代数示例

$x^{2} + y^{2} - \frac{2}{3} x - 3 y + 2 = 0$

解题步骤 1

从等式两边同时减去 $2$ 。

$x^{2} + y^{2} - \frac{2}{3} x - 3 y = - 2$

解题步骤 2

对 $x^{2} - \frac{2}{3} x$ 进行配方。

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解题步骤 2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.1

组合 $x$ 和 $\frac{2}{3}$ 。

$x^{2} - \frac{x \cdot 2}{3}$

解题步骤 2.1.2

将 $2$ 移到 $x$ 的左侧。

$x^{2} - \frac{2 x}{3}$

解题步骤 2.2

使用 $a x^{2} + b x + c$ 的形式求 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 的值。

$a = 1$

$b = - \frac{2}{3}$

$c = 0$

解题步骤 2.3

思考一下抛物线的顶点形式。

$a {(x + d)}^{2} + e$

解题步骤 2.4

使用公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 求 $d$ 的值。

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解题步骤 2.4.1

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 。

$d = \frac{- \frac{2}{3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2

化简右边。

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解题步骤 2.4.2.1

约去 $- 1$ 和 $1$ 的公因数。

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解题步骤 2.4.2.1.1

将 $- 1$ 重写为 $- 1 (1)$ 。

$d = \frac{- 1 (1) \frac{2}{3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2.1.2

约去公因数。

$d = \frac{- 1 \cdot 1 \frac{2}{3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2.1.3

重写表达式。

$d = \frac{- \frac{2}{3}}{2}$

解题步骤 2.4.2.2

将分子乘以分母的倒数。

$d = - \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2}$

解题步骤 2.4.2.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.4.2.3.1

将 $- \frac{2}{3}$ 中前置负号移到分子中。

$d = \frac{- 2}{3} \cdot \frac{1}{2}$

解题步骤 2.4.2.3.2

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$d = \frac{2 (- 1)}{3} \cdot \frac{1}{2}$

解题步骤 2.4.2.3.3

约去公因数。

$d = \frac{2 \cdot - 1}{3} \cdot \frac{1}{2}$

解题步骤 2.4.2.3.4

重写表达式。

$d = \frac{- 1}{3}$

解题步骤 2.4.2.4

将负号移到分数的前面。

$d = - \frac{1}{3}$

解题步骤 2.5

使用公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 求 $e$ 的值。

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解题步骤 2.5.1

将 $c$ 、 $b$ 和 $a$ 的值代入公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 。

$e = 0 - \frac{{(- \frac{2}{3})}^{2}}{4 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.2

化简右边。

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解题步骤 2.5.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.5.2.1.1

化简分子。

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解题步骤 2.5.2.1.1.1

对 $- \frac{2}{3}$ 运用乘积法则。

$e = 0 - \frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{2}{3})}^{2}}{4 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.2.1.1.2

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$e = 0 - \frac{1 {(\frac{2}{3})}^{2}}{4 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.2.1.1.3

对 $\frac{2}{3}$ 运用乘积法则。

$e = 0 - \frac{1 \frac{2^{2}}{3^{2}}}{4 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.2.1.1.4

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$e = 0 - \frac{1 \frac{4}{3^{2}}}{4 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.2.1.1.5

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$e = 0 - \frac{1 (\frac{4}{9})}{4 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.2.1.1.6

将 $\frac{4}{9}$ 乘以 $1$ 。

$e = 0 - \frac{\frac{4}{9}}{4 \cdot 1}$

解题步骤 2.5.2.1.2

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$e = 0 - \frac{\frac{4}{9}}{4}$

