代数示例

$(\frac{p q}{p^{2} - q^{2}} + \frac{q}{q - p}) \div (p - q + \frac{4 q^{2} - p^{2}}{p + q})$

解题步骤 1

将除式重写为分数形式。

$\frac{\frac{p q}{p^{2} - q^{2}} + \frac{q}{q - p}}{p - q + \frac{4 q^{2} - p^{2}}{p + q}}$

解题步骤 2

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q)$ .

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解题步骤 2.1

将 $\frac{\frac{p q}{p^{2} - q^{2}} + \frac{q}{q - p}}{p - q + \frac{4 q^{2} - p^{2}}{p + q}}$ 乘以 $\frac{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q)}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q)}$ 。

$\frac{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q)}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q)} \cdot \frac{\frac{p q}{p^{2} - q^{2}} + \frac{q}{q - p}}{p - q + \frac{4 q^{2} - p^{2}}{p + q}}$

解题步骤 2.2

合并。

$\frac{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) (\frac{p q}{p^{2} - q^{2}} + \frac{q}{q - p})}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) (p - q + \frac{4 q^{2} - p^{2}}{p + q})}$

解题步骤 3

运用分配律。

$\frac{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) \frac{p q}{p^{2} - q^{2}} + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) \frac{q}{q - p}}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) p + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) (- q) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) \frac{4 q^{2} - p^{2}}{p + q}}$

解题步骤 4

通过相约进行化简。

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解题步骤 4.1

约去 $p^{2} - q^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.1

从 $(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q)$ 中分解出因数 $p^{2} - q^{2}$ 。

$\frac{(p^{2} - q^{2}) ((q - p) (p + q)) \frac{p q}{p^{2} - q^{2}} + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) \frac{q}{q - p}}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) p + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) (- q) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) \frac{4 q^{2} - p^{2}}{p + q}}$

解题步骤 4.1.2

约去公因数。

解题步骤 4.1.3

重写表达式。

$\frac{(q - p) (p + q) (p q) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) \frac{q}{q - p}}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) p + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) (- q) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) \frac{4 q^{2} - p^{2}}{p + q}}$

解题步骤 4.2

约去 $q - p$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.1

从 $(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q)$ 中分解出因数 $q - p$ 。

$\frac{(q - p) (p + q) (p q) + (q - p) ((p^{2} - q^{2}) (p + q)) \frac{q}{q - p}}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) p + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) (- q) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) \frac{4 q^{2} - p^{2}}{p + q}}$

解题步骤 4.2.2

约去公因数。

解题步骤 4.2.3

重写表达式。

$\frac{(q - p) (p + q) (p q) + (p^{2} - q^{2}) (p + q) q}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) p + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) (- q) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) \frac{4 q^{2} - p^{2}}{p + q}}$

解题步骤 4.3

约去 $p + q$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.1

从 $(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q)$ 中分解出因数 $p + q$ 。

$\frac{(q - p) (p + q) (p q) + (p^{2} - q^{2}) (p + q) q}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) p + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) (- q) + (p + q) ((p^{2} - q^{2}) (q - p)) \frac{4 q^{2} - p^{2}}{p + q}}$

解题步骤 4.3.2

约去公因数。

$\frac{(q - p) (p + q) (p q) + (p^{2} - q^{2}) (p + q) q}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) p + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) (- q) + (p + q) ((p^{2} - q^{2}) (q - p)) \frac{4 q^{2} - p^{2}}{p + q}}$

解题步骤 4.3.3

重写表达式。

$\frac{(q - p) (p + q) (p q) + (p^{2} - q^{2}) (p + q) q}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) p + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) (- q) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (4 q^{2} - p^{2})}$

解题步骤 5

化简分子。

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解题步骤 5.1

从 $(q - p) (p + q) (p q) + (p^{2} - q^{2}) (p + q) q$ 中分解出因数 $(p + q) q$ 。

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解题步骤 5.1.1

从 $(q - p) (p + q) (p q)$ 中分解出因数 $(p + q) q$ 。

$\frac{(p + q) q ((q - p) (p)) + (p^{2} - q^{2}) (p + q) q}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) p + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) (- q) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (4 q^{2} - p^{2})}$

解题步骤 5.1.2

从 $(p^{2} - q^{2}) (p + q) q$ 中分解出因数 $(p + q) q$ 。

$\frac{(p + q) q ((q - p) (p)) + (p + q) q (p^{2} - q^{2})}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) p + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) (- q) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (4 q^{2} - p^{2})}$

