代数示例

$P (x) = x^{5} + 3 x^{4} - 9 x^{3} - 31 x^{2} + 36$

解题步骤 1

重新组合项。

$P (x) = x^{5} + 3 x^{4} - 9 x^{3} - 31 x^{2} + 36$

解题步骤 2

从 $x^{5} + 3 x^{4}$ 中分解出因数 $x^{4}$ 。

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解题步骤 2.1

从 $x^{5}$ 中分解出因数 $x^{4}$ 。

$P (x) = x^{4} x + 3 x^{4} - 9 x^{3} - 31 x^{2} + 36$

解题步骤 2.2

从 $3 x^{4}$ 中分解出因数 $x^{4}$ 。

$P (x) = x^{4} x + x^{4} \cdot 3 - 9 x^{3} - 31 x^{2} + 36$

解题步骤 2.3

从 $x^{4} x + x^{4} \cdot 3$ 中分解出因数 $x^{4}$ 。

$P (x) = x^{4} (x + 3) - 9 x^{3} - 31 x^{2} + 36$

解题步骤 3

使用有理根检验法因式分解 $- 9 x^{3} - 31 x^{2} + 36$ 。

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解题步骤 3.1

如果一个多项式函数的各项系数都为整数，则每个有理零点应为 $\frac{p}{q}$ 的形式，其中 $p$ 为常数的因数，而 $q$ 为首项系数的因数。

$p = \pm 1, \pm 36, \pm 2, \pm 18, \pm 3, \pm 12, \pm 4, \pm 9, \pm 6$

$q = \pm 1, \pm 9, \pm 3$

解题步骤 3.2

求 $\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。这些将是多项式函数的可能根。

$\pm 1, \pm 0.\overline{1}, \pm 0.\overline{3}, \pm 36, \pm 4, \pm 12, \pm 2, \pm 0.\overline{2}, \pm 0.\overline{6}, \pm 18, \pm 6, \pm 3, \pm 1.\overline{3}, \pm 0.\overline{4}, \pm 9$

解题步骤 3.3

代入 $- 3$ 并化简表达式。在本例中，表达式等于 $0$ ，所以 $- 3$ 是多项式的根。

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解题步骤 3.3.1

将 $- 3$ 代入多项式。

$- 9 {(- 3)}^{3} - 31 {(- 3)}^{2} + 36$

解题步骤 3.3.2

对 $- 3$ 进行 $3$ 次方运算。

$- 9 \cdot - 27 - 31 {(- 3)}^{2} + 36$

解题步骤 3.3.3

将 $- 9$ 乘以 $- 27$ 。

$243 - 31 {(- 3)}^{2} + 36$

解题步骤 3.3.4

对 $- 3$ 进行 $2$ 次方运算。

$243 - 31 \cdot 9 + 36$

解题步骤 3.3.5

将 $- 31$ 乘以 $9$ 。

$243 - 279 + 36$

解题步骤 3.3.6

从 $243$ 中减去 $279$ 。

$- 36 + 36$

解题步骤 3.3.7

将 $- 36$ 和 $36$ 相加。

$0$

解题步骤 3.4

因为 $- 3$ 是一个已知的根，所以将多项式除以 $x + 3$ 求商式。得到的多项式之后可以用来求其余的根。

$\frac{- 9 x^{3} - 31 x^{2} + 36}{x + 3}$

解题步骤 3.5

用 $- 9 x^{3} - 31 x^{2} + 36$ 除以 $x + 3$ 。

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解题步骤 3.5.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$x$

$3$

$9 x^{3}$

$31 x^{2}$

$0 x$

$36$

解题步骤 3.5.2

将被除数中的最高阶项 $- 9 x^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

				-	$9 x^{2}$
	$x$	+	$3$	-	$9 x^{3}$	-	$31 x^{2}$	+	$0 x$	+	$36$

解题步骤 3.5.3

将新的商式项乘以除数。

			-	$9 x^{2}$
$x$	+	$3$	-	$9 x^{3}$	-	$31 x^{2}$	+	$0 x$	+	$36$
			-	$9 x^{3}$	-	$27 x^{2}$

解题步骤 3.5.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- 9 x^{3} - 27 x^{2}$ 中的所有符号

			-	$9 x^{2}$
$x$	+	$3$	-	$9 x^{3}$	-	$31 x^{2}$	+	$0 x$	+	$36$
			+	$9 x^{3}$	+	$27 x^{2}$

解题步骤 3.5.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

			-	$9 x^{2}$
$x$	+	$3$	-	$9 x^{3}$	-	$31 x^{2}$	+	$0 x$	+	$36$
			+	$9 x^{3}$	+	$27 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$

