代数示例

$f (x) = 2 {(x)}^{2} + 5 \sqrt{x + 2}$

解题步骤 1

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分, 可以求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 2

将单个积分拆分为多个积分。

$\int 2 x^{2} d x + \int 5 \sqrt{x + 2} d x$

解题步骤 3

由于 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $2$ 移到积分外。

$2 \int x^{2} d x + \int 5 \sqrt{x + 2} d x$

解题步骤 4

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$2 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int 5 \sqrt{x + 2} d x$

解题步骤 5

由于 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $5$ 移到积分外。

$2 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 5 \int \sqrt{x + 2} d x$

解题步骤 6

使 $u = x + 2$ 。然后使 $d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 6.1

设 $u = x + 2$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 6.1.1

对 $x + 2$ 求导。

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

解题步骤 6.1.2

根据加法法则， $x + 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ 。

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 6.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 6.1.4

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$1 + 0$

解题步骤 6.1.5

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$1$

解题步骤 6.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$2 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 5 \int \sqrt{u} d u$

解题步骤 7

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{u}$ 重写成 $u^{\frac{1}{2}}$ 。

$2 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 5 \int u^{\frac{1}{2}} d u$

解题步骤 8

根据幂法则， $u^{\frac{1}{2}}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ 。

$2 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 5 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

解题步骤 9

化简。

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解题步骤 9.1

化简。

$2 (\frac{1}{3}) x^{3} + 5 (\frac{2}{3}) u^{\frac{3}{2}} + C$

解题步骤 9.2

化简。

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解题步骤 9.2.1

组合 $2$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$\frac{2}{3} x^{3} + 5 (\frac{2}{3}) u^{\frac{3}{2}} + C$

解题步骤 9.2.2

组合 $5$ 和 $\frac{2}{3}$ 。

$\frac{2}{3} x^{3} + \frac{5 \cdot 2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

解题步骤 9.2.3

将 $5$ 乘以 $2$ 。

$\frac{2}{3} x^{3} + \frac{10}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

解题步骤 10

使用 $x + 2$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{2}{3} x^{3} + \frac{10}{3} {(x + 2)}^{\frac{3}{2}} + C$

解题步骤 11

函数 $F$ 由函数导数的积分导出。根据微积分基本定理，这是有效的。

$F (x) = \frac{2}{3} x^{3} + \frac{10}{3} \cdot {(x + 2)}^{\frac{3}{2}} + C$

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