代数示例

$\frac{2 x + 1}{x^{2} + 4 x + 4} - \frac{6 x}{x^{2} - 4} + \frac{3}{x - 2}$

解题步骤 1

化简每一项。

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解题步骤 1.1

使用完全平方法则进行因式分解。

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解题步骤 1.1.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\frac{2 x + 1}{x^{2} + 4 x + 2^{2}} - \frac{6 x}{x^{2} - 4} + \frac{3}{x - 2}$

解题步骤 1.1.2

请检查中间项是否为第一项被平方数和第三项被平方数的乘积的两倍。

$4 x = 2 \cdot x \cdot 2$

解题步骤 1.1.3

重写多项式。

$\frac{2 x + 1}{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 2 + 2^{2}} - \frac{6 x}{x^{2} - 4} + \frac{3}{x - 2}$

解题步骤 1.1.4

使用完全平方三项式法则对 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 2$ 。

$\frac{2 x + 1}{{(x + 2)}^{2}} - \frac{6 x}{x^{2} - 4} + \frac{3}{x - 2}$

解题步骤 1.2

化简分母。

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解题步骤 1.2.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\frac{2 x + 1}{{(x + 2)}^{2}} - \frac{6 x}{x^{2} - 2^{2}} + \frac{3}{x - 2}$

解题步骤 1.2.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 2$ 。

$\frac{2 x + 1}{{(x + 2)}^{2}} - \frac{6 x}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{3}{x - 2}$

解题步骤 2

求公分母。

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解题步骤 2.1

将 $\frac{2 x + 1}{{(x + 2)}^{2}}$ 乘以 $\frac{x - 2}{x - 2}$ 。

$\frac{2 x + 1}{{(x + 2)}^{2}} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} - \frac{6 x}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{3}{x - 2}$

解题步骤 2.2

将 $\frac{2 x + 1}{{(x + 2)}^{2}}$ 乘以 $\frac{x - 2}{x - 2}$ 。

$\frac{(2 x + 1) (x - 2)}{{(x + 2)}^{2} (x - 2)} - \frac{6 x}{(x + 2) (x - 2)} + \frac{3}{x - 2}$

解题步骤 2.3

将 $\frac{6 x}{(x + 2) (x - 2)}$ 乘以 $\frac{x + 2}{x + 2}$ 。

$\frac{(2 x + 1) (x - 2)}{{(x + 2)}^{2} (x - 2)} - (\frac{6 x}{(x + 2) (x - 2)} \cdot \frac{x + 2}{x + 2}) + \frac{3}{x - 2}$

解题步骤 2.4

将 $\frac{6 x}{(x + 2) (x - 2)}$ 乘以 $\frac{x + 2}{x + 2}$ 。

$\frac{(2 x + 1) (x - 2)}{{(x + 2)}^{2} (x - 2)} - \frac{6 x (x + 2)}{(x + 2) (x - 2) (x + 2)} + \frac{3}{x - 2}$

解题步骤 2.5

将 $\frac{3}{x - 2}$ 乘以 $\frac{{(x + 2)}^{2}}{{(x + 2)}^{2}}$ 。

$\frac{(2 x + 1) (x - 2)}{{(x + 2)}^{2} (x - 2)} - \frac{6 x (x + 2)}{(x + 2) (x - 2) (x + 2)} + \frac{3}{x - 2} \cdot \frac{{(x + 2)}^{2}}{{(x + 2)}^{2}}$

解题步骤 2.6

将 $\frac{3}{x - 2}$ 乘以 $\frac{{(x + 2)}^{2}}{{(x + 2)}^{2}}$ 。

$\frac{(2 x + 1) (x - 2)}{{(x + 2)}^{2} (x - 2)} - \frac{6 x (x + 2)}{(x + 2) (x - 2) (x + 2)} + \frac{3 {(x + 2)}^{2}}{(x - 2) {(x + 2)}^{2}}$

