代数示例

$f (x) = | - 2 x - 3 |$

解题步骤 1

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分, 可以求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 2

将绝对值中的自变量设为等于 $0$ ，以求潜在的用以分割解的区间的数值。

$- 2 x - 3 = 0$

解题步骤 3

求解 $x$ 的方程。

$x = - \frac{3}{2}$

解题步骤 4

在解周围创建区间，从而求 $- 2 x - 3$ 为正和负的位置。

$(- \infty, - \frac{3}{2}), (- \frac{3}{2}, \infty)$

解题步骤 5

将每个区间中的一个值代入 $- 2 x - 3$ 以得出表达式何处为正，何处为负。

$\begin{array}{c} 区间 & 区间上的符号 \\ (- \infty, - \frac{3}{2}) & + \\ (- \frac{3}{2}, \infty) & - \end{array}$

解题步骤 6

求绝对值函数自变量的积分。

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解题步骤 6.1

用带绝对值的自变量建立积分。

$\int - 2 x - 3 d x$

解题步骤 6.2

将单个积分拆分为多个积分。

$\int - 2 x d x + \int - 3 d x$

解题步骤 6.3

由于 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 2$ 移到积分外。

$- 2 \int x d x + \int - 3 d x$

解题步骤 6.4

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$- 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - 3 d x$

解题步骤 6.5

应用常数不变法则。

$- 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - 3 x + C$

解题步骤 6.6

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $x^{2}$ 。

$- 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) - 3 x + C$

解题步骤 6.7

化简。

$- x^{2} - 3 x + C$

解题步骤 7

在自变量为负的区间，将积分的解与 $- 1$ 相乘。

${\begin{cases} - x^{2} - 3 x + C & x \leq - \frac{3}{2} \\ - (- x^{2} - 3 x + C) & x > - \frac{3}{2} \end{cases}$

解题步骤 8

函数 $F$ 由函数导数的积分导出。根据微积分基本定理，这是有效的。

$F (x) = {\begin{cases} - x^{2} - 3 x + C & x \leq - \frac{3}{2} \\ - (- x^{2} - 3 x + C) & x > - \frac{3}{2} \end{cases}$

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