解题步骤 2.5.2.1.3

将分子乘以分母的倒数。

$e = 0 - (\frac{4}{9} \cdot \frac{1}{4})$

解题步骤 2.5.2.1.4

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 2.5.2.1.4.1

约去公因数。

$e = 0 - (\frac{4}{9} \cdot \frac{1}{4})$

解题步骤 2.5.2.1.4.2

重写表达式。

$e = 0 - \frac{1}{9}$

解题步骤 2.5.2.2

从 $0$ 中减去 $\frac{1}{9}$ 。

$e = - \frac{1}{9}$

解题步骤 2.6

将 $a$ 、 $d$ 和 $e$ 的值代入顶点式 ${(x - \frac{1}{3})}^{2} - \frac{1}{9}$ 。

${(x - \frac{1}{3})}^{2} - \frac{1}{9}$

解题步骤 3

在方程 $x^{2} + y^{2} - \frac{2}{3} x - 3 y = - 2$ 中，用 ${(x - \frac{1}{3})}^{2} - \frac{1}{9}$ 代替 $x^{2} - \frac{2}{3} x$ 。

${(x - \frac{1}{3})}^{2} - \frac{1}{9} + y^{2} - 3 y = - 2$

解题步骤 4

通过在等式两边同时加上 $\frac{1}{9}$ 的方法来将 $- \frac{1}{9}$ 移到等式右边。

${(x - \frac{1}{3})}^{2} + y^{2} - 3 y = - 2 + \frac{1}{9}$

解题步骤 5

对 $y^{2} - 3 y$ 进行配方。

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解题步骤 5.1

使用 $a x^{2} + b x + c$ 的形式求 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 的值。

$a = 1$

$b = - 3$

$c = 0$

解题步骤 5.2

思考一下抛物线的顶点形式。

$a {(x + d)}^{2} + e$

解题步骤 5.3

使用公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 求 $d$ 的值。

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解题步骤 5.3.1

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 。

$d = \frac{- 3}{2 \cdot 1}$

解题步骤 5.3.2

化简右边。

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解题步骤 5.3.2.1

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$d = \frac{- 3}{2}$

解题步骤 5.3.2.2

将负号移到分数的前面。

$d = - \frac{3}{2}$

解题步骤 5.4

使用公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 求 $e$ 的值。

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解题步骤 5.4.1

将 $c$ 、 $b$ 和 $a$ 的值代入公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 。

$e = 0 - \frac{{(- 3)}^{2}}{4 \cdot 1}$

解题步骤 5.4.2

化简右边。

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解题步骤 5.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.4.2.1.1

对 $- 3$ 进行 $2$ 次方运算。

$e = 0 - \frac{9}{4 \cdot 1}$

解题步骤 5.4.2.1.2

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$e = 0 - \frac{9}{4}$

解题步骤 5.4.2.2

从 $0$ 中减去 $\frac{9}{4}$ 。

$e = - \frac{9}{4}$

解题步骤 5.5

将 $a$ 、 $d$ 和 $e$ 的值代入顶点式 ${(y - \frac{3}{2})}^{2} - \frac{9}{4}$ 。

${(y - \frac{3}{2})}^{2} - \frac{9}{4}$

解题步骤 6

在方程 $x^{2} + y^{2} - \frac{2}{3} x - 3 y = - 2$ 中，用 ${(y - \frac{3}{2})}^{2} - \frac{9}{4}$ 代替 $y^{2} - 3 y$ 。

${(x - \frac{1}{3})}^{2} + {(y - \frac{3}{2})}^{2} - \frac{9}{4} = - 2 + \frac{1}{9}$

解题步骤 7

通过在等式两边同时加上 $\frac{9}{4}$ 的方法来将 $- \frac{9}{4}$ 移到等式右边。

${(x - \frac{1}{3})}^{2} + {(y - \frac{3}{2})}^{2} = - 2 + \frac{1}{9} + \frac{9}{4}$

解题步骤 8

化简 $- 2 + \frac{1}{9} + \frac{9}{4}$ 。

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解题步骤 8.1

求公分母。

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解题步骤 8.1.1

将 $- 2$ 写成分母为 $1$ 的分数。

${(x - \frac{1}{3})}^{2} + {(y - \frac{3}{2})}^{2} = \frac{- 2}{1} + \frac{1}{9} + \frac{9}{4}$

解题步骤 8.1.2

将 $\frac{- 2}{1}$ 乘以 $\frac{36}{36}$ 。

${(x - \frac{1}{3})}^{2} + {(y - \frac{3}{2})}^{2} = \frac{- 2}{1} \cdot \frac{36}{36} + \frac{1}{9} + \frac{9}{4}$

