代数示例

$2^{2 x} - 2^{x + 1} - 8 = 0$

解题步骤 1

将 $2^{x + 1}$ 重写为 $2^{x} \cdot 2^{1}$ 。

$2^{2 x} - (2^{x} \cdot 2) - 8 = 0$

解题步骤 2

将 $2^{2 x}$ 重写为乘方形式。

${(2^{x})}^{2} - (2^{x} \cdot 2) - 8 = 0$

解题步骤 3

去掉圆括号。

${(2^{x})}^{2} - 2^{x} \cdot 2 - 8 = 0$

解题步骤 4

代入 $u$ 替换 $2^{x}$ 。

$u^{2} - u \cdot 2 - 8 = 0$

解题步骤 5

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$u^{2} - 2 u - 8 = 0$

解题步骤 6

求解 $u$ 。

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解题步骤 6.1

使用 AC 法来对 $u^{2} - 2 u - 8$ 进行因式分解。

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解题步骤 6.1.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 8$ ，和为 $- 2$ 。

$- 4, 2$

解题步骤 6.1.2

使用这些整数书写分数形式。

$(u - 4) (u + 2) = 0$

$(u - 4) (u + 2) = 0$

解题步骤 6.2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$u - 4 = 0$

$u + 2 = 0$

解题步骤 6.3

将 $u - 4$ 设为等于 $0$ 并求解 $u$ 。

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解题步骤 6.3.1

将 $u - 4$ 设为等于 $0$ 。

$u - 4 = 0$

解题步骤 6.3.2

在等式两边都加上 $4$ 。

$u = 4$

$u = 4$

解题步骤 6.4

将 $u + 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $u$ 。

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解题步骤 6.4.1

将 $u + 2$ 设为等于 $0$ 。

$u + 2 = 0$

解题步骤 6.4.2

从等式两边同时减去 $2$ 。

$u = - 2$

$u = - 2$

解题步骤 6.5

最终解为使 $(u - 4) (u + 2) = 0$ 成立的所有值。

$u = 4, - 2$

$u = 4, - 2$

解题步骤 7

代入 $4$ 替换 $u = 2^{x}$ 中的 $u$ 。

$4 = 2^{x}$

解题步骤 8

求解 $4 = 2^{x}$ 。

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解题步骤 8.1

将方程重写为 $2^{x} = 4$ 。

$2^{x} = 4$

解题步骤 8.2

在方程中创建底数相同的对等表达式。

$2^{x} = 2^{2}$

解题步骤 8.3

因为底相同，所以两个表达式仅当指数也相等时才会相等。

$x = 2$

$x = 2$

解题步骤 9

代入 $- 2$ 替换 $u = 2^{x}$ 中的 $u$ 。

$- 2 = 2^{x}$

解题步骤 10

求解 $- 2 = 2^{x}$ 。

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解题步骤 10.1

将方程重写为 $2^{x} = - 2$ 。

$2^{x} = - 2$

解题步骤 10.2

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (2^{x}) = \ln (- 2)$

解题步骤 10.3

因为 $\ln (- 2)$ 无意义，所以方程无解。

无定义

解题步骤 10.4

$2^{x} = - 2$ 无解

无解

无解

解题步骤 11

列出使方程成立的解。

$x = 2$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$