解题步骤 5.1.3

从 $(p + q) q ((q - p) (p)) + (p + q) q (p^{2} - q^{2})$ 中分解出因数 $(p + q) q$ 。

$\frac{(p + q) q ((q - p) (p) + p^{2} - q^{2})}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) p + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) (- q) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (4 q^{2} - p^{2})}$

解题步骤 5.2

运用分配律。

$\frac{(p + q) q (q p - p \cdot p + p^{2} - q^{2})}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) p + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) (- q) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (4 q^{2} - p^{2})}$

解题步骤 5.3

通过指数相加将 $p$ 乘以 $p$ 。

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解题步骤 5.3.1

移动 $p$ 。

$\frac{(p + q) q (q p - (p \cdot p) + p^{2} - q^{2})}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) p + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) (- q) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (4 q^{2} - p^{2})}$

解题步骤 5.3.2

将 $p$ 乘以 $p$ 。

$\frac{(p + q) q (q p - p^{2} + p^{2} - q^{2})}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) p + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) (- q) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (4 q^{2} - p^{2})}$

解题步骤 5.4

将 $- p^{2}$ 和 $p^{2}$ 相加。

$\frac{(p + q) q (q p + 0 - q^{2})}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) p + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) (- q) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (4 q^{2} - p^{2})}$

解题步骤 5.5

将 $q p$ 和 $0$ 相加。

$\frac{(p + q) q (q p - q^{2})}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) p + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) (- q) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (4 q^{2} - p^{2})}$

解题步骤 5.6

从 $q p - q^{2}$ 中分解出因数 $q$ 。

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解题步骤 5.6.1

从 $q p$ 中分解出因数 $q$ 。

$\frac{(p + q) q (q (p) - q^{2})}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) p + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) (- q) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (4 q^{2} - p^{2})}$

解题步骤 5.6.2

从 $- q^{2}$ 中分解出因数 $q$ 。

$\frac{(p + q) q (q (p) + q (- q))}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) p + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) (- q) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (4 q^{2} - p^{2})}$

解题步骤 5.6.3

从 $q (p) + q (- q)$ 中分解出因数 $q$ 。

$\frac{(p + q) q (q (p - q))}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) p + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) (- q) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (4 q^{2} - p^{2})}$

$\frac{(p + q) q \cdot q (p - q)}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) p + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) (- q) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (4 q^{2} - p^{2})}$

解题步骤 5.7

合并指数。

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解题步骤 5.7.1

对 $q$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{(p + q) (q^{1} q) (p - q)}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) p + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) (- q) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (4 q^{2} - p^{2})}$

解题步骤 5.7.2

对 $q$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{(p + q) (q^{1} q^{1}) (p - q)}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) p + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) (- q) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (4 q^{2} - p^{2})}$

解题步骤 5.7.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{(p + q) q^{1 + 1} (p - q)}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) p + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) (- q) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (4 q^{2} - p^{2})}$

解题步骤 5.7.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{(p + q) q^{2} (p - q)}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) p + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) (- q) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (4 q^{2} - p^{2})}$

解题步骤 6

化简分母。

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解题步骤 6.1

从 $(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) p + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) (- q) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (4 q^{2} - p^{2})$ 中分解出因数 $(p^{2} - q^{2}) (q - p)$ 。

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解题步骤 6.1.1

从 $(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) p$ 中分解出因数 $(p^{2} - q^{2}) (q - p)$ 。

$\frac{(p + q) q^{2} (p - q)}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) ((p + q) p) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) (- q) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (4 q^{2} - p^{2})}$

解题步骤 6.1.2

从 $(p^{2} - q^{2}) (q - p) (p + q) (- q)$ 中分解出因数 $(p^{2} - q^{2}) (q - p)$ 。

$\frac{(p + q) q^{2} (p - q)}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) ((p + q) p) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) ((p + q) (- q)) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (4 q^{2} - p^{2})}$

解题步骤 6.1.3

从 $(p^{2} - q^{2}) (q - p) ((p + q) p) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) ((p + q) (- q))$ 中分解出因数 $(p^{2} - q^{2}) (q - p)$ 。

$\frac{(p + q) q^{2} (p - q)}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) ((p + q) p + (p + q) (- q)) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (4 q^{2} - p^{2})}$

解题步骤 6.1.4

从 $(p^{2} - q^{2}) (q - p) ((p + q) p + (p + q) (- q)) + (p^{2} - q^{2}) (q - p) (4 q^{2} - p^{2})$ 中分解出因数 $(p^{2} - q^{2}) (q - p)$ 。

