x)} (- \sqrt{\sec (x)}) = 1$

解题步骤 3.1.1.2.1.3

将 $\tan (x) \tan (x)$ 和 $0$ 相加。

$\tan (x) \tan (x) + \sqrt{\sec (x)} (- \sqrt{\sec (x)}) = 1$

解题步骤 3.1.1.2.2

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1.1.2.2.1

乘以 $\tan (x) \tan (x)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1.1.2.2.1.1

对 $\tan (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\tan^{1} (x) \tan (x) + \sqrt{\sec (x)} (- \sqrt{\sec (x)}) = 1$

解题步骤 3.1.1.2.2.1.2

对 $\tan (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\tan^{1} (x) \tan^{1} (x) + \sqrt{\sec (x)} (- \sqrt{\sec (x)}) = 1$

解题步骤 3.1.1.2.2.1.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

${\tan (x)}^{1 + 1} + \sqrt{\sec (x)} (- \sqrt{\sec (x)}) = 1$

解题步骤 3.1.1.2.2.1.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\tan^{2} (x) + \sqrt{\sec (x)} (- \sqrt{\sec (x)}) = 1$

解题步骤 3.1.1.2.2.2

使用乘法的交换性质重写。

$\tan^{2} (x) - \sqrt{\sec (x)} \sqrt{\sec (x)} = 1$

解题步骤 3.1.1.2.2.3

通过指数相加将 $\sqrt{\sec (x)}$ 乘以 $\sqrt{\sec (x)}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1.1.2.2.3.1

移动 $\sqrt{\sec (x)}$ 。

$\tan^{2} (x) - (\sqrt{\sec (x)} \sqrt{\sec (x)}) = 1$

解题步骤 3.1.1.2.2.3.2

将 $\sqrt{\sec (x)}$ 乘以 $\sqrt{\sec (x)}$ 。

$\tan^{2} (x) - {\sqrt{\sec (x)}}^{2} = 1$

解题步骤 3.2

从等式两边同时减去 $\tan^{2} (x)$ 。

$- {\sqrt{\sec (x)}}^{2} = 1 - \tan^{2} (x)$

解题步骤 3.3

将 $- {\sqrt{\sec (x)}}^{2} = 1 - \tan^{2} (x)$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.1

将 $- {\sqrt{\sec (x)}}^{2} = 1 - \tan^{2} (x)$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- {\sqrt{\sec (x)}}^{2}}{- 1} = \frac{1}{- 1} + \frac{- \tan^{2} (x)}{- 1}$

解题步骤 3.3.2

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{{\sqrt{\sec (x)}}^{2}}{1} = \frac{1}{- 1} + \frac{- \tan^{2} (x)}{- 1}$

解题步骤 3.3.2.2

用 ${\sqrt{\sec (x)}}^{2}$ 除以 $1$ 。

${\sqrt{\sec (x)}}^{2} = \frac{1}{- 1} + \frac{- \tan^{2} (x)}{- 1}$

解题步骤 3.3.3

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.3.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.3.1.1

用 $1$ 除以 $- 1$ 。

${\sqrt{\sec (x)}}^{2} = - 1 + \frac{- \tan^{2} (x)}{- 1}$

解题步骤 3.3.3.1.2

将两个负数相除得到一个正数。

${\sqrt{\sec (x)}}^{2} = - 1 + \frac{\tan^{2} (x)}{1}$

解题步骤 3.3.3.1.3

用 $\tan^{2} (x)$ 除以 $1$ 。

${\sqrt{\sec (x)}}^{2} = - 1 + \tan^{2} (x)$

解题步骤 3.4

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$\sqrt{\sec (x)} = \pm \sqrt{- 1 + \tan^{2} (x)}$

解题步骤 3.5

化简 $\pm \sqrt{- 1 + \tan^{2} (x)}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.5.1

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.5.1.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\sqrt{\sec (x)} = \pm \sqrt{- 1^{2} + \tan^{2} (x)}$

解题步骤 3.5.1.2

将 $- 1^{2}$ 和 $\tan^{2} (x)$ 重新排序。

$\sqrt{\sec (x)} = \pm \sqrt{\tan^{2} (x) - 1^{2}}$

解题步骤 3.5.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = \tan (x)$ 和 $b = 1$ 。

$\sqrt{\sec (x)} = \pm \sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)}$

解题步骤 3.6

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.6.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$\sqrt{\sec (x)} = \sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)}$

