代数示例

$\log_{5} (4 x^{2} - 6) - \log_{5} (4 x + 1) = 1$

解题步骤 1

化简左边。

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解题步骤 1.1

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$\log_{5} (\frac{4 x^{2} - 6}{4 x + 1}) = 1$

解题步骤 1.2

从 $4 x^{2} - 6$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 1.2.1

从 $4 x^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\log_{5} (\frac{2 (2 x^{2}) - 6}{4 x + 1}) = 1$

解题步骤 1.2.2

从 $- 6$ 中分解出因数 $2$ 。

$\log_{5} (\frac{2 (2 x^{2}) + 2 (- 3)}{4 x + 1}) = 1$

解题步骤 1.2.3

从 $2 (2 x^{2}) + 2 (- 3)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\log_{5} (\frac{2 (2 x^{2} - 3)}{4 x + 1}) = 1$

解题步骤 2

利用对数的定义将 $\log_{5} (\frac{2 (2 x^{2} - 3)}{4 x + 1}) = 1$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 都是正实数且 $b$ $\neq$ $1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$5^{1} = \frac{2 (2 x^{2} - 3)}{4 x + 1}$

解题步骤 3

交叉相乘以去掉分数。

$2 (2 x^{2} - 3) = 5 (4 x + 1)$

解题步骤 4

化简 $5 (4 x + 1)$ 。

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解题步骤 4.1

运用分配律。

$2 (2 x^{2} - 3) = 5 (4 x) + 5 \cdot 1$

解题步骤 4.2

乘。

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解题步骤 4.2.1

将 $4$ 乘以 $5$ 。

$2 (2 x^{2} - 3) = 20 x + 5 \cdot 1$

解题步骤 4.2.2

将 $5$ 乘以 $1$ 。

$2 (2 x^{2} - 3) = 20 x + 5$

解题步骤 5

将所有包含 $x$ 的项移到等式左边。

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解题步骤 5.1

从等式两边同时减去 $20 x$ 。

$2 (2 x^{2} - 3) - 20 x = 5$

解题步骤 5.2

化简每一项。

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解题步骤 5.2.1

运用分配律。

$2 (2 x^{2}) + 2 \cdot - 3 - 20 x = 5$

解题步骤 5.2.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$4 x^{2} + 2 \cdot - 3 - 20 x = 5$

解题步骤 5.2.3

将 $2$ 乘以 $- 3$ 。

$4 x^{2} - 6 - 20 x = 5$

解题步骤 6

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 6.1

从 $4 x^{2} - 6 - 20 x$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 6.1.1

从 $4 x^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (2 x^{2}) - 6 - 20 x = 5$

解题步骤 6.1.2

从 $- 6$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (2 x^{2}) + 2 (- 3) - 20 x = 5$

解题步骤 6.1.3

从 $- 20 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (2 x^{2}) + 2 (- 3) + 2 (- 10 x) = 5$

解题步骤 6.1.4

从 $2 (2 x^{2}) + 2 (- 3)$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (2 x^{2} - 3) + 2 (- 10 x) = 5$

解题步骤 6.1.5

从 $2 (2 x^{2} - 3) + 2 (- 10 x)$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (2 x^{2} - 3 - 10 x) = 5$

解题步骤 6.2

重新排序项。

$2 (2 x^{2} - 10 x - 3) = 5$

解题步骤 7

将 $2 (2 x^{2} - 10 x - 3) = 5$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 7.1

将 $2 (2 x^{2} - 10 x - 3) = 5$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 (2 x^{2} - 10 x - 3)}{2} = \frac{5}{2}$

解题步骤 7.2

化简左边。

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解题步骤 7.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 (2 x^{2} - 10 x - 3)}{2} = \frac{5}{2}$