解题步骤 3.5.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

			-	$9 x^{2}$
$x$	+	$3$	-	$9 x^{3}$	-	$31 x^{2}$	+	$0 x$	+	$36$
			+	$9 x^{3}$	+	$27 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$

解题步骤 3.5.7

将被除数中的最高阶项 $- 4 x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

			-	$9 x^{2}$	-	$4 x$
$x$	+	$3$	-	$9 x^{3}$	-	$31 x^{2}$	+	$0 x$	+	$36$
			+	$9 x^{3}$	+	$27 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$

解题步骤 3.5.8

将新的商式项乘以除数。

			-	$9 x^{2}$	-	$4 x$
$x$	+	$3$	-	$9 x^{3}$	-	$31 x^{2}$	+	$0 x$	+	$36$
			+	$9 x^{3}$	+	$27 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$4 x^{2}$	-	$12 x$

解题步骤 3.5.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- 4 x^{2} - 12 x$ 中的所有符号

			-	$9 x^{2}$	-	$4 x$
$x$	+	$3$	-	$9 x^{3}$	-	$31 x^{2}$	+	$0 x$	+	$36$
			+	$9 x^{3}$	+	$27 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$12 x$

解题步骤 3.5.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

			-	$9 x^{2}$	-	$4 x$
$x$	+	$3$	-	$9 x^{3}$	-	$31 x^{2}$	+	$0 x$	+	$36$
			+	$9 x^{3}$	+	$27 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$12 x$

解题步骤 3.5.11

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

			-	$9 x^{2}$	-	$4 x$
$x$	+	$3$	-	$9 x^{3}$	-	$31 x^{2}$	+	$0 x$	+	$36$
			+	$9 x^{3}$	+	$27 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$12 x$	+	$36$

解题步骤 3.5.12

将被除数中的最高阶项 $12 x$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

			-	$9 x^{2}$	-	$4 x$	+	$12$
$x$	+	$3$	-	$9 x^{3}$	-	$31 x^{2}$	+	$0 x$	+	$36$
			+	$9 x^{3}$	+	$27 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$12 x$	+	$36$

解题步骤 3.5.13

将新的商式项乘以除数。

			-	$9 x^{2}$	-	$4 x$	+	$12$
$x$	+	$3$	-	$9 x^{3}$	-	$31 x^{2}$	+	$0 x$	+	$36$
			+	$9 x^{3}$	+	$27 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$12 x$	+	$36$
							+	$12 x$	+	$36$

解题步骤 3.5.14

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $12 x + 36$ 中的所有符号

			-	$9 x^{2}$	-	$4 x$	+	$12$
$x$	+	$3$	-	$9 x^{3}$	-	$31 x^{2}$	+	$0 x$	+	$36$
			+	$9 x^{3}$	+	$27 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$12 x$	+	$36$
							-	$12 x$	-	$36$

解题步骤 3.5.15

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

			-	$9 x^{2}$	-	$4 x$	+	$12$
$x$	+	$3$	-	$9 x^{3}$	-	$31 x^{2}$	+	$0 x$	+	$36$
			+	$9 x^{3}$	+	$27 x^{2}$
					-	$4 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$4 x^{2}$	+	$12 x$
							+	$12 x$	+	$36$
							-	$12 x$	-	$36$
										$0$