解题步骤 3.6.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$\sqrt{\sec (x)} = - \sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)}$

解题步骤 3.6.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$\sqrt{\sec (x)} = \sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)}, - \sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)}$

解题步骤 4

在 $\sqrt{\sec (x)} = \sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)}$ 中求解 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行平方。

${\sqrt{\sec (x)}}^{2} = {\sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)}}^{2}$

解题步骤 4.2

化简方程的两边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{\sec (x)}$ 重写成 ${\sec (x)}^{\frac{1}{2}}$ 。

${({\sec (x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {\sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)}}^{2}$

解题步骤 4.2.2

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.2.1

化简 ${({\sec (x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.2.1.1

将 ${({\sec (x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.2.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

${\sec (x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {\sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)}}^{2}$

解题步骤 4.2.2.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.2.1.1.2.1

约去公因数。

${\sec (x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {\sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)}}^{2}$

解题步骤 4.2.2.1.1.2.2

重写表达式。

$\sec^{1} (x) = {\sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)}}^{2}$

解题步骤 4.2.2.1.2

化简。

$\sec (x) = {\sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)}}^{2}$

解题步骤 4.2.3

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.3.1

化简 ${\sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)}}^{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.3.1.1

将 ${\sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)}}^{2}$ 重写为 $(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.3.1.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)}$ 重写成 ${((\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1))}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\sec (x) = {({((\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

解题步骤 4.2.3.1.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\sec (x) = {((\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

解题步骤 4.2.3.1.1.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\sec (x) = {((\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1))}^{\frac{2}{2}}$

解题步骤 4.2.3.1.1.4

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.3.1.1.4.1

约去公因数。

$\sec (x) = {((\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1))}^{\frac{2}{2}}$

解题步骤 4.2.3.1.1.4.2

重写表达式。

$\sec (x) = {((\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1))}^{1}$

解题步骤 4.2.3.1.1.5

化简。

$\sec (x) = (\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)$

解题步骤 4.2.3.1.2

使用 FOIL 方法展开 $(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.3.1.2.1

运用分配律。

$\sec (x) = \tan (x) (\tan (x) - 1) + 1 (\tan (x) - 1)$

解题步骤 4.2.3.1.2.2

运用分配律。

$\sec (x) = \tan (x) \tan (x) + \tan (x) \cdot - 1 + 1 (\tan (x) - 1)$

解题步骤 4.2.3.1.2.3

运用分配律。

$\sec (x) = \tan (x) \tan (x) + \tan (x) \cdot - 1 + 1 \tan (x) + 1 \cdot - 1$

解题步骤 4.2.3.1.3

化简并合并同类项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.3.1.3.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.3.1.3.1.1

乘以 $\tan (x) \tan (x)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.3.1.3.1.1.1

对 $\tan (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sec (x) = \tan^{1} (x) \tan (x) + \tan (x) \cdot - 1 + 1 \tan (x) + 1 \cdot - 1$

解题步骤 4.2.3.1.3.1.1.2

对 $\tan (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sec (x) = \tan^{1} (x) \tan^{1} (x) + \tan (x) \cdot - 1 + 1 \tan (x) + 1 \cdot - 1$

解题步骤 4.2.3.1.3.1.1.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\sec (x) = {\tan (x)}^{1 + 1} + \tan (x) \cdot - 1 + 1 \tan (x) + 1 \cdot - 1$

解题步骤 4.2.3.1.3.1.1.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\sec (x) = \tan^{2} (x) + \tan (x) \cdot - 1 + 1 \tan (x) + 1 \cdot - 1$

解题步骤 4.2.3.1.3.1.2

将 $- 1$ 移到 $\tan (x)$ 的左侧。

$\sec (x) = \tan^{2} (x) - 1 \cdot \tan (x) + 1 \tan (x) + 1 \cdot - 1$

解题步骤 4.2.3.1.3.1.3

将 $- 1 \tan (x)$ 重写为 $- \tan (x)$ 。

$\sec (x) = \tan^{2} (x) - \tan (x) + 1 \tan (x) + 1 \cdot - 1$

解题步骤 4.2.3.1.3.1.4

将 $\tan (x)$ 乘以 $1$ 。

$\sec (x) = \tan^{2} (x) - \tan (x) + \tan (x) + 1 \cdot - 1$

解题步骤 4.2.3.1.3.1.5

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\sec (x) = \tan^{2} (x) - \tan (x) + \tan (x) - 1$