解题步骤 7.2.1.2

用 $2 x^{2} - 10 x - 3$ 除以 $1$ 。

$2 x^{2} - 10 x - 3 = \frac{5}{2}$

解题步骤 8

将所有项移到等式左边并化简。

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解题步骤 8.1

从等式两边同时减去 $\frac{5}{2}$ 。

$2 x^{2} - 10 x - 3 - \frac{5}{2} = 0$

解题步骤 8.2

化简 $2 x^{2} - 10 x - 3 - \frac{5}{2}$ 。

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解题步骤 8.2.1

要将 $- 3$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$2 x^{2} - 10 x - 3 \cdot \frac{2}{2} - \frac{5}{2} = 0$

解题步骤 8.2.2

组合 $- 3$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$2 x^{2} - 10 x + \frac{- 3 \cdot 2}{2} - \frac{5}{2} = 0$

解题步骤 8.2.3

在公分母上合并分子。

$2 x^{2} - 10 x + \frac{- 3 \cdot 2 - 5}{2} = 0$

解题步骤 8.2.4

化简分子。

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解题步骤 8.2.4.1

将 $- 3$ 乘以 $2$ 。

$2 x^{2} - 10 x + \frac{- 6 - 5}{2} = 0$

解题步骤 8.2.4.2

从 $- 6$ 中减去 $5$ 。

$2 x^{2} - 10 x + \frac{- 11}{2} = 0$

解题步骤 8.2.5

将负号移到分数的前面。

$2 x^{2} - 10 x - \frac{11}{2} = 0$

解题步骤 9

全部乘以最小公分母 $2$ ，然后化简。

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解题步骤 9.1

运用分配律。

$2 (2 x^{2}) + 2 (- 10 x) + 2 (- \frac{11}{2}) = 0$

解题步骤 9.2

化简。

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解题步骤 9.2.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$4 x^{2} + 2 (- 10 x) + 2 (- \frac{11}{2}) = 0$

解题步骤 9.2.2

将 $- 10$ 乘以 $2$ 。

$4 x^{2} - 20 x + 2 (- \frac{11}{2}) = 0$

解题步骤 9.2.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 9.2.3.1

将 $- \frac{11}{2}$ 中前置负号移到分子中。

$4 x^{2} - 20 x + 2 (\frac{- 11}{2}) = 0$

解题步骤 9.2.3.2

约去公因数。

$4 x^{2} - 20 x + 2 (\frac{- 11}{2}) = 0$

解题步骤 9.2.3.3

重写表达式。

$4 x^{2} - 20 x - 11 = 0$

解题步骤 10

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 11

将 $a = 4$ 、 $b = - 20$ 和 $c = - 11$ 的值代入二次公式中并求解 $x$ 。

$\frac{20 \pm \sqrt{{(- 20)}^{2} - 4 \cdot (4 \cdot - 11)}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 12

化简。

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解题步骤 12.1

化简分子。

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解题步骤 12.1.1

对 $- 20$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 4 \cdot 4 \cdot - 11}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 12.1.2

乘以 $- 4 \cdot 4 \cdot - 11$ 。

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解题步骤 12.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $4$ 。

$x = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 16 \cdot - 11}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 12.1.2.2

将 $- 16$ 乘以 $- 11$ 。

$x = \frac{20 \pm \sqrt{400 + 176}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 12.1.3

将 $400$ 和 $176$ 相加。

$x = \frac{20 \pm \sqrt{576}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 12.1.4

将 $576$ 重写为 $24^{2}$ 。

$x = \frac{20 \pm \sqrt{24^{2}}}{2 \cdot 4}$

解题步骤 12.1.5

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \frac{20 \pm 24}{2 \cdot 4}$

解题步骤 12.2

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$x = \frac{20 \pm 24}{8}$

解题步骤 12.3

化简 $\frac{20 \pm 24}{8}$ 。

$x = \frac{5 \pm 6}{2}$

解题步骤 13

最终答案为两个解的组合。

$x = \frac{11}{2}, - \frac{1}{2}$

解题步骤 14

排除不能使 $\log_{5} (4 x^{2} - 6) - \log_{5} (4 x + 1) = 1$ 成立的解。

$x = \frac{11}{2}$

解题步骤 15

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$x = \frac{11}{2}$

小数形式：

$x = 5.5$

带分数形式：

$x = 5 \frac{1}{2}$

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