解题步骤 3.5.16

因为余数为 $0$ ，所以最终答案是商。

$- 9 x^{2} - 4 x + 12$

解题步骤 3.6

将 $- 9 x^{3} - 31 x^{2} + 36$ 书写为因数的集合。

$P (x) = x^{4} (x + 3) + (x + 3) (- 9 x^{2} - 4 x + 12)$

解题步骤 4

从 $x^{4} (x + 3) + (x + 3) (- 9 x^{2} - 4 x + 12)$ 中分解出因数 $x + 3$ 。

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解题步骤 4.1

从 $x^{4} (x + 3)$ 中分解出因数 $x + 3$ 。

$P (x) = (x + 3) x^{4} + (x + 3) (- 9 x^{2} - 4 x + 12)$

解题步骤 4.2

从 $(x + 3) x^{4} + (x + 3) (- 9 x^{2} - 4 x + 12)$ 中分解出因数 $x + 3$ 。

$P (x) = (x + 3) (x^{4} - 9 x^{2} - 4 x + 12)$

解题步骤 5

因数。

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解题步骤 5.1

以因式分解的形式重写 $x^{4} - 9 x^{2} - 4 x + 12$ 。

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解题步骤 5.1.1

使用有理根检验法因式分解 $x^{4} - 9 x^{2} - 4 x + 12$ 。

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解题步骤 5.1.1.1

如果一个多项式函数的各项系数都为整数，则每个有理零点应为 $\frac{p}{q}$ 的形式，其中 $p$ 为常数的因数，而 $q$ 为首项系数的因数。

$p = \pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

$q = \pm 1$

解题步骤 5.1.1.2

求 $\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。这些将是多项式函数的可能根。

$\pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

解题步骤 5.1.1.3

代入 $1$ 并化简表达式。在本例中，表达式等于 $0$ ，所以 $1$ 是多项式的根。

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解题步骤 5.1.1.3.1

将 $1$ 代入多项式。

$1^{4} - 9 \cdot 1^{2} - 4 \cdot 1 + 12$

解题步骤 5.1.1.3.2

对 $1$ 进行 $4$ 次方运算。

$1 - 9 \cdot 1^{2} - 4 \cdot 1 + 12$

解题步骤 5.1.1.3.3

对 $1$ 进行 $2$ 次方运算。

$1 - 9 \cdot 1 - 4 \cdot 1 + 12$

解题步骤 5.1.1.3.4

将 $- 9$ 乘以 $1$ 。

$1 - 9 - 4 \cdot 1 + 12$

解题步骤 5.1.1.3.5

从 $1$ 中减去 $9$ 。

$- 8 - 4 \cdot 1 + 12$

解题步骤 5.1.1.3.6

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$- 8 - 4 + 12$

解题步骤 5.1.1.3.7

从 $- 8$ 中减去 $4$ 。

$- 12 + 12$

解题步骤 5.1.1.3.8

将 $- 12$ 和 $12$ 相加。

$0$

解题步骤 5.1.1.4

因为 $1$ 是一个已知的根，所以将多项式除以 $x - 1$ 求商式。得到的多项式之后可以用来求其余的根。

$\frac{x^{4} - 9 x^{2} - 4 x + 12}{x - 1}$

解题步骤 5.1.1.5

用 $x^{4} - 9 x^{2} - 4 x + 12$ 除以 $x - 1$ 。

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解题步骤 5.1.1.5.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$9 x^{2}$

$4 x$

$12$

解题步骤 5.1.1.5.2

将被除数中的最高阶项 $x^{4}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$9 x^{2}$

$4 x$

$12$

解题步骤 5.1.1.5.3

将新的商式项乘以除数。

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$9 x^{2}$

$4 x$

$12$

$x^{4}$

$x^{3}$

解题步骤 5.1.1.5.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $x^{4} - x^{3}$ 中的所有符号

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$9 x^{2}$

$4 x$

$12$

$x^{4}$

$x^{3}$

解题步骤 5.1.1.5.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$9 x^{2}$

$4 x$

$12$

$x^{4}$

$x^{3}$

解题步骤 5.1.1.5.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

$x^{3}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$9 x^{2}$

$4 x$

$12$

$x^{4}$

$x^{3}$

$9 x^{2}$

解题步骤 5.1.1.5.7

将被除数中的最高阶项 $x^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$9 x^{2}$

$4 x$

$12$

$x^{4}$

$x^{3}$

$9 x^{2}$

解题步骤 5.1.1.5.8

将新的商式项乘以除数。

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$9 x^{2}$

$4 x$

$12$

$x^{4}$

$x^{3}$

$9 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

解题步骤 5.1.1.5.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $x^{3} - x^{2}$ 中的所有符号

