代数示例

$f (x) = - {(x + 3)}^{2} + \frac{1}{4}$

解题步骤 1

父函数是给定函数类型的最简形式。

$g (x) = x^{2}$

解题步骤 2

所描述的转换是从 $g (x) = x^{2}$ 到 $f (x) = - {(x + 3)}^{2} + \frac{1}{4}$ 的变化。

$g (x) = x^{2} \to f (x) = - {(x + 3)}^{2} + \frac{1}{4}$

解题步骤 3

求 $f (x) = - {(x + 3)}^{2} + \frac{1}{4}$ 的顶点式。

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解题步骤 3.1

将 $y$ 单独提取至等式的左边。

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解题步骤 3.1.1

要将 $- {(x + 3)}^{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$y = - {(x + 3)}^{2} \cdot \frac{4}{4} + \frac{1}{4}$

解题步骤 3.1.2

组合 $- {(x + 3)}^{2}$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$y = \frac{- {(x + 3)}^{2} \cdot 4}{4} + \frac{1}{4}$

解题步骤 3.1.3

在公分母上合并分子。

$y = \frac{- {(x + 3)}^{2} \cdot 4 + 1}{4}$

解题步骤 3.1.4

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$y = \frac{- 4 {(x + 3)}^{2} + 1}{4}$

解题步骤 3.1.5

重新排序项。

$y = \frac{1}{4} \cdot (- 4 {(x + 3)}^{2} + 1)$

解题步骤 3.2

对 $\frac{1}{4} \cdot (- 4 {(x + 3)}^{2} + 1)$ 进行配方。

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解题步骤 3.2.1

化简表达式。

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解题步骤 3.2.1.1

化简每一项。

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解题步骤 3.2.1.1.1

将 ${(x + 3)}^{2}$ 重写为 $(x + 3) (x + 3)$ 。

$\frac{1}{4} \cdot (- 4 ((x + 3) (x + 3)) + 1)$

解题步骤 3.2.1.1.2

使用 FOIL 方法展开 $(x + 3) (x + 3)$ 。

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解题步骤 3.2.1.1.2.1

运用分配律。

$\frac{1}{4} \cdot (- 4 (x (x + 3) + 3 (x + 3)) + 1)$

解题步骤 3.2.1.1.2.2

运用分配律。

$\frac{1}{4} \cdot (- 4 (x \cdot x + x \cdot 3 + 3 (x + 3)) + 1)$

解题步骤 3.2.1.1.2.3

运用分配律。

$\frac{1}{4} \cdot (- 4 (x \cdot x + x \cdot 3 + 3 x + 3 \cdot 3) + 1)$

解题步骤 3.2.1.1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 3.2.1.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.2.1.1.3.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{1}{4} \cdot (- 4 (x^{2} + x \cdot 3 + 3 x + 3 \cdot 3) + 1)$

解题步骤 3.2.1.1.3.1.2

将 $3$ 移到 $x$ 的左侧。

$\frac{1}{4} \cdot (- 4 (x^{2} + 3 \cdot x + 3 x + 3 \cdot 3) + 1)$

解题步骤 3.2.1.1.3.1.3

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$\frac{1}{4} \cdot (- 4 (x^{2} + 3 x + 3 x + 9) + 1)$

解题步骤 3.2.1.1.3.2

将 $3 x$ 和 $3 x$ 相加。

$\frac{1}{4} \cdot (- 4 (x^{2} + 6 x + 9) + 1)$

解题步骤 3.2.1.1.4

运用分配律。

$\frac{1}{4} \cdot (- 4 x^{2} - 4 (6 x) - 4 \cdot 9 + 1)$

解题步骤 3.2.1.1.5

化简。

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解题步骤 3.2.1.1.5.1

将 $6$ 乘以 $- 4$ 。

$\frac{1}{4} \cdot (- 4 x^{2} - 24 x - 4 \cdot 9 + 1)$

解题步骤 3.2.1.1.5.2

将 $- 4$ 乘以 $9$ 。

$\frac{1}{4} \cdot (- 4 x^{2} - 24 x - 36 + 1)$

解题步骤 3.2.1.2

将 $- 36$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1}{4} \cdot (- 4 x^{2} - 24 x - 35)$

解题步骤 3.2.1.3

运用分配律。

$\frac{1}{4} (- 4 x^{2}) + \frac{1}{4} (- 24 x) + \frac{1}{4} \cdot - 35$

解题步骤 3.2.1.4

化简。

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解题步骤 3.2.1.4.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1.4.1.1

从 $- 4 x^{2}$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{1}{4} (4 (- x^{2})) + \frac{1}{4} (- 24 x) + \frac{1}{4} \cdot - 35$