解题步骤 4.2.3.1.3.2

将 $- \tan (x)$ 和 $\tan (x)$ 相加。

$\sec (x) = \tan^{2} (x) + 0 - 1$

解题步骤 4.2.3.1.3.3

将 $\tan^{2} (x)$ 和 $0$ 相加。

$\sec (x) = \tan^{2} (x) - 1$

解题步骤 4.3

求解 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.1

从等式两边同时减去 $\tan^{2} (x)$ 。

$\sec (x) - \tan^{2} (x) = - 1$

解题步骤 4.3.2

使用基于 $\tan^{2} (x) + 1 = \sec^{2} (x)$ 恒等式的 $- (\sec^{2} (x) - 1)$ 替换 $- \tan^{2} (x)$ 。

$\sec (x) - (\sec^{2} (x) - 1) = - 1$

解题步骤 4.3.3

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.3.1

运用分配律。

$\sec (x) - \sec^{2} (x) + 1 = - 1$

解题步骤 4.3.3.2

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\sec (x) - \sec^{2} (x) + 1 = - 1$

解题步骤 4.3.4

重新排列多项式。

$- \sec^{2} (x) + \sec (x) + 1 = - 1$

解题步骤 4.3.5

代入 $u$ 替换 $\sec (x)$ 。

$- {(u)}^{2} + u + 1 = - 1$

解题步骤 4.3.6

在等式两边都加上 $1$ 。

$- u^{2} + u + 1 + 1 = 0$

解题步骤 4.3.7

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- u^{2} + u + 2 = 0$

解题步骤 4.3.8

对方程左边进行因式分解。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.8.1

从 $- u^{2} + u + 2$ 中分解出因数 $- 1$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.8.1.1

从 $- u^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- u^{2} + u + 2 = 0$

解题步骤 4.3.8.1.2

从 $u$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- u^{2} - 1 (- u) + 2 = 0$

解题步骤 4.3.8.1.3

将 $2$ 重写为 $- 1 (- 2)$ 。

$- u^{2} - 1 (- u) - 1 \cdot - 2 = 0$

解题步骤 4.3.8.1.4

从 $- u^{2} - 1 (- u)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- (u^{2} - u) - 1 \cdot - 2 = 0$

解题步骤 4.3.8.1.5

从 $- (u^{2} - u) - 1 (- 2)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- (u^{2} - u - 2) = 0$

解题步骤 4.3.8.2

因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.8.2.1

使用 AC 法来对 $u^{2} - u - 2$ 进行因式分解。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.8.2.1.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 2$ ，和为 $- 1$ 。

$- 2, 1$

解题步骤 4.3.8.2.1.2

使用这些整数书写分数形式。

$- ((u - 2) (u + 1)) = 0$

解题步骤 4.3.8.2.2

去掉多余的括号。

$- (u - 2) (u + 1) = 0$

解题步骤 4.3.9

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$u - 2 = 0$

$u + 1 = 0$

解题步骤 4.3.10

将 $u - 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $u$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.10.1

将 $u - 2$ 设为等于 $0$ 。

$u - 2 = 0$

解题步骤 4.3.10.2

在等式两边都加上 $2$ 。

$u = 2$

解题步骤 4.3.11

将 $u + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $u$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.11.1

将 $u + 1$ 设为等于 $0$ 。

$u + 1 = 0$

解题步骤 4.3.11.2

从等式两边同时减去 $1$ 。

$u = - 1$

解题步骤 4.3.12

最终解为使 $- (u - 2) (u + 1) = 0$ 成立的所有值。

$u = 2, - 1$

解题步骤 4.3.13

代入 $\sec (x)$ 替换 $u$ 。

$\sec (x) = 2, - 1$

解题步骤 4.3.14

建立每一个解以求解 $x$ 。

$\sec (x) = 2$

$\sec (x) = - 1$

解题步骤 4.3.15

在 $\sec (x) = 2$ 中求解 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.15.1

对方程两边取反正割以便从正割中提出 $x$ 。

$x = arcsec (2)$

解题步骤 4.3.15.2

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.15.2.1

$arcsec (2)$ 的准确值为 $\frac{π}{3}$ 。

$x = \frac{π}{3}$

解题步骤 4.3.15.3

正割函数在第一象限和第斯象限为负。要求第二个解，应从 $2 π$ 中减去参考角以求第四象限中的解。

$x = 2 π - \frac{π}{3}$

解题步骤 4.3.15.4

化简 $2 π - \frac{π}{3}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.15.4.1