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$9 x^{2}$

$4 x$

$12$

$x^{4}$

$x^{3}$

$9 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

解题步骤 5.1.1.5.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$9 x^{2}$

$4 x$

$12$

$x^{4}$

$x^{3}$

$9 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$8 x^{2}$

解题步骤 5.1.1.5.11

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

$x^{3}$

$x^{2}$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$9 x^{2}$

$4 x$

$12$

$x^{4}$

$x^{3}$

$9 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$8 x^{2}$

$4 x$

解题步骤 5.1.1.5.12

将被除数中的最高阶项 $- 8 x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

$x^{3}$

$x^{2}$

$8 x$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$9 x^{2}$

$4 x$

$12$

$x^{4}$

$x^{3}$

$9 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$8 x^{2}$

$4 x$

解题步骤 5.1.1.5.13

将新的商式项乘以除数。

$x^{3}$

$x^{2}$

$8 x$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$9 x^{2}$

$4 x$

$12$

$x^{4}$

$x^{3}$

$9 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$8 x^{2}$

$4 x$

$8 x^{2}$

$8 x$

解题步骤 5.1.1.5.14

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- 8 x^{2} + 8 x$ 中的所有符号

$x^{3}$

$x^{2}$

$8 x$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$9 x^{2}$

$4 x$

$12$

$x^{4}$

$x^{3}$

$9 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$8 x^{2}$

$4 x$

$8 x^{2}$

$8 x$

解题步骤 5.1.1.5.15

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

$x^{3}$

$x^{2}$

$8 x$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$9 x^{2}$

$4 x$

$12$

$x^{4}$

$x^{3}$

$9 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$8 x^{2}$

$4 x$

$8 x^{2}$

$8 x$

$12 x$

解题步骤 5.1.1.5.16

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

$x^{3}$

$x^{2}$

$8 x$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$9 x^{2}$

$4 x$

$12$

$x^{4}$

$x^{3}$

$9 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$8 x^{2}$

$4 x$

$8 x^{2}$

$8 x$

$12 x$

$12$

解题步骤 5.1.1.5.17

将被除数中的最高阶项 $- 12 x$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

$x^{3}$

$x^{2}$

$8 x$

$12$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$9 x^{2}$

$4 x$

$12$

$x^{4}$

$x^{3}$

$9 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$8 x^{2}$

$4 x$

$8 x^{2}$

$8 x$

$12 x$

$12$

解题步骤 5.1.1.5.18

将新的商式项乘以除数。

$x^{3}$

$x^{2}$

$8 x$

$12$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$9 x^{2}$

$4 x$

$12$

$x^{4}$

$x^{3}$

$9 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$8 x^{2}$

$4 x$

$8 x^{2}$

$8 x$

$12 x$

$12$

$12 x$

$12$

解题步骤 5.1.1.5.19

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- 12 x + 12$ 中的所有符号

$x^{3}$

$x^{2}$

$8 x$

$12$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$9 x^{2}$

$4 x$

$12$

$x^{4}$

$x^{3}$

$9 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$8 x^{2}$

$4 x$

$8 x^{2}$

$8 x$

$12 x$

$12$

$12 x$

$12$

解题步骤 5.1.1.5.20

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

$x^{3}$

$x^{2}$

$8 x$

$12$

$x$

$1$

$x^{4}$

$0 x^{3}$

$9 x^{2}$

$4 x$

$12$

$x^{4}$

$x^{3}$

$9 x^{2}$

$x^{3}$

$x^{2}$

$8 x^{2}$

$4 x$

$8 x^{2}$

$8 x$

$12 x$

$12$

$12 x$

$12$

$0$

解题步骤 5.1.1.5.21

因为余数为 $0$ ，所以最终答案是商。

$x^{3} + x^{2} - 8 x - 12$

解题步骤 5.1.1.6

将 $x^{4} - 9 x^{2} - 4 x + 12$ 书写为因数的集合。

$P (x) = (x + 3) ((x - 1) (x^{3} + x^{2} - 8 x - 12))$

解题步骤 5.1.2

使用有理根检验法因式分解 $x^{3} + x^{2} - 8 x - 12$ 。

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解题步骤 5.1.2.1

如果一个多项式函数的各项系数都为整数，则每个有理零点应为 $\frac{p}{q}$ 的形式，其中 $p$ 为常数的因数，而 $q$ 为首项系数的因数。

$p = \pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

$q = \pm 1$

解题步骤 5.1.2.2

求 $\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。这些将是多项式函数的可能根。

$\pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

解题步骤 5.1.2.3

代入 $- 2$ 并化简表达式。在本例中，表达式等于 $0$ ，所以 $- 2$ 是多项式的根。

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解题步骤 5.1.2.3.1

将 $- 2$ 代入多项式。

${(- 2)}^{3} + {(- 2)}^{2} - 8 \cdot - 2 - 12$

解题步骤 5.1.2.3.2

对 $- 2$ 进行 $3$ 次方运算。

$- 8 + {(- 2)}^{2} - 8 \cdot - 2 - 12$

解题步骤 5.1.2.3.3

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$- 8 + 4 - 8 \cdot - 2 - 12$

解题步骤 5.1.2.3.4

将 $- 8$ 和 $4$ 相加。

$- 4 - 8 \cdot - 2 - 12$

解题步骤 5.1.2.3.5

将 $- 8$ 乘以 $- 2$ 。

$- 4 + 16 - 12$

解题步骤 5.1.2.3.6

将 $- 4$ 和 $16$ 相加。

$12 - 12$

解题步骤 5.1.2.3.7

从 $12$ 中减去 $12$ 。

$0$

解题步骤 5.1.2.4

因为 $- 2$ 是一个已知的根，所以将多项式除以 $x + 2$ 求商式。得到的多项式之后可以用来求其余的根。

$\frac{x^{3} + x^{2} - 8 x - 12}{x + 2}$

解题步骤 5.1.2.5

用 $x^{3} + x^{2} - 8 x - 12$ 除以 $x + 2$ 。

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解题步骤 5.1.2.5.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$x$

