代数示例

$\sin (θ) \cot (θ) - \cos^{2} (θ) = 0$

解题步骤 1

以平方差的形式重写 $\sin (θ) \cot (θ) - \cos^{2} (θ)$ 。

${\sqrt{\cos (θ)}}^{2} - \cos^{2} (θ)$

解题步骤 2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = \sqrt{\cos (θ)}$ 和 $b = \cos (θ)$ 。

$(\sqrt{\cos (θ)} + \cos (θ)) (\sqrt{\cos (θ)} - \cos (θ))$

解题步骤 3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$\sqrt{\cos (θ)} + \cos (θ) = 0$

$\sqrt{\cos (θ)} - \cos (θ) = 0$

解题步骤 4

将 $\sqrt{\cos (θ)} + \cos (θ)$ 设为等于 $0$ 并求解 $θ$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1

将 $\sqrt{\cos (θ)} + \cos (θ)$ 设为等于 $0$ 。

$\sqrt{\cos (θ)} + \cos (θ) = 0$

解题步骤 4.2

求解 $θ$ 的 $\sqrt{\cos (θ)} + \cos (θ) = 0$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.1

从等式两边同时减去 $\cos (θ)$ 。

$\sqrt{\cos (θ)} = - \cos (θ)$

解题步骤 4.2.2

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行平方。

${\sqrt{\cos (θ)}}^{2} = {(- \cos (θ))}^{2}$

解题步骤 4.2.3

化简方程的两边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{\cos (θ)}$ 重写成 ${\cos (θ)}^{\frac{1}{2}}$ 。

${({\cos (θ)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- \cos (θ))}^{2}$

解题步骤 4.2.3.2

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.3.2.1

化简 ${({\cos (θ)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.3.2.1.1

将 ${({\cos (θ)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.3.2.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

${\cos (θ)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- \cos (θ))}^{2}$

解题步骤 4.2.3.2.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.3.2.1.1.2.1

约去公因数。

${\cos (θ)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- \cos (θ))}^{2}$

解题步骤 4.2.3.2.1.1.2.2

重写表达式。

$\cos^{1} (θ) = {(- \cos (θ))}^{2}$

解题步骤 4.2.3.2.1.2

化简。

$\cos (θ) = {(- \cos (θ))}^{2}$

解题步骤 4.2.3.3

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.3.3.1

化简 ${(- \cos (θ))}^{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.3.3.1.1

对 $- \cos (θ)$ 运用乘积法则。

$\cos (θ) = {(- 1)}^{2} \cos^{2} (θ)$

解题步骤 4.2.3.3.1.2

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$\cos (θ) = 1 \cos^{2} (θ)$

解题步骤 4.2.3.3.1.3

将 $\cos^{2} (θ)$ 乘以 $1$ 。

$\cos (θ) = \cos^{2} (θ)$

解题步骤 4.2.4

求解 $\cos (θ)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.4.1

从等式两边同时减去 $\cos^{2} (θ)$ 。

$\cos (θ) - \cos^{2} (θ) = 0$

解题步骤 4.2.4.2

对方程左边进行因式分解。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.4.2.1

使 $u = \cos (θ)$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $\cos (θ)$ 。

$u - u^{2} = 0$

解题步骤 4.2.4.2.2

从 $u - u^{2}$ 中分解出因数 $u$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.4.2.2.1

对 $u$ 进行 $1$ 次方运算。

$u - u^{2} = 0$

解题步骤 4.2.4.2.2.2

从 $u^{1}$ 中分解出因数 $u$ 。

$u \cdot 1 - u^{2} = 0$

解题步骤 4.2.4.2.2.3

从 $- u^{2}$ 中分解出因数 $u$ 。

$u \cdot 1 + u (- u) = 0$

解题步骤 4.2.4.2.2.4

从 $u \cdot 1 + u (- u)$ 中分解出因数 $u$ 。

$u (1 - u) = 0$

解题步骤 4.2.4.2.3

使用 $\cos (θ)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\cos (θ) (1 - \cos (θ)) = 0$

解题步骤 4.2.4.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$\cos (θ) = 0$

$1 - \cos (θ) = 0$

解题步骤 4.2.4.4

将 $\cos (θ)$ 设为等于 $0$ 。

$\cos (θ) = 0$

解题步骤 4.2.4.5

将 $1 - \cos (θ)$ 设为等于 $0$ 并求解 $\cos (θ)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.4.5.1