要将 $2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

解题步骤 4.3.15.4.2

合并分数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.15.4.2.1

组合 $2 π$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

解题步骤 4.3.15.4.2.2

在公分母上合并分子。

$x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

解题步骤 4.3.15.4.3

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.15.4.3.1

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{6 π - π}{3}$

解题步骤 4.3.15.4.3.2

从 $6 π$ 中减去 $π$ 。

$x = \frac{5 π}{3}$

解题步骤 4.3.15.5

求 $\sec (x)$ 的周期。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.15.5.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 4.3.15.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 4.3.15.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 4.3.15.5.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 4.3.15.6

$\sec (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 4.3.16

在 $\sec (x) = - 1$ 中求解 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.16.1

对方程两边取反正割以便从正割中提出 $x$ 。

$x = arcsec (- 1)$

解题步骤 4.3.16.2

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.16.2.1

$arcsec (- 1)$ 的准确值为 $π$ 。

$x = π$

解题步骤 4.3.16.3

正割函数在第二象限和第三象限为负。要求第二个解，应从 $2 π$ 中减去参考角以求第三象限中的解。

$x = 2 π - π$

解题步骤 4.3.16.4

从 $2 π$ 中减去 $π$ 。

$x = π$

解题步骤 4.3.16.5

求 $\sec (x)$ 的周期。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.3.16.5.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 4.3.16.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 4.3.16.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 4.3.16.5.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 4.3.16.6

$\sec (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = π + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 4.3.17

列出所有解。

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n, π + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 4.3.18

合并答案。

$x = \frac{π}{3} + \frac{2 π n}{3}$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 5

在 $\sqrt{\sec (x)} = - \sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)}$ 中求解 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行平方。

${\sqrt{\sec (x)}}^{2} = {(- \sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)})}^{2}$

解题步骤 5.2

化简方程的两边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{\sec (x)}$ 重写成 ${\sec (x)}^{\frac{1}{2}}$ 。

${({\sec (x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- \sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)})}^{2}$

解题步骤 5.2.2

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.2.1

化简 ${({\sec (x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.2.1.1

将 ${({\sec (x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.2.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

${\sec (x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- \sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)})}^{2}$

解题步骤 5.2.2.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.2.1.1.2.1

约去公因数。

${\sec (x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- \sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)})}^{2}$

解题步骤 5.2.2.1.1.2.2

重写表达式。

$\sec^{1} (x) = {(- \sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)})}^{2}$

解题步骤 5.2.2.1.2

化简。

$\sec (x) = {(- \sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)})}^{2}$

解题步骤 5.2.3

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.3.1

化简 ${(- \sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)})}^{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.3.1.1

通过约去带根式的指数进行化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.3.1.1.1

对 $- \sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)}$ 运用乘积法则。

$\sec (x) = {(- 1)}^{2} {\sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)}}^{2}$

解题步骤 5.2.3.1.1.2

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.3.1.1.2.1

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$\sec (x) = 1 {\sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)}}^{2}$

解题步骤 5.2.3.1.1.2.2

将 ${\sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)}}^{2}$ 乘以 $1$ 。

$\sec (x) = {\sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)}}^{2}$

解题步骤 5.2.3.1.1.3

将 ${\sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)}}^{2}$ 重写为 $(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.3.1.1.3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)}$ 重写成 ${((\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1))}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\sec (x) = {({((\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

解题步骤 5.2.3.1.1.3.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\sec (x) = {((\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

解题步骤 5.2.3.1.1.3.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\sec (x) = {((\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1))}^{\frac{2}{2}}$

解题步骤 5.2.3.1.1.3.4

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.3.1.1.3.4.1

约去公因数。

$\sec (x) = {((\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1))}^{\frac{2}{2}}$