$2$

$x^{3}$

$x^{2}$

$8 x$

$12$

解题步骤 5.1.2.5.2

将被除数中的最高阶项 $x^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

					$x^{2}$
	$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$12$

解题步骤 5.1.2.5.3

将新的商式项乘以除数。

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$12$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$

解题步骤 5.1.2.5.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $x^{3} + 2 x^{2}$ 中的所有符号

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$

解题步骤 5.1.2.5.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$

解题步骤 5.1.2.5.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$8 x$

解题步骤 5.1.2.5.7

将被除数中的最高阶项 $- x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$8 x$

解题步骤 5.1.2.5.8

将新的商式项乘以除数。

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$8 x$
					-	$x^{2}$	-	$2 x$

解题步骤 5.1.2.5.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- x^{2} - 2 x$ 中的所有符号

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$8 x$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$

解题步骤 5.1.2.5.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$8 x$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
							-	$6 x$

解题步骤 5.1.2.5.11

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$8 x$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
							-	$6 x$	-	$12$

解题步骤 5.1.2.5.12

将被除数中的最高阶项 $- 6 x$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

				$x^{2}$	-	$x$	-	$6$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$8 x$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
							-	$6 x$	-	$12$

解题步骤 5.1.2.5.13

将新的商式项乘以除数。

				$x^{2}$	-	$x$	-	$6$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$8 x$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
							-	$6 x$	-	$12$
							-	$6 x$	-	$12$

解题步骤 5.1.2.5.14

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- 6 x - 12$ 中的所有符号

				$x^{2}$	-	$x$	-	$6$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$8 x$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
							-	$6 x$	-	$12$
							+	$6 x$	+	$12$

解题步骤 5.1.2.5.15

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x^{2}$	-	$x$	-	$6$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$x^{2}$	-	$8 x$	-	$12$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$8 x$
					+	$x^{2}$	+	$2 x$
							-	$6 x$	-	$12$
							+	$6 x$	+	$12$
										$0$

解题步骤 5.1.2.5.16

因为余数为 $0$ ，所以最终答案是商。

$x^{2} - x - 6$

解题步骤 5.1.2.6

将 $x^{3} + x^{2} - 8 x - 12$ 书写为因数的集合。

$P (x) = (x + 3) ((x - 1) ((x + 2) (x^{2} - x - 6)))$

解题步骤 5.1.3

使用 AC 法来对 $x^{2} - x - 6$ 进行因式分解。

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解题步骤 5.1.3.1

使用 AC 法来对 $x^{2} - x - 6$ 进行因式分解。

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解题步骤 5.1.3.1.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 6$ ，和为 $- 1$ 。

$- 3, 2$

解题步骤 5.1.3.1.2

使用这些整数书写分数形式。

$P (x) = (x + 3) ((x - 1) ((x + 2) ((x - 3) (x + 2))))$

解题步骤 5.1.3.2

去掉多余的括号。

$P (x) = (x + 3) ((x - 1) ((x + 2) (x - 3) (x + 2)))$

解题步骤 5.1.4

合并指数。

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解题步骤 5.1.4.1

合并指数。

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解题步骤 5.1.4.1.1

对 $x + 2$ 进行 $1$ 次方运算。

$P (x) = (x + 3) ((x - 1) ((x + 2) (x + 2) (x - 3)))$

解题步骤 5.1.4.1.2

对 $x + 2$ 进行 $1$ 次方运算。

$P (x) = (x + 3) ((x - 1) ((x + 2) (x + 2) (x - 3)))$

解题步骤 5.1.4.1.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$P (x) = (x + 3) ((x - 1) ({(x + 2)}^{1 + 1} (x - 3)))$

解题步骤 5.1.4.1.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$P (x) = (x + 3) ((x - 1) ({(x + 2)}^{2} (x - 3)))$

解题步骤 5.1.4.2

去掉多余的括号。

$P (x) = (x + 3) ((x - 1) {(x + 2)}^{2} (x - 3))$

解题步骤 5.2

去掉多余的括号。

$P (x) = (x + 3) (x - 1) {(x + 2)}^{2} (x - 3)$

代数 示例

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