代数示例

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = \sqrt{1 - x^{2}}$

解题步骤 1

建立复合结果函数。

$f (g (x))$

解题步骤 2

通过将 $g$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (\sqrt{1 - x^{2}})$ 。

$f (\sqrt{1 - x^{2}}) = {(\sqrt{1 - x^{2}})}^{2}$

解题步骤 3

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$f (\sqrt{1 - x^{2}}) = {\sqrt{1^{2} - x^{2}}}^{2}$

解题步骤 4

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 1$ 和 $b = x$ 。

$f (\sqrt{1 - x^{2}}) = {\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}$

解题步骤 5

将 ${\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}$ 重写为 $(1 + x) (1 - x)$ 。

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解题步骤 5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ 重写成 ${((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}}$ 。

$f (\sqrt{1 - x^{2}}) = {({((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

解题步骤 5.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (\sqrt{1 - x^{2}}) = {((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

解题步骤 5.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$f (\sqrt{1 - x^{2}}) = {((1 + x) (1 - x))}^{\frac{2}{2}}$

解题步骤 5.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.4.1

约去公因数。

$f (\sqrt{1 - x^{2}}) = {((1 + x) (1 - x))}^{\frac{2}{2}}$

解题步骤 5.4.2

重写表达式。

$f (\sqrt{1 - x^{2}}) = (1 + x) (1 - x)$

解题步骤 5.5

化简。

$f (\sqrt{1 - x^{2}}) = (1 + x) (1 - x)$

解题步骤 6

使用 FOIL 方法展开 $(1 + x) (1 - x)$ 。

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解题步骤 6.1

运用分配律。

$f (\sqrt{1 - x^{2}}) = 1 (1 - x) + x (1 - x)$

解题步骤 6.2

运用分配律。

$f (\sqrt{1 - x^{2}}) = 1 \cdot 1 + 1 (- x) + x (1 - x)$

解题步骤 6.3

运用分配律。

$f (\sqrt{1 - x^{2}}) = 1 \cdot 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x)$

解题步骤 7

化简并合并同类项。

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解题步骤 7.1

化简每一项。

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解题步骤 7.1.1

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$f (\sqrt{1 - x^{2}}) = 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x)$

解题步骤 7.1.2

将 $- x$ 乘以 $1$ 。

$f (\sqrt{1 - x^{2}}) = 1 - x + x \cdot 1 + x (- x)$

解题步骤 7.1.3

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$f (\sqrt{1 - x^{2}}) = 1 - x + x + x (- x)$

解题步骤 7.1.4

使用乘法的交换性质重写。

$f (\sqrt{1 - x^{2}}) = 1 - x + x - x \cdot x$

解题步骤 7.1.5

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 7.1.5.1

移动 $x$ 。

$f (\sqrt{1 - x^{2}}) = 1 - x + x - (x \cdot x)$

解题步骤 7.1.5.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$f (\sqrt{1 - x^{2}}) = 1 - x + x - x^{2}$

解题步骤 7.2

将 $- x$ 和 $x$ 相加。

$f (\sqrt{1 - x^{2}}) = 1 + 0 - x^{2}$

解题步骤 7.3

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$f (\sqrt{1 - x^{2}}) = 1 - x^{2}$

解题步骤 8

将 $1$ 和 $- x^{2}$ 重新排序。

$f (\sqrt{1 - x^{2}}) = - x^{2} + 1$

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