解题步骤 5.2.3.1.1.3.4.2

重写表达式。

$\sec (x) = {((\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1))}^{1}$

解题步骤 5.2.3.1.1.3.5

化简。

$\sec (x) = (\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)$

解题步骤 5.2.3.1.2

使用 FOIL 方法展开 $(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.3.1.2.1

运用分配律。

$\sec (x) = \tan (x) (\tan (x) - 1) + 1 (\tan (x) - 1)$

解题步骤 5.2.3.1.2.2

运用分配律。

$\sec (x) = \tan (x) \tan (x) + \tan (x) \cdot - 1 + 1 (\tan (x) - 1)$

解题步骤 5.2.3.1.2.3

运用分配律。

$\sec (x) = \tan (x) \tan (x) + \tan (x) \cdot - 1 + 1 \tan (x) + 1 \cdot - 1$

解题步骤 5.2.3.1.3

化简并合并同类项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.3.1.3.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.3.1.3.1.1

乘以 $\tan (x) \tan (x)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.3.1.3.1.1.1

对 $\tan (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sec (x) = \tan^{1} (x) \tan (x) + \tan (x) \cdot - 1 + 1 \tan (x) + 1 \cdot - 1$

解题步骤 5.2.3.1.3.1.1.2

对 $\tan (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\sec (x) = \tan^{1} (x) \tan^{1} (x) + \tan (x) \cdot - 1 + 1 \tan (x) + 1 \cdot - 1$

解题步骤 5.2.3.1.3.1.1.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\sec (x) = {\tan (x)}^{1 + 1} + \tan (x) \cdot - 1 + 1 \tan (x) + 1 \cdot - 1$

解题步骤 5.2.3.1.3.1.1.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\sec (x) = \tan^{2} (x) + \tan (x) \cdot - 1 + 1 \tan (x) + 1 \cdot - 1$

解题步骤 5.2.3.1.3.1.2

将 $- 1$ 移到 $\tan (x)$ 的左侧。

$\sec (x) = \tan^{2} (x) - 1 \cdot \tan (x) + 1 \tan (x) + 1 \cdot - 1$

解题步骤 5.2.3.1.3.1.3

将 $- 1 \tan (x)$ 重写为 $- \tan (x)$ 。

$\sec (x) = \tan^{2} (x) - \tan (x) + 1 \tan (x) + 1 \cdot - 1$

解题步骤 5.2.3.1.3.1.4

将 $\tan (x)$ 乘以 $1$ 。

$\sec (x) = \tan^{2} (x) - \tan (x) + \tan (x) + 1 \cdot - 1$

解题步骤 5.2.3.1.3.1.5

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\sec (x) = \tan^{2} (x) - \tan (x) + \tan (x) - 1$

解题步骤 5.2.3.1.3.2

将 $- \tan (x)$ 和 $\tan (x)$ 相加。

$\sec (x) = \tan^{2} (x) + 0 - 1$

解题步骤 5.2.3.1.3.3

将 $\tan^{2} (x)$ 和 $0$ 相加。

$\sec (x) = \tan^{2} (x) - 1$

解题步骤 5.3

求解 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.1

从等式两边同时减去 $\tan^{2} (x)$ 。

$\sec (x) - \tan^{2} (x) = - 1$

解题步骤 5.3.2

使用基于 $\tan^{2} (x) + 1 = \sec^{2} (x)$ 恒等式的 $- (\sec^{2} (x) - 1)$ 替换 $- \tan^{2} (x)$ 。

$\sec (x) - (\sec^{2} (x) - 1) = - 1$

解题步骤 5.3.3

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.3.1

运用分配律。

$\sec (x) - \sec^{2} (x) + 1 = - 1$

解题步骤 5.3.3.2

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\sec (x) - \sec^{2} (x) + 1 = - 1$

解题步骤 5.3.4

重新排列多项式。

$- \sec^{2} (x) + \sec (x) + 1 = - 1$

解题步骤 5.3.5

代入 $u$ 替换 $\sec (x)$ 。

$- {(u)}^{2} + u + 1 = - 1$

解题步骤 5.3.6

在等式两边都加上 $1$ 。

$- u^{2} + u + 1 + 1 = 0$

解题步骤 5.3.7

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- u^{2} + u + 2 = 0$

解题步骤 5.3.8

对方程左边进行因式分解。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.8.1

从 $- u^{2} + u + 2$ 中分解出因数 $- 1$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.8.1.1

从 $- u^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- u^{2} + u + 2 = 0$

解题步骤 5.3.8.1.2

从 $u$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- u^{2} - 1 (- u) + 2 = 0$

解题步骤 5.3.8.1.3

将 $2$ 重写为 $- 1 (- 2)$ 。

$- u^{2} - 1 (- u) - 1 \cdot - 2 = 0$

解题步骤 5.3.8.1.4

从 $- u^{2} - 1 (- u)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- (u^{2} - u) - 1 \cdot - 2 = 0$