将 $1 - \cos (θ)$ 设为等于 $0$ 。

$1 - \cos (θ) = 0$

解题步骤 4.2.4.5.2

求解 $\cos (θ)$ 的 $1 - \cos (θ) = 0$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.4.5.2.1

从等式两边同时减去 $1$ 。

$- \cos (θ) = - 1$

解题步骤 4.2.4.5.2.2

将 $- \cos (θ) = - 1$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.4.5.2.2.1

将 $- \cos (θ) = - 1$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- \cos (θ)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

解题步骤 4.2.4.5.2.2.2

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.4.5.2.2.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{\cos (θ)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

解题步骤 4.2.4.5.2.2.2.2

用 $\cos (θ)$ 除以 $1$ 。

$\cos (θ) = \frac{- 1}{- 1}$

解题步骤 4.2.4.5.2.2.3

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.4.5.2.2.3.1

用 $- 1$ 除以 $- 1$ 。

$\cos (θ) = 1$

解题步骤 4.2.4.6

最终解为使 $\cos (θ) (1 - \cos (θ)) = 0$ 成立的所有值。

$\cos (θ) = 0, 1$

解题步骤 4.2.5

建立每一个解以求解 $θ$ 。

$\cos (θ) = 0$

$\cos (θ) = 1$

解题步骤 4.2.6

在 $\cos (θ) = 0$ 中求解 $θ$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.6.1

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $θ$ 。

$θ = \arccos (0)$

解题步骤 4.2.6.2

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.6.2.1

$\arccos (0)$ 的准确值为 $\frac{π}{2}$ 。

$θ = \frac{π}{2}$

解题步骤 4.2.6.3

余弦函数在第一象限和第四象限恒为正。要求第二个解，从 $2 π$ 中减去参考角即可求出第四象限中的解。

$θ = 2 π - \frac{π}{2}$

解题步骤 4.2.6.4

化简 $2 π - \frac{π}{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.6.4.1

要将 $2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$θ = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

解题步骤 4.2.6.4.2

合并分数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.6.4.2.1

组合 $2 π$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$θ = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

解题步骤 4.2.6.4.2.2

在公分母上合并分子。

$θ = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

解题步骤 4.2.6.4.3

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.6.4.3.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$θ = \frac{4 π - π}{2}$

解题步骤 4.2.6.4.3.2

从 $4 π$ 中减去 $π$ 。

$θ = \frac{3 π}{2}$

解题步骤 4.2.6.5

求 $\cos (θ)$ 的周期。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.6.5.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 4.2.6.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 4.2.6.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 4.2.6.5.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 4.2.6.6

$\cos (θ)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$θ = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 4.2.7

在 $\cos (θ) = 1$ 中求解 $θ$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.7.1

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $θ$ 。

$θ = \arccos (1)$

解题步骤 4.2.7.2

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.7.2.1

$\arccos (1)$ 的准确值为 $0$ 。

$θ = 0$

解题步骤 4.2.7.3

余弦函数在第一象限和第四象限恒为正。要求第二个解，从 $2 π$ 中减去参考角即可求出第四象限中的解。

$θ = 2 π - 0$

解题步骤 4.2.7.4

从 $2 π$ 中减去 $0$ 。

$θ = 2 π$

解题步骤 4.2.7.5

求 $\cos (θ)$ 的周期。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.7.5.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 4.2.7.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 4.2.7.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 4.2.7.5.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 4.2.7.6

$\cos (θ)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$θ = 2 π n, 2 π + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 4.2.8

列出所有解。

$θ = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, 2 π n, 2 π + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 4.2.9

合并解集。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.9.1

将 $\frac{π}{2} + 2 π n$ 和 $\frac{3 π}{2} + 2 π n$ 合并为 $\frac{π}{2} + π n$ 。

$θ = \frac{π}{2} + π n, 2 π n, 2 π + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 4.2.9.2

将 $2 π n$ 和 $2 π + 2 π n$ 合并为 $2 π n$ 。

$θ = \frac{π}{2} + π n, 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 5

最终解为使 $(\sqrt{\cos (θ)} + \cos (θ)) (\sqrt{\cos (θ)} - \cos (θ)) = 0$ 成立的所有值。

$θ = \frac{π}{2} + π n, 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

代数 示例

代数示例