解题步骤 2.7

重新排序 $(x + 2) (x - 2) (x + 2)$ 的因式。

$\frac{(2 x + 1) (x - 2)}{{(x + 2)}^{2} (x - 2)} - \frac{6 x (x + 2)}{(x + 2) (x + 2) (x - 2)} + \frac{3 {(x + 2)}^{2}}{(x - 2) {(x + 2)}^{2}}$

解题步骤 2.8

对 $x + 2$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{(2 x + 1) (x - 2)}{{(x + 2)}^{2} (x - 2)} - \frac{6 x (x + 2)}{{(x + 2)}^{1} (x + 2) (x - 2)} + \frac{3 {(x + 2)}^{2}}{(x - 2) {(x + 2)}^{2}}$

解题步骤 2.9

对 $x + 2$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{(2 x + 1) (x - 2)}{{(x + 2)}^{2} (x - 2)} - \frac{6 x (x + 2)}{{(x + 2)}^{1} {(x + 2)}^{1} (x - 2)} + \frac{3 {(x + 2)}^{2}}{(x - 2) {(x + 2)}^{2}}$

解题步骤 2.10

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{(2 x + 1) (x - 2)}{{(x + 2)}^{2} (x - 2)} - \frac{6 x (x + 2)}{{(x + 2)}^{1 + 1} (x - 2)} + \frac{3 {(x + 2)}^{2}}{(x - 2) {(x + 2)}^{2}}$

解题步骤 2.11

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{(2 x + 1) (x - 2)}{{(x + 2)}^{2} (x - 2)} - \frac{6 x (x + 2)}{{(x + 2)}^{2} (x - 2)} + \frac{3 {(x + 2)}^{2}}{(x - 2) {(x + 2)}^{2}}$

解题步骤 3

在公分母上合并分子。

$\frac{(2 x + 1) (x - 2) - 6 x (x + 2) + 3 {(x + 2)}^{2}}{{(x + 2)}^{2} (x - 2)}$

解题步骤 4

化简每一项。

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解题步骤 4.1

使用 FOIL 方法展开 $(2 x + 1) (x - 2)$ 。

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解题步骤 4.1.1

运用分配律。

$\frac{2 x (x - 2) + 1 (x - 2) - 6 x (x + 2) + 3 {(x + 2)}^{2}}{{(x + 2)}^{2} (x - 2)}$

解题步骤 4.1.2

运用分配律。

$\frac{2 x \cdot x + 2 x \cdot - 2 + 1 (x - 2) - 6 x (x + 2) + 3 {(x + 2)}^{2}}{{(x + 2)}^{2} (x - 2)}$

解题步骤 4.1.3

运用分配律。

$\frac{2 x \cdot x + 2 x \cdot - 2 + 1 x + 1 \cdot - 2 - 6 x (x + 2) + 3 {(x + 2)}^{2}}{{(x + 2)}^{2} (x - 2)}$

解题步骤 4.2

化简并合并同类项。

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解题步骤 4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.1.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 4.2.1.1.1

移动 $x$ 。

$\frac{2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 2 + 1 x + 1 \cdot - 2 - 6 x (x + 2) + 3 {(x + 2)}^{2}}{{(x + 2)}^{2} (x - 2)}$

解题步骤 4.2.1.1.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{2 x^{2} + 2 x \cdot - 2 + 1 x + 1 \cdot - 2 - 6 x (x + 2) + 3 {(x + 2)}^{2}}{{(x + 2)}^{2} (x - 2)}$

解题步骤 4.2.1.2

将 $- 2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{2 x^{2} - 4 x + 1 x + 1 \cdot - 2 - 6 x (x + 2) + 3 {(x + 2)}^{2}}{{(x + 2)}^{2} (x - 2)}$

解题步骤 4.2.1.3

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 x^{2} - 4 x + x + 1 \cdot - 2 - 6 x (x + 2) + 3 {(x + 2)}^{2}}{{(x + 2)}^{2} (x - 2)}$

解题步骤 4.2.1.4

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2 x^{2} - 4 x + x - 2 - 6 x (x + 2) + 3 {(x + 2)}^{2}}{{(x + 2)}^{2} (x - 2)}$