$\frac{(p + q) q^{2} (p - q)}{(p^{2} - q^{2}) (q - p) ((p + q) p + (p + q) (- q) + 4 q^{2} - p^{2})}$

解题步骤 6.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = p$ 和 $b = q$ 。

$\frac{(p + q) q^{2} (p - q)}{(p + q) (p - q) (q - p) ((p + q) p + (p + q) (- q) + 4 q^{2} - p^{2})}$

解题步骤 6.3

合并指数。

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解题步骤 6.3.1

从 $p$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{(p + q) q^{2} (p - q)}{(p + q) (- 1 (- p) - q) (q - p) ((p + q) p + (p + q) (- q) + 4 q^{2} - p^{2})}$

解题步骤 6.3.2

从 $- q$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{(p + q) q^{2} (p - q)}{(p + q) (- 1 (- p) - (q)) (q - p) ((p + q) p + (p + q) (- q) + 4 q^{2} - p^{2})}$

解题步骤 6.3.3

从 $- 1 (- p) - (q)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{(p + q) q^{2} (p - q)}{(p + q) (- 1 (- p + q)) (q - p) ((p + q) p + (p + q) (- q) + 4 q^{2} - p^{2})}$

解题步骤 6.3.4

重新排序项。

$\frac{(p + q) q^{2} (p - q)}{(p + q) \cdot - 1 (- p + q) (- p + q) ((p + q) p + (p + q) (- q) + 4 q^{2} - p^{2})}$

解题步骤 6.3.5

对 $- p + q$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{(p + q) q^{2} (p - q)}{(p + q) \cdot - 1 ({(- p + q)}^{1} (- p + q)) ((p + q) p + (p + q) (- q) + 4 q^{2} - p^{2})}$

解题步骤 6.3.6

对 $- p + q$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{(p + q) q^{2} (p - q)}{(p + q) \cdot - 1 ({(- p + q)}^{1} {(- p + q)}^{1}) ((p + q) p + (p + q) (- q) + 4 q^{2} - p^{2})}$

解题步骤 6.3.7

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{(p + q) q^{2} (p - q)}{(p + q) \cdot - 1 {(- p + q)}^{1 + 1} ((p + q) p + (p + q) (- q) + 4 q^{2} - p^{2})}$

解题步骤 6.3.8

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{(p + q) q^{2} (p - q)}{(p + q) \cdot - 1 {(- p + q)}^{2} ((p + q) p + (p + q) (- q) + 4 q^{2} - p^{2})}$

解题步骤 6.4

提取负因数。

$\frac{(p + q) q^{2} (p - q)}{- (p + q) {(- p + q)}^{2} ((p + q) p + (p + q) (- q) + 4 q^{2} - p^{2})}$

解题步骤 6.5

化简每一项。

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解题步骤 6.5.1

运用分配律。

$\frac{(p + q) q^{2} (p - q)}{- (p + q) {(- p + q)}^{2} (p \cdot p + q p + (p + q) (- q) + 4 q^{2} - p^{2})}$

解题步骤 6.5.2

将 $p$ 乘以 $p$ 。

$\frac{(p + q) q^{2} (p - q)}{- (p + q) {(- p + q)}^{2} (p^{2} + q p + (p + q) (- q) + 4 q^{2} - p^{2})}$

解题步骤 6.5.3

运用分配律。

$\frac{(p + q) q^{2} (p - q)}{- (p + q) {(- p + q)}^{2} (p^{2} + q p + p (- q) + q (- q) + 4 q^{2} - p^{2})}$

解题步骤 6.5.4

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{(p + q) q^{2} (p - q)}{- (p + q) {(- p + q)}^{2} (p^{2} + q p - p q + q (- q) + 4 q^{2} - p^{2})}$

解题步骤 6.5.5

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{(p + q) q^{2} (p - q)}{- (p + q) {(- p + q)}^{2} (p^{2} + q p - p q - q \cdot q + 4 q^{2} - p^{2})}$

解题步骤 6.5.6

通过指数相加将 $q$ 乘以 $q$ 。

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解题步骤 6.5.6.1

移动 $q$ 。

$\frac{(p + q) q^{2} (p - q)}{- (p + q) {(- p + q)}^{2} (p^{2} + q p - p q - (q \cdot q) + 4 q^{2} - p^{2})}$

解题步骤 6.5.6.2

将 $q$ 乘以 $q$ 。

$\frac{(p + q) q^{2} (p - q)}{- (p + q) {(- p + q)}^{2} (p^{2} + q p - p q - q^{2} + 4 q^{2} - p^{2})}$

