代数示例

$\frac{z^{2} + 11 z + 30}{z^{2} + z - 20} - \frac{z^{2} + 2 z - 24}{z^{2} + 9 z + 18}$

解题步骤 1

化简每一项。

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解题步骤 1.1

使用 AC 法来对 $z^{2} + 11 z + 30$ 进行因式分解。

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解题步骤 1.1.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $30$ ，和为 $11$ 。

$5, 6$

解题步骤 1.1.2

使用这些整数书写分数形式。

$\frac{(z + 5) (z + 6)}{z^{2} + z - 20} - \frac{z^{2} + 2 z - 24}{z^{2} + 9 z + 18}$

解题步骤 1.2

使用 AC 法来对 $z^{2} + z - 20$ 进行因式分解。

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解题步骤 1.2.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 20$ ，和为 $1$ 。

$- 4, 5$

解题步骤 1.2.2

使用这些整数书写分数形式。

$\frac{(z + 5) (z + 6)}{(z - 4) (z + 5)} - \frac{z^{2} + 2 z - 24}{z^{2} + 9 z + 18}$

解题步骤 1.3

约去 $z + 5$ 的公因数。

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解题步骤 1.3.1

约去公因数。

$\frac{(z + 5) (z + 6)}{(z - 4) (z + 5)} - \frac{z^{2} + 2 z - 24}{z^{2} + 9 z + 18}$

解题步骤 1.3.2

重写表达式。

$\frac{z + 6}{z - 4} - \frac{z^{2} + 2 z - 24}{z^{2} + 9 z + 18}$

解题步骤 1.4

使用 AC 法来对 $z^{2} + 2 z - 24$ 进行因式分解。

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解题步骤 1.4.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 24$ ，和为 $2$ 。

$- 4, 6$

解题步骤 1.4.2

使用这些整数书写分数形式。

$\frac{z + 6}{z - 4} - \frac{(z - 4) (z + 6)}{z^{2} + 9 z + 18}$

解题步骤 1.5

使用 AC 法来对 $z^{2} + 9 z + 18$ 进行因式分解。

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解题步骤 1.5.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $18$ ，和为 $9$ 。

$3, 6$

解题步骤 1.5.2

使用这些整数书写分数形式。

$\frac{z + 6}{z - 4} - \frac{(z - 4) (z + 6)}{(z + 3) (z + 6)}$

解题步骤 1.6

约去 $z + 6$ 的公因数。

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解题步骤 1.6.1

约去公因数。

$\frac{z + 6}{z - 4} - \frac{(z - 4) (z + 6)}{(z + 3) (z + 6)}$

解题步骤 1.6.2

重写表达式。

$\frac{z + 6}{z - 4} - \frac{z - 4}{z + 3}$

解题步骤 2

要将 $\frac{z + 6}{z - 4}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{z + 3}{z + 3}$ 。

$\frac{z + 6}{z - 4} \cdot \frac{z + 3}{z + 3} - \frac{z - 4}{z + 3}$

解题步骤 3

要将 $- \frac{z - 4}{z + 3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{z - 4}{z - 4}$ 。

$\frac{z + 6}{z - 4} \cdot \frac{z + 3}{z + 3} - \frac{z - 4}{z + 3} \cdot \frac{z - 4}{z - 4}$

解题步骤 4

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $(z - 4) (z + 3)$ 的形式。

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解题步骤 4.1

将 $\frac{z + 6}{z - 4}$ 乘以 $\frac{z + 3}{z + 3}$ 。

$\frac{(z + 6) (z + 3)}{(z - 4) (z + 3)} - \frac{z - 4}{z + 3} \cdot \frac{z - 4}{z - 4}$

解题步骤 4.2

将 $\frac{z - 4}{z + 3}$ 乘以 $\frac{z - 4}{z - 4}$ 。

$\frac{(z + 6) (z + 3)}{(z - 4) (z + 3)} - \frac{(z - 4) (z - 4)}{(z + 3) (z - 4)}$

解题步骤 4.3

重新排序 $(z - 4) (z + 3)$ 的因式。

$\frac{(z + 6) (z + 3)}{(z + 3) (z - 4)} - \frac{(z - 4) (z - 4)}{(z + 3) (z - 4)}$