解题步骤 8.1.3

将 $\frac{- 2}{1}$ 乘以 $\frac{36}{36}$ 。

${(x - \frac{1}{3})}^{2} + {(y - \frac{3}{2})}^{2} = \frac{- 2 \cdot 36}{36} + \frac{1}{9} + \frac{9}{4}$

解题步骤 8.1.4

将 $\frac{1}{9}$ 乘以 $\frac{4}{4}$ 。

${(x - \frac{1}{3})}^{2} + {(y - \frac{3}{2})}^{2} = \frac{- 2 \cdot 36}{36} + \frac{1}{9} \cdot \frac{4}{4} + \frac{9}{4}$

解题步骤 8.1.5

将 $\frac{1}{9}$ 乘以 $\frac{4}{4}$ 。

${(x - \frac{1}{3})}^{2} + {(y - \frac{3}{2})}^{2} = \frac{- 2 \cdot 36}{36} + \frac{4}{9 \cdot 4} + \frac{9}{4}$

解题步骤 8.1.6

将 $\frac{9}{4}$ 乘以 $\frac{9}{9}$ 。

${(x - \frac{1}{3})}^{2} + {(y - \frac{3}{2})}^{2} = \frac{- 2 \cdot 36}{36} + \frac{4}{9 \cdot 4} + \frac{9}{4} \cdot \frac{9}{9}$

解题步骤 8.1.7

将 $\frac{9}{4}$ 乘以 $\frac{9}{9}$ 。

${(x - \frac{1}{3})}^{2} + {(y - \frac{3}{2})}^{2} = \frac{- 2 \cdot 36}{36} + \frac{4}{9 \cdot 4} + \frac{9 \cdot 9}{4 \cdot 9}$

解题步骤 8.1.8

重新排序 $9 \cdot 4$ 的因式。

${(x - \frac{1}{3})}^{2} + {(y - \frac{3}{2})}^{2} = \frac{- 2 \cdot 36}{36} + \frac{4}{4 \cdot 9} + \frac{9 \cdot 9}{4 \cdot 9}$

解题步骤 8.1.9

将 $4$ 乘以 $9$ 。

${(x - \frac{1}{3})}^{2} + {(y - \frac{3}{2})}^{2} = \frac{- 2 \cdot 36}{36} + \frac{4}{36} + \frac{9 \cdot 9}{4 \cdot 9}$

解题步骤 8.1.10

将 $4$ 乘以 $9$ 。

${(x - \frac{1}{3})}^{2} + {(y - \frac{3}{2})}^{2} = \frac{- 2 \cdot 36}{36} + \frac{4}{36} + \frac{9 \cdot 9}{36}$

解题步骤 8.2

在公分母上合并分子。

${(x - \frac{1}{3})}^{2} + {(y - \frac{3}{2})}^{2} = \frac{- 2 \cdot 36 + 4 + 9 \cdot 9}{36}$

解题步骤 8.3

化简每一项。

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解题步骤 8.3.1

将 $- 2$ 乘以 $36$ 。

${(x - \frac{1}{3})}^{2} + {(y - \frac{3}{2})}^{2} = \frac{- 72 + 4 + 9 \cdot 9}{36}$

解题步骤 8.3.2

将 $9$ 乘以 $9$ 。

${(x - \frac{1}{3})}^{2} + {(y - \frac{3}{2})}^{2} = \frac{- 72 + 4 + 81}{36}$

解题步骤 8.4

通过加上各数进行化简。

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解题步骤 8.4.1

将 $- 72$ 和 $4$ 相加。

${(x - \frac{1}{3})}^{2} + {(y - \frac{3}{2})}^{2} = \frac{- 68 + 81}{36}$

解题步骤 8.4.2

将 $- 68$ 和 $81$ 相加。

${(x - \frac{1}{3})}^{2} + {(y - \frac{3}{2})}^{2} = \frac{13}{36}$

代数 示例

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