解题步骤 6.6

合并 $p^{2} + q p - p q - q^{2} + 4 q^{2} - p^{2}$ 中相反的项。

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解题步骤 6.6.1

按照 $q p$ 和 $- p q$ 重新排列因数。

$\frac{(p + q) q^{2} (p - q)}{- (p + q) {(- p + q)}^{2} (p^{2} + p q - p q - q^{2} + 4 q^{2} - p^{2})}$

解题步骤 6.6.2

从 $p q$ 中减去 $p q$ 。

$\frac{(p + q) q^{2} (p - q)}{- (p + q) {(- p + q)}^{2} (p^{2} + 0 - q^{2} + 4 q^{2} - p^{2})}$

解题步骤 6.6.3

将 $p^{2}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{(p + q) q^{2} (p - q)}{- (p + q) {(- p + q)}^{2} (p^{2} - q^{2} + 4 q^{2} - p^{2})}$

解题步骤 6.6.4

从 $p^{2}$ 中减去 $p^{2}$ 。

$\frac{(p + q) q^{2} (p - q)}{- (p + q) {(- p + q)}^{2} (- q^{2} + 4 q^{2} + 0)}$

解题步骤 6.6.5

将 $- q^{2} + 4 q^{2}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{(p + q) q^{2} (p - q)}{- (p + q) {(- p + q)}^{2} (- q^{2} + 4 q^{2})}$

解题步骤 6.7

将 $- q^{2}$ 和 $4 q^{2}$ 相加。

$\frac{(p + q) q^{2} (p - q)}{- (p + q) {(- p + q)}^{2} \cdot 3 q^{2}}$

解题步骤 6.8

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{(p + q) q^{2} (p - q)}{- 3 (p + q) {(- p + q)}^{2} q^{2}}$

解题步骤 7

化简项。

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解题步骤 7.1

约去 $p + q$ 的公因数。

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解题步骤 7.1.1

约去公因数。

$\frac{(p + q) q^{2} (p - q)}{- 3 (p + q) {(- p + q)}^{2} q^{2}}$

解题步骤 7.1.2

重写表达式。

$\frac{q^{2} (p - q)}{- 3 {(- p + q)}^{2} q^{2}}$

解题步骤 7.2

约去 $q^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.1

约去公因数。

$\frac{q^{2} (p - q)}{- 3 {(- p + q)}^{2} q^{2}}$

解题步骤 7.2.2

重写表达式。

$\frac{p - q}{- 3 {(- p + q)}^{2}}$

解题步骤 7.3

约去 $p - q$ 和 ${(- p + q)}^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 7.3.1

从 $p$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- 1 (- p) - q}{- 3 {(- p + q)}^{2}}$

解题步骤 7.3.2

从 $- q$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- 1 (- p) - (q)}{- 3 {(- p + q)}^{2}}$

解题步骤 7.3.3

从 $- 1 (- p) - (q)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- 1 (- p + q)}{- 3 {(- p + q)}^{2}}$

解题步骤 7.3.4

从 $- 1 (- p + q)$ 中分解出因数 $- p + q$ 。

$\frac{(- p + q) \cdot - 1}{- 3 {(- p + q)}^{2}}$

解题步骤 7.3.5

约去公因数。

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解题步骤 7.3.5.1

从 $- 3 {(- p + q)}^{2}$ 中分解出因数 $- p + q$ 。

$\frac{(- p + q) \cdot - 1}{(- p + q) (- 3 (- p + q))}$

解题步骤 7.3.5.2

约去公因数。

$\frac{(- p + q) \cdot - 1}{(- p + q) (- 3 (- p + q))}$

解题步骤 7.3.5.3

重写表达式。

$\frac{- 1}{- 3 (- p + q)}$

解题步骤 7.4

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{1}{(3) (- p + q)}$

解题步骤 7.5

从 $- p$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{1}{3 (- (p) + q)}$

解题步骤 7.6

从 $q$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{1}{3 (- (p) - 1 (- q))}$

解题步骤 7.7

从 $- (p) - 1 (- q)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{1}{3 (- (p - q))}$

解题步骤 7.8

重写负数。

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解题步骤 7.8.1

将 $- (p - q)$ 重写为 $- 1 (p - q)$ 。

$\frac{1}{3 (- 1 (p - q))}$

解题步骤 7.8.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{1}{3 (p - q)}$

代数 示例

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