解题步骤 5.3.8.1.5

从 $- (u^{2} - u) - 1 (- 2)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- (u^{2} - u - 2) = 0$

解题步骤 5.3.8.2

因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.8.2.1

使用 AC 法来对 $u^{2} - u - 2$ 进行因式分解。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.8.2.1.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 2$ ，和为 $- 1$ 。

$- 2, 1$

解题步骤 5.3.8.2.1.2

使用这些整数书写分数形式。

$- ((u - 2) (u + 1)) = 0$

解题步骤 5.3.8.2.2

去掉多余的括号。

$- (u - 2) (u + 1) = 0$

解题步骤 5.3.9

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$u - 2 = 0$

$u + 1 = 0$

解题步骤 5.3.10

将 $u - 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $u$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.10.1

将 $u - 2$ 设为等于 $0$ 。

$u - 2 = 0$

解题步骤 5.3.10.2

在等式两边都加上 $2$ 。

$u = 2$

解题步骤 5.3.11

将 $u + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $u$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.11.1

将 $u + 1$ 设为等于 $0$ 。

$u + 1 = 0$

解题步骤 5.3.11.2

从等式两边同时减去 $1$ 。

$u = - 1$

解题步骤 5.3.12

最终解为使 $- (u - 2) (u + 1) = 0$ 成立的所有值。

$u = 2, - 1$

解题步骤 5.3.13

代入 $\sec (x)$ 替换 $u$ 。

$\sec (x) = 2, - 1$

解题步骤 5.3.14

建立每一个解以求解 $x$ 。

$\sec (x) = 2$

$\sec (x) = - 1$

解题步骤 5.3.15

在 $\sec (x) = 2$ 中求解 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.15.1

对方程两边取反正割以便从正割中提出 $x$ 。

$x = arcsec (2)$

解题步骤 5.3.15.2

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.15.2.1

$arcsec (2)$ 的准确值为 $\frac{π}{3}$ 。

$x = \frac{π}{3}$

解题步骤 5.3.15.3

正割函数在第一象限和第斯象限为负。要求第二个解，应从 $2 π$ 中减去参考角以求第四象限中的解。

$x = 2 π - \frac{π}{3}$

解题步骤 5.3.15.4

化简 $2 π - \frac{π}{3}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.15.4.1

要将 $2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

解题步骤 5.3.15.4.2

合并分数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.15.4.2.1

组合 $2 π$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

解题步骤 5.3.15.4.2.2

在公分母上合并分子。

$x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

解题步骤 5.3.15.4.3

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.15.4.3.1

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{6 π - π}{3}$

解题步骤 5.3.15.4.3.2

从 $6 π$ 中减去 $π$ 。

$x = \frac{5 π}{3}$

解题步骤 5.3.15.5

求 $\sec (x)$ 的周期。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.15.5.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 5.3.15.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 5.3.15.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 5.3.15.5.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 5.3.15.6

$\sec (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 5.3.16

在 $\sec (x) = - 1$ 中求解 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.16.1

对方程两边取反正割以便从正割中提出 $x$ 。

$x = arcsec (- 1)$

解题步骤 5.3.16.2

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.16.2.1

$arcsec (- 1)$ 的准确值为 $π$ 。

$x = π$

解题步骤 5.3.16.3

正割函数在第二象限和第三象限为负。要求第二个解，应从 $2 π$ 中减去参考角以求第三象限中的解。

$x = 2 π - π$

解题步骤 5.3.16.4

从 $2 π$ 中减去 $π$ 。

$x = π$

解题步骤 5.3.16.5

求 $\sec (x)$ 的周期。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.16.5.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 5.3.16.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 5.3.16.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 5.3.16.5.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 5.3.16.6

$\sec (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = π + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 5.3.17

列出所有解。

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n, π + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 5.3.18

合并答案。

$x = \frac{π}{3} + \frac{2 π n}{3}$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 6

列出所有解。

$x = \frac{π}{3} + \frac{2 π n}{3}, \frac{π}{3} + \frac{2 π n}{3}$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 7

排除不能使 $(\tan (x) + \sqrt{\sec (x)}) (\tan (x) - \sqrt{\sec (x)}) = 1$ 成立的解。

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

代数 示例

代数示例