代数示例

${(x + 1)}^{2} (x - 5) = 0$

解题步骤 1

化简并按降序重新排序多项式以便使用笛卡尔法则。

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解题步骤 1.1

将 ${(x + 1)}^{2}$ 重写为 $(x + 1) (x + 1)$ 。

$(x + 1) (x + 1) (x - 5)$

解题步骤 1.2

使用 FOIL 方法展开 $(x + 1) (x + 1)$ 。

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解题步骤 1.2.1

运用分配律。

$(x (x + 1) + 1 (x + 1)) (x - 5)$

解题步骤 1.2.2

运用分配律。

$(x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1)) (x - 5)$

解题步骤 1.2.3

运用分配律。

$(x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1) (x - 5)$

解题步骤 1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.3.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$(x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1) (x - 5)$

解题步骤 1.3.1.2

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$(x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1) (x - 5)$

解题步骤 1.3.1.3

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$(x^{2} + x + x + 1 \cdot 1) (x - 5)$

解题步骤 1.3.1.4

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$(x^{2} + x + x + 1) (x - 5)$

解题步骤 1.3.2

将 $x$ 和 $x$ 相加。

$(x^{2} + 2 x + 1) (x - 5)$

解题步骤 1.4

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(x^{2} + 2 x + 1) (x - 5)$ 。

$x^{2} x + x^{2} \cdot - 5 + 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 5 + 1 x + 1 \cdot - 5$

解题步骤 1.5

化简项。

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解题步骤 1.5.1

化简每一项。

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解题步骤 1.5.1.1

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.5.1.1.1

将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.5.1.1.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$x^{2} x^{1} + x^{2} \cdot - 5 + 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 5 + 1 x + 1 \cdot - 5$

解题步骤 1.5.1.1.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x^{2 + 1} + x^{2} \cdot - 5 + 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 5 + 1 x + 1 \cdot - 5$

解题步骤 1.5.1.1.2

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$x^{3} + x^{2} \cdot - 5 + 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 5 + 1 x + 1 \cdot - 5$

解题步骤 1.5.1.2

将 $- 5$ 移到 $x^{2}$ 的左侧。

$x^{3} - 5 \cdot x^{2} + 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 5 + 1 x + 1 \cdot - 5$

解题步骤 1.5.1.3

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.5.1.3.1

移动 $x$ 。

$x^{3} - 5 x^{2} + 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 5 + 1 x + 1 \cdot - 5$

解题步骤 1.5.1.3.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$x^{3} - 5 x^{2} + 2 x^{2} + 2 x \cdot - 5 + 1 x + 1 \cdot - 5$

解题步骤 1.5.1.4

将 $- 5$ 乘以 $2$ 。

$x^{3} - 5 x^{2} + 2 x^{2} - 10 x + 1 x + 1 \cdot - 5$

解题步骤 1.5.1.5

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$x^{3} - 5 x^{2} + 2 x^{2} - 10 x + x + 1 \cdot - 5$

解题步骤 1.5.1.6

将 $- 5$ 乘以 $1$ 。

$x^{3} - 5 x^{2} + 2 x^{2} - 10 x + x - 5$

解题步骤 1.5.2

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 1.5.2.1

将 $- 5 x^{2}$ 和 $2 x^{2}$ 相加。

$x^{3} - 3 x^{2} - 10 x + x - 5$

解题步骤 1.5.2.2

将 $- 10 x$ 和 $x$ 相加。

$x^{3} - 3 x^{2} - 9 x - 5$

解题步骤 2

要求正根的可能个数，请观察系数的符号并计算系数符号从正变为负或从负变为正的次数。

$f (x) = x^{3} - 3 x^{2} - 9 x - 5$

解题步骤 3

因为从最高次项到最低次项有 $1$ 次符号的改变，所以最多有 $1$ 个正数根（笛卡尔正负号规则）。

正根： $1$

解题步骤 4

要求负根的可能个数，请用 $- x$ 替换 $x$ ，并重复比较符号。

$f (- x) = {(- x)}^{3} - 3 {(- x)}^{2} - 9 (- x) - 5$

解题步骤 5

化简每一项。

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解题步骤 5.1

对 $- x$ 运用乘积法则。

$f (- x) = {(- 1)}^{3} x^{3} - 3 {(- x)}^{2} - 9 (- x) - 5$

解题步骤 5.2

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (- x) = - x^{3} - 3 {(- x)}^{2} - 9 (- x) - 5$

解题步骤 5.3

对 $- x$ 运用乘积法则。

$f (- x) = - x^{3} - 3 ({(- 1)}^{2} x^{2}) - 9 (- x) - 5$

解题步骤 5.4

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (- x) = - x^{3} - 3 (1 x^{2}) - 9 (- x) - 5$

解题步骤 5.5

将 $x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$f (- x) = - x^{3} - 3 x^{2} - 9 (- x) - 5$

解题步骤 5.6

将 $- 1$ 乘以 $- 9$ 。

$f (- x) = - x^{3} - 3 x^{2} + 9 x - 5$

解题步骤 6

因为从最高次项到最低次项有 $2$ 次符号的改变，所以最多有 $2$ 个负数根（笛卡尔正负号规则）。其他可能的负数根个数可以通过减去根的对数求得（例如 $2 - 2$ ）。

负根： $2$ 或 $0$

解题步骤 7

正根的可能个数为 $1$ ，负根的可能个数为 $2$ 或 $0$ 。

正根： $1$

负根： $2$ 或 $0$

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