代数示例

$\tan^{2} (θ) = \frac{3}{2} \sec (θ)$

解题步骤 1

使用基于 $\tan^{2} (x) + 1 = \sec^{2} (x)$ 恒等式的 $\sec^{2} (θ) - 1$ 替换 $\tan^{2} (θ)$ 。

$\sec^{2} (θ) - 1 = \frac{3}{2} \cdot \sec (θ)$

解题步骤 2

代入 $u$ 替换 $\sec (θ)$ 。

${(u)}^{2} - 1 = \frac{3}{2} (u)$

解题步骤 3

化简 $\frac{3}{2} u$ 。

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解题步骤 3.1

重写。

$u^{2} - 1 = 0 + 0 + \frac{3}{2} u$

解题步骤 3.2

通过加上各个零进行化简。

$u^{2} - 1 = \frac{3}{2} u$

解题步骤 3.3

组合 $\frac{3}{2}$ 和 $u$ 。

$u^{2} - 1 = \frac{3 u}{2}$

解题步骤 4

从等式两边同时减去 $\frac{3 u}{2}$ 。

$u^{2} - 1 - \frac{3 u}{2} = 0$

解题步骤 5

全部乘以最小公分母 $2$ ，然后化简。

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解题步骤 5.1

运用分配律。

$2 u^{2} + 2 \cdot - 1 + 2 (- \frac{3 u}{2}) = 0$

解题步骤 5.2

化简。

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解题步骤 5.2.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$2 u^{2} - 2 + 2 (- \frac{3 u}{2}) = 0$

解题步骤 5.2.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.2.1

将 $- \frac{3 u}{2}$ 中前置负号移到分子中。

$2 u^{2} - 2 + 2 \frac{- 3 u}{2} = 0$

解题步骤 5.2.2.2

约去公因数。

$2 u^{2} - 2 + 2 \frac{- 3 u}{2} = 0$

解题步骤 5.2.2.3

重写表达式。

$2 u^{2} - 2 - 3 u = 0$

解题步骤 5.3

移动 $- 2$ 。

$2 u^{2} - 3 u - 2 = 0$

解题步骤 6

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 7

将 $a = 2$ 、 $b = - 3$ 和 $c = - 2$ 的值代入二次公式中并求解 $u$ 。

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot - 2)}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 8

化简。

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解题步骤 8.1

化简分子。

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解题步骤 8.1.1

对 $- 3$ 进行 $2$ 次方运算。

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 2 \cdot - 2}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 8.1.2

乘以 $- 4 \cdot 2 \cdot - 2$ 。

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解题步骤 8.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $2$ 。

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 8 \cdot - 2}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 8.1.2.2

将 $- 8$ 乘以 $- 2$ 。

$u = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 16}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 8.1.3

将 $9$ 和 $16$ 相加。

$u = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 8.1.4

将 $25$ 重写为 $5^{2}$ 。

$u = \frac{3 \pm \sqrt{5^{2}}}{2 \cdot 2}$

解题步骤 8.1.5

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$u = \frac{3 \pm 5}{2 \cdot 2}$

解题步骤 8.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$u = \frac{3 \pm 5}{4}$

解题步骤 9

最终答案为两个解的组合。

$u = 2, - \frac{1}{2}$

解题步骤 10

代入 $\sec (θ)$ 替换 $u$ 。

$\sec (θ) = 2, - \frac{1}{2}$

解题步骤 11

建立每一个解以求解 $θ$ 。

$\sec (θ) = 2$

$\sec (θ) = - \frac{1}{2}$

解题步骤 12

在 $\sec (θ) = 2$ 中求解 $θ$ 。

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解题步骤 12.1

对方程两边取反正割以便从正割中提出 $θ$ 。

$θ = arcsec (2)$

解题步骤 12.2

化简右边。

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解题步骤 12.2.1

$arcsec (2)$ 的准确值为 $\frac{π}{3}$ 。

$θ = \frac{π}{3}$

解题步骤 12.3

正割函数在第一象限和第斯象限为负。要求第二个解，应从 $2 π$ 中减去参考角以求第四象限中的解。

$θ = 2 π - \frac{π}{3}$

解题步骤 12.4

化简 $2 π - \frac{π}{3}$ 。

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解题步骤 12.4.1

要将 $2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$θ = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

解题步骤 12.4.2

合并分数。

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解题步骤 12.4.2.1

组合 $2 π$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$θ = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

解题步骤 12.4.2.2

在公分母上合并分子。

$θ = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

解题步骤 12.4.3

化简分子。

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解题步骤 12.4.3.1

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$θ = \frac{6 π - π}{3}$

解题步骤 12.4.3.2

从 $6 π$ 中减去 $π$ 。

$θ = \frac{5 π}{3}$

解题步骤 12.5

求 $\sec (θ)$ 的周期。

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解题步骤 12.5.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 12.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 12.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 12.5.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 12.6

$\sec (θ)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$θ = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 13

在 $\sec (θ) = - \frac{1}{2}$ 中求解 $θ$ 。

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解题步骤 13.1

正割函数的值域为 $y \leq - 1$ 和 $y \geq 1$ 。因为 $- \frac{1}{2}$ 不在该值域内，所以无解。

无解

解题步骤 14

列出所有解。

$θ = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

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