解题步骤 5

在公分母上合并分子。

$\frac{(z + 6) (z + 3) - (z - 4) (z - 4)}{(z + 3) (z - 4)}$

解题步骤 6

化简分子。

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解题步骤 6.1

使用 FOIL 方法展开 $(z + 6) (z + 3)$ 。

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解题步骤 6.1.1

运用分配律。

$\frac{z (z + 3) + 6 (z + 3) - (z - 4) (z - 4)}{(z + 3) (z - 4)}$

解题步骤 6.1.2

运用分配律。

$\frac{z \cdot z + z \cdot 3 + 6 (z + 3) - (z - 4) (z - 4)}{(z + 3) (z - 4)}$

解题步骤 6.1.3

运用分配律。

$\frac{z \cdot z + z \cdot 3 + 6 z + 6 \cdot 3 - (z - 4) (z - 4)}{(z + 3) (z - 4)}$

解题步骤 6.2

化简并合并同类项。

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解题步骤 6.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.2.1.1

将 $z$ 乘以 $z$ 。

$\frac{z^{2} + z \cdot 3 + 6 z + 6 \cdot 3 - (z - 4) (z - 4)}{(z + 3) (z - 4)}$

解题步骤 6.2.1.2

将 $3$ 移到 $z$ 的左侧。

$\frac{z^{2} + 3 \cdot z + 6 z + 6 \cdot 3 - (z - 4) (z - 4)}{(z + 3) (z - 4)}$

解题步骤 6.2.1.3

将 $6$ 乘以 $3$ 。

$\frac{z^{2} + 3 z + 6 z + 18 - (z - 4) (z - 4)}{(z + 3) (z - 4)}$

解题步骤 6.2.2

将 $3 z$ 和 $6 z$ 相加。

$\frac{z^{2} + 9 z + 18 - (z - 4) (z - 4)}{(z + 3) (z - 4)}$

解题步骤 6.3

运用分配律。

$\frac{z^{2} + 9 z + 18 + (- z - - 4) (z - 4)}{(z + 3) (z - 4)}$

解题步骤 6.4

将 $- 1$ 乘以 $- 4$ 。

$\frac{z^{2} + 9 z + 18 + (- z + 4) (z - 4)}{(z + 3) (z - 4)}$

解题步骤 6.5

使用 FOIL 方法展开 $(- z + 4) (z - 4)$ 。

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解题步骤 6.5.1

运用分配律。

$\frac{z^{2} + 9 z + 18 - z (z - 4) + 4 (z - 4)}{(z + 3) (z - 4)}$

解题步骤 6.5.2

运用分配律。

$\frac{z^{2} + 9 z + 18 - z \cdot z - z \cdot - 4 + 4 (z - 4)}{(z + 3) (z - 4)}$

解题步骤 6.5.3

运用分配律。

$\frac{z^{2} + 9 z + 18 - z \cdot z - z \cdot - 4 + 4 z + 4 \cdot - 4}{(z + 3) (z - 4)}$

解题步骤 6.6

化简并合并同类项。

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解题步骤 6.6.1

化简每一项。

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解题步骤 6.6.1.1

通过指数相加将 $z$ 乘以 $z$ 。

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解题步骤 6.6.1.1.1

移动 $z$ 。

$\frac{z^{2} + 9 z + 18 - (z \cdot z) - z \cdot - 4 + 4 z + 4 \cdot - 4}{(z + 3) (z - 4)}$

解题步骤 6.6.1.1.2

将 $z$ 乘以 $z$ 。

$\frac{z^{2} + 9 z + 18 - z^{2} - z \cdot - 4 + 4 z + 4 \cdot - 4}{(z + 3) (z - 4)}$

解题步骤 6.6.1.2

将 $- 4$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{z^{2} + 9 z + 18 - z^{2} + 4 z + 4 z + 4 \cdot - 4}{(z + 3) (z - 4)}$

解题步骤 6.6.1.3

将 $4$ 乘以 $- 4$ 。

$\frac{z^{2} + 9 z + 18 - z^{2} + 4 z + 4 z - 16}{(z + 3) (z - 4)}$

解题步骤 6.6.2

将 $4 z$ 和 $4 z$ 相加。

$\frac{z^{2} + 9 z + 18 - z^{2} + 8 z - 16}{(z + 3) (z - 4)}$

解题步骤 6.7

从 $z^{2}$ 中减去 $z^{2}$ 。

$\frac{9 z + 18 + 0 + 8 z - 16}{(z + 3) (z - 4)}$

解题步骤 6.8

将 $9 z$ 和 $0$ 相加。

$\frac{9 z + 18 + 8 z - 16}{(z + 3) (z - 4)}$

解题步骤 6.9

将 $9 z$ 和 $8 z$ 相加。

$\frac{17 z + 18 - 16}{(z + 3) (z - 4)}$

解题步骤 6.10

从 $18$ 中减去 $16$ 。

$\frac{17 z + 2}{(z + 3) (z - 4)}$

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