代数示例

$\log_{5} (x^{2} - 4) - \log_{5} (x + 4) = 1$

解题步骤 1

化简左边。

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解题步骤 1.1

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$\log_{5} (\frac{x^{2} - 4}{x + 4}) = 1$

解题步骤 1.2

化简分子。

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解题步骤 1.2.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\log_{5} (\frac{x^{2} - 2^{2}}{x + 4}) = 1$

解题步骤 1.2.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 2$ 。

$\log_{5} (\frac{(x + 2) (x - 2)}{x + 4}) = 1$

解题步骤 2

利用对数的定义将 $\log_{5} (\frac{(x + 2) (x - 2)}{x + 4}) = 1$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 都是正实数且 $b$ $\neq$ $1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$5^{1} = \frac{(x + 2) (x - 2)}{x + 4}$

解题步骤 3

交叉相乘以去掉分数。

$(x + 2) (x - 2) = 5 (x + 4)$

解题步骤 4

化简 $5 (x + 4)$ 。

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解题步骤 4.1

运用分配律。

$(x + 2) (x - 2) = 5 x + 5 \cdot 4$

解题步骤 4.2

将 $5$ 乘以 $4$ 。

$(x + 2) (x - 2) = 5 x + 20$

解题步骤 5

将所有包含 $x$ 的项移到等式左边。

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解题步骤 5.1

从等式两边同时减去 $5 x$ 。

$(x + 2) (x - 2) - 5 x = 20$

解题步骤 5.2

化简每一项。

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解题步骤 5.2.1

使用 FOIL 方法展开 $(x + 2) (x - 2)$ 。

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解题步骤 5.2.1.1

运用分配律。

$x (x - 2) + 2 (x - 2) - 5 x = 20$

解题步骤 5.2.1.2

运用分配律。

$x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 (x - 2) - 5 x = 20$

解题步骤 5.2.1.3

运用分配律。

$x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2 - 5 x = 20$

解题步骤 5.2.2

合并 $x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2$ 中相反的项。

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解题步骤 5.2.2.1

按照 $x \cdot - 2$ 和 $2 x$ 重新排列因数。

$x \cdot x - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2 - 5 x = 20$

解题步骤 5.2.2.2

将 $- 2 x$ 和 $2 x$ 相加。

$x \cdot x + 0 + 2 \cdot - 2 - 5 x = 20$

解题步骤 5.2.2.3

将 $x \cdot x$ 和 $0$ 相加。

$x \cdot x + 2 \cdot - 2 - 5 x = 20$

解题步骤 5.2.3

化简每一项。

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解题步骤 5.2.3.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$x^{2} + 2 \cdot - 2 - 5 x = 20$

解题步骤 5.2.3.2

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$x^{2} - 4 - 5 x = 20$

解题步骤 6

将所有不包含 $x$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 6.1

在等式两边都加上 $4$ 。

$x^{2} - 5 x = 20 + 4$

解题步骤 6.2

将 $20$ 和 $4$ 相加。

$x^{2} - 5 x = 24$

解题步骤 7

从等式两边同时减去 $24$ 。

$x^{2} - 5 x - 24 = 0$

解题步骤 8

使用 AC 法来对 $x^{2} - 5 x - 24$ 进行因式分解。

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解题步骤 8.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 24$ ，和为 $- 5$ 。

$- 8, 3$

解题步骤 8.2

使用这些整数书写分数形式。

$(x - 8) (x + 3) = 0$

解题步骤 9

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x - 8 = 0$

$x + 3 = 0$

解题步骤 10

将 $x - 8$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 10.1

将 $x - 8$ 设为等于 $0$ 。

$x - 8 = 0$

解题步骤 10.2

在等式两边都加上 $8$ 。

$x = 8$

解题步骤 11

将 $x + 3$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 11.1

将 $x + 3$ 设为等于 $0$ 。

$x + 3 = 0$

解题步骤 11.2

从等式两边同时减去 $3$ 。

$x = - 3$

解题步骤 12

最终解为使 $(x - 8) (x + 3) = 0$ 成立的所有值。

$x = 8, - 3$

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