解题步骤 4.2.2

将 $- 4 x$ 和 $x$ 相加。

$\frac{2 x^{2} - 3 x - 2 - 6 x (x + 2) + 3 {(x + 2)}^{2}}{{(x + 2)}^{2} (x - 2)}$

解题步骤 4.3

运用分配律。

$\frac{2 x^{2} - 3 x - 2 - 6 x \cdot x - 6 x \cdot 2 + 3 {(x + 2)}^{2}}{{(x + 2)}^{2} (x - 2)}$

解题步骤 4.4

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 4.4.1

移动 $x$ 。

$\frac{2 x^{2} - 3 x - 2 - 6 (x \cdot x) - 6 x \cdot 2 + 3 {(x + 2)}^{2}}{{(x + 2)}^{2} (x - 2)}$

解题步骤 4.4.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{2 x^{2} - 3 x - 2 - 6 x^{2} - 6 x \cdot 2 + 3 {(x + 2)}^{2}}{{(x + 2)}^{2} (x - 2)}$

解题步骤 4.5

将 $2$ 乘以 $- 6$ 。

$\frac{2 x^{2} - 3 x - 2 - 6 x^{2} - 12 x + 3 {(x + 2)}^{2}}{{(x + 2)}^{2} (x - 2)}$

解题步骤 4.6

将 ${(x + 2)}^{2}$ 重写为 $(x + 2) (x + 2)$ 。

$\frac{2 x^{2} - 3 x - 2 - 6 x^{2} - 12 x + 3 ((x + 2) (x + 2))}{{(x + 2)}^{2} (x - 2)}$

解题步骤 4.7

使用 FOIL 方法展开 $(x + 2) (x + 2)$ 。

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解题步骤 4.7.1

运用分配律。

$\frac{2 x^{2} - 3 x - 2 - 6 x^{2} - 12 x + 3 (x (x + 2) + 2 (x + 2))}{{(x + 2)}^{2} (x - 2)}$

解题步骤 4.7.2

运用分配律。

$\frac{2 x^{2} - 3 x - 2 - 6 x^{2} - 12 x + 3 (x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2))}{{(x + 2)}^{2} (x - 2)}$

解题步骤 4.7.3

运用分配律。

$\frac{2 x^{2} - 3 x - 2 - 6 x^{2} - 12 x + 3 (x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2)}{{(x + 2)}^{2} (x - 2)}$

解题步骤 4.8

化简并合并同类项。

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解题步骤 4.8.1

化简每一项。

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解题步骤 4.8.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{2 x^{2} - 3 x - 2 - 6 x^{2} - 12 x + 3 (x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2)}{{(x + 2)}^{2} (x - 2)}$

解题步骤 4.8.1.2

将 $2$ 移到 $x$ 的左侧。

$\frac{2 x^{2} - 3 x - 2 - 6 x^{2} - 12 x + 3 (x^{2} + 2 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 2)}{{(x + 2)}^{2} (x - 2)}$

解题步骤 4.8.1.3

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{2 x^{2} - 3 x - 2 - 6 x^{2} - 12 x + 3 (x^{2} + 2 x + 2 x + 4)}{{(x + 2)}^{2} (x - 2)}$

解题步骤 4.8.2

将 $2 x$ 和 $2 x$ 相加。

$\frac{2 x^{2} - 3 x - 2 - 6 x^{2} - 12 x + 3 (x^{2} + 4 x + 4)}{{(x + 2)}^{2} (x - 2)}$

解题步骤 4.9

运用分配律。

$\frac{2 x^{2} - 3 x - 2 - 6 x^{2} - 12 x + 3 x^{2} + 3 (4 x) + 3 \cdot 4}{{(x + 2)}^{2} (x - 2)}$

解题步骤 4.10

化简。

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解题步骤 4.10.1

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$\frac{2 x^{2} - 3 x - 2 - 6 x^{2} - 12 x + 3 x^{2} + 12 x + 3 \cdot 4}{{(x + 2)}^{2} (x - 2)}$