解题步骤 3.2.1.4.1.2

约去公因数。

$\frac{1}{4} (4 (- x^{2})) + \frac{1}{4} (- 24 x) + \frac{1}{4} \cdot - 35$

解题步骤 3.2.1.4.1.3

重写表达式。

$- x^{2} + \frac{1}{4} (- 24 x) + \frac{1}{4} \cdot - 35$

解题步骤 3.2.1.4.2

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1.4.2.1

从 $- 24 x$ 中分解出因数 $4$ 。

$- x^{2} + \frac{1}{4} (4 (- 6 x)) + \frac{1}{4} \cdot - 35$

解题步骤 3.2.1.4.2.2

约去公因数。

$- x^{2} + \frac{1}{4} (4 (- 6 x)) + \frac{1}{4} \cdot - 35$

解题步骤 3.2.1.4.2.3

重写表达式。

$- x^{2} - 6 x + \frac{1}{4} \cdot - 35$

解题步骤 3.2.1.4.3

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $- 35$ 。

$- x^{2} - 6 x + \frac{- 35}{4}$

解题步骤 3.2.1.5

将负号移到分数的前面。

$- x^{2} - 6 x - \frac{35}{4}$

解题步骤 3.2.2

使用 $a x^{2} + b x + c$ 的形式求 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 的值。

$a = - 1$

$b = - 6$

$c = - \frac{35}{4}$

解题步骤 3.2.3

思考一下抛物线的顶点形式。

$a {(x + d)}^{2} + e$

解题步骤 3.2.4

使用公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 求 $d$ 的值。

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解题步骤 3.2.4.1

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 。

$d = \frac{- 6}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 3.2.4.2

化简右边。

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解题步骤 3.2.4.2.1

约去 $- 6$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.4.2.1.1

从 $- 6$ 中分解出因数 $2$ 。

$d = \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 3.2.4.2.1.2

移动 $\frac{- 3}{- 1}$ 中分母的负号。

$d = - 1 \cdot - 3$

解题步骤 3.2.4.2.2

将 $- 1 \cdot - 3$ 重写为 $- - 3$ 。

$d = - - 3$

解题步骤 3.2.4.2.3

将 $- 1$ 乘以 $- 3$ 。

$d = 3$

解题步骤 3.2.5

使用公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 求 $e$ 的值。

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解题步骤 3.2.5.1

将 $c$ 、 $b$ 和 $a$ 的值代入公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 。

$e = - \frac{35}{4} - \frac{{(- 6)}^{2}}{4 \cdot - 1}$

解题步骤 3.2.5.2

化简右边。

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解题步骤 3.2.5.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.2.5.2.1.1

对 $- 6$ 进行 $2$ 次方运算。

$e = - \frac{35}{4} - \frac{36}{4 \cdot - 1}$

解题步骤 3.2.5.2.1.2

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$e = - \frac{35}{4} - \frac{36}{- 4}$

解题步骤 3.2.5.2.1.3

用 $36$ 除以 $- 4$ 。

$e = - \frac{35}{4} - - 9$

解题步骤 3.2.5.2.1.4

将 $- 1$ 乘以 $- 9$ 。

$e = - \frac{35}{4} + 9$

解题步骤 3.2.5.2.2

要将 $9$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$e = - \frac{35}{4} + 9 \cdot \frac{4}{4}$

解题步骤 3.2.5.2.3

组合 $9$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$e = - \frac{35}{4} + \frac{9 \cdot 4}{4}$

解题步骤 3.2.5.2.4

在公分母上合并分子。

$e = \frac{- 35 + 9 \cdot 4}{4}$

解题步骤 3.2.5.2.5

化简分子。

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解题步骤 3.2.5.2.5.1

将 $9$ 乘以 $4$ 。

$e = \frac{- 35 + 36}{4}$

解题步骤 3.2.5.2.5.2

将 $- 35$ 和 $36$ 相加。

$e = \frac{1}{4}$

解题步骤 3.2.6

将 $a$ 、 $d$ 和 $e$ 的值代入顶点式 $- {(x + 3)}^{2} + \frac{1}{4}$ 。

$- {(x + 3)}^{2} + \frac{1}{4}$

解题步骤 3.3

将 $y$ 设为等于右边新的值。

$y = - {(x + 3)}^{2} + \frac{1}{4}$

解题步骤 4

水平位移取决于 $h$ 的值。水平位移被描述为：

$f (x) = f (x + h)$ - 图像向左平移了 $h$ 个单位。

$f (x) = f (x - h)$ - 图像向右平移了 $h$ 个单位。

水平位移：向左 $3$ 个单位

解题步骤 5

垂直位移取决于 $k$ 的值。垂直位移可描述为：

$f (x) = f (x) + k$ - 图像向上平移了 $k$ 个单位。

$f (x) = f (x) - k$ - The graph is shifted down $k$ units.

垂直位移：向上移动 $0.25$ 个单位

解题步骤 6

当 $f (x) = - f (x)$ 时，图像关于 X 轴反射。

关于 x 轴反射：反射

解题步骤 7

当 $f (x) = f (- x)$ 时，图像关于Y轴反射。

关于 y 轴反射：无

解题步骤 8

根据 $a$ 的取值压缩或伸展。

当 $a$ 大于 $1$ 时：垂直拉伸

当 $a$ 介于 $0$ 和 $1$ 之间时：垂直压缩

垂直压缩或垂直拉伸：无

解题步骤 9

比较并列出函数的变换。

父函数： $g (x) = x^{2}$

水平位移：向左 $3$ 个单位

垂直位移：向上移动 $0.25$ 个单位

关于 x 轴反射：反射

关于 y 轴反射：无

垂直压缩或垂直拉伸：无

解题步骤 10

代数 示例

代数示例