代数示例

$\frac{7}{x^{2} - 10 x + 16} + \frac{2 x}{x^{2} - 13 x + 40}$

解题步骤 1

化简每一项。

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解题步骤 1.1

使用 AC 法来对 $x^{2} - 10 x + 16$ 进行因式分解。

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解题步骤 1.1.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $16$ ，和为 $- 10$ 。

$- 8, - 2$

解题步骤 1.1.2

使用这些整数书写分数形式。

$\frac{7}{(x - 8) (x - 2)} + \frac{2 x}{x^{2} - 13 x + 40}$

解题步骤 1.2

使用 AC 法来对 $x^{2} - 13 x + 40$ 进行因式分解。

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解题步骤 1.2.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $40$ ，和为 $- 13$ 。

$- 8, - 5$

解题步骤 1.2.2

使用这些整数书写分数形式。

$\frac{7}{(x - 8) (x - 2)} + \frac{2 x}{(x - 8) (x - 5)}$

解题步骤 2

要将 $\frac{7}{(x - 8) (x - 2)}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x - 5}{x - 5}$ 。

$\frac{7}{(x - 8) (x - 2)} \cdot \frac{x - 5}{x - 5} + \frac{2 x}{(x - 8) (x - 5)}$

解题步骤 3

要将 $\frac{2 x}{(x - 8) (x - 5)}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x - 2}{x - 2}$ 。

$\frac{7}{(x - 8) (x - 2)} \cdot \frac{x - 5}{x - 5} + \frac{2 x}{(x - 8) (x - 5)} \cdot \frac{x - 2}{x - 2}$

解题步骤 4

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $(x - 8) (x - 2) (x - 5)$ 的形式。

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解题步骤 4.1

将 $\frac{7}{(x - 8) (x - 2)}$ 乘以 $\frac{x - 5}{x - 5}$ 。

$\frac{7 (x - 5)}{(x - 8) (x - 2) (x - 5)} + \frac{2 x}{(x - 8) (x - 5)} \cdot \frac{x - 2}{x - 2}$

解题步骤 4.2

将 $\frac{2 x}{(x - 8) (x - 5)}$ 乘以 $\frac{x - 2}{x - 2}$ 。

$\frac{7 (x - 5)}{(x - 8) (x - 2) (x - 5)} + \frac{2 x (x - 2)}{(x - 8) (x - 5) (x - 2)}$

解题步骤 4.3

重新排序 $(x - 8) (x - 2) (x - 5)$ 的因式。

$\frac{7 (x - 5)}{(x - 2) (x - 5) (x - 8)} + \frac{2 x (x - 2)}{(x - 8) (x - 5) (x - 2)}$

解题步骤 4.4

重新排序 $(x - 8) (x - 5) (x - 2)$ 的因式。

$\frac{7 (x - 5)}{(x - 2) (x - 5) (x - 8)} + \frac{2 x (x - 2)}{(x - 2) (x - 5) (x - 8)}$

解题步骤 5

在公分母上合并分子。

$\frac{7 (x - 5) + 2 x (x - 2)}{(x - 2) (x - 5) (x - 8)}$

解题步骤 6

化简分子。

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解题步骤 6.1

运用分配律。

$\frac{7 x + 7 \cdot - 5 + 2 x (x - 2)}{(x - 2) (x - 5) (x - 8)}$

解题步骤 6.2

将 $7$ 乘以 $- 5$ 。

$\frac{7 x - 35 + 2 x (x - 2)}{(x - 2) (x - 5) (x - 8)}$

解题步骤 6.3

运用分配律。

$\frac{7 x - 35 + 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 2}{(x - 2) (x - 5) (x - 8)}$

解题步骤 6.4

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 6.4.1

移动 $x$ 。

$\frac{7 x - 35 + 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 2}{(x - 2) (x - 5) (x - 8)}$

解题步骤 6.4.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{7 x - 35 + 2 x^{2} + 2 x \cdot - 2}{(x - 2) (x - 5) (x - 8)}$

解题步骤 6.5

将 $- 2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{7 x - 35 + 2 x^{2} - 4 x}{(x - 2) (x - 5) (x - 8)}$

解题步骤 6.6

从 $7 x$ 中减去 $4 x$ 。

$\frac{3 x - 35 + 2 x^{2}}{(x - 2) (x - 5) (x - 8)}$

解题步骤 6.7

重新排序项。

$\frac{2 x^{2} + 3 x - 35}{(x - 2) (x - 5) (x - 8)}$

解题步骤 6.8

分组因式分解。

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解题步骤 6.8.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = 2 \cdot - 35 = - 70$ 并且它们的和为 $b = 3$ 。

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解题步骤 6.8.1.1

从 $3 x$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{2 x^{2} + 3 (x) - 35}{(x - 2) (x - 5) (x - 8)}$

解题步骤 6.8.1.2

把 $3$ 重写为 $- 7$ 加 $10$

$\frac{2 x^{2} + (- 7 + 10) x - 35}{(x - 2) (x - 5) (x - 8)}$

解题步骤 6.8.1.3

运用分配律。

$\frac{2 x^{2} - 7 x + 10 x - 35}{(x - 2) (x - 5) (x - 8)}$

解题步骤 6.8.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 6.8.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$\frac{(2 x^{2} - 7 x) + 10 x - 35}{(x - 2) (x - 5) (x - 8)}$

解题步骤 6.8.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$\frac{x (2 x - 7) + 5 (2 x - 7)}{(x - 2) (x - 5) (x - 8)}$

解题步骤 6.8.3

通过因式分解出最大公因数 $2 x - 7$ 来因式分解多项式。

$\frac{(2 x - 7) (x + 5)}{(x - 2) (x - 5) (x - 8)}$

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