解题步骤 4.10.2

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$\frac{2 x^{2} - 3 x - 2 - 6 x^{2} - 12 x + 3 x^{2} + 12 x + 12}{{(x + 2)}^{2} (x - 2)}$

解题步骤 5

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 5.1

合并 $2 x^{2} - 3 x - 2 - 6 x^{2} - 12 x + 3 x^{2} + 12 x + 12$ 中相反的项。

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解题步骤 5.1.1

将 $- 12 x$ 和 $12 x$ 相加。

$\frac{2 x^{2} - 3 x - 2 - 6 x^{2} + 3 x^{2} + 0 + 12}{{(x + 2)}^{2} (x - 2)}$

解题步骤 5.1.2

将 $2 x^{2} - 3 x - 2 - 6 x^{2} + 3 x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{2 x^{2} - 3 x - 2 - 6 x^{2} + 3 x^{2} + 12}{{(x + 2)}^{2} (x - 2)}$

解题步骤 5.2

从 $2 x^{2}$ 中减去 $6 x^{2}$ 。

$\frac{- 4 x^{2} - 3 x - 2 + 3 x^{2} + 12}{{(x + 2)}^{2} (x - 2)}$

解题步骤 5.3

将 $- 4 x^{2}$ 和 $3 x^{2}$ 相加。

$\frac{- x^{2} - 3 x - 2 + 12}{{(x + 2)}^{2} (x - 2)}$

解题步骤 5.4

将 $- 2$ 和 $12$ 相加。

$\frac{- x^{2} - 3 x + 10}{{(x + 2)}^{2} (x - 2)}$

解题步骤 6

分组因式分解。

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解题步骤 6.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = - 1 \cdot 10 = - 10$ 并且它们的和为 $b = - 3$ 。

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解题步骤 6.1.1

从 $- 3 x$ 中分解出因数 $- 3$ 。

$\frac{- x^{2} - 3 (x) + 10}{{(x + 2)}^{2} (x - 2)}$

解题步骤 6.1.2

把 $- 3$ 重写为 $2$ 加 $- 5$

$\frac{- x^{2} + (2 - 5) x + 10}{{(x + 2)}^{2} (x - 2)}$

解题步骤 6.1.3

运用分配律。

$\frac{- x^{2} + 2 x - 5 x + 10}{{(x + 2)}^{2} (x - 2)}$

解题步骤 6.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 6.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$\frac{(- x^{2} + 2 x) - 5 x + 10}{{(x + 2)}^{2} (x - 2)}$

解题步骤 6.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$\frac{x (- x + 2) + 5 (- x + 2)}{{(x + 2)}^{2} (x - 2)}$

解题步骤 6.3

通过因式分解出最大公因数 $- x + 2$ 来因式分解多项式。

$\frac{(- x + 2) (x + 5)}{{(x + 2)}^{2} (x - 2)}$

解题步骤 7

约去 $- x + 2$ 和 $x - 2$ 的公因数。

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解题步骤 7.1

从 $- x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{(- (x) + 2) (x + 5)}{{(x + 2)}^{2} (x - 2)}$

解题步骤 7.2

将 $2$ 重写为 $- 1 (- 2)$ 。

$\frac{(- (x) - 1 (- 2)) (x + 5)}{{(x + 2)}^{2} (x - 2)}$

解题步骤 7.3

从 $- (x) - 1 (- 2)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- (x - 2) (x + 5)}{{(x + 2)}^{2} (x - 2)}$

解题步骤 7.4

将 $- (x - 2)$ 重写为 $- 1 (x - 2)$ 。

$\frac{- 1 (x - 2) (x + 5)}{{(x + 2)}^{2} (x - 2)}$

解题步骤 7.5

约去公因数。

$\frac{- 1 (x - 2) (x + 5)}{{(x + 2)}^{2} (x - 2)}$

解题步骤 7.6

重写表达式。

$\frac{- 1 (x + 5)}{{(x + 2)}^{2}}$

解题步骤 8

将负号移到分数的前面。

$- \frac{x + 5}{{(x + 2)}^{2}}$

代数 示例

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