代数示例

$4^{3 x + 2} = (x - 5) \cdot 8^{2 x}$

解题步骤 1

取方程两边的对数。

$\ln (4^{3 x + 2}) = \ln ((x - 5) \cdot 8^{2 x})$

解题步骤 2

通过将 $3 x + 2$ 移到对数外来展开 $\ln (4^{3 x + 2})$ 。

$(3 x + 2) \ln (4) = \ln ((x - 5) \cdot 8^{2 x})$

解题步骤 3

将 $\ln ((x - 5) \cdot 8^{2 x})$ 重写为 $\ln (x - 5) + \ln (8^{2 x})$ 。

$(3 x + 2) \ln (4) = \ln (x - 5) + \ln (8^{2 x})$

解题步骤 4

通过将 $2 x$ 移到对数外来展开 $\ln (8^{2 x})$ 。

$(3 x + 2) \ln (4) = \ln (x - 5) + 2 x \ln (8)$

解题步骤 5

求解 $x$ 的方程。

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解题步骤 5.1

化简左边。

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解题步骤 5.1.1

化简 $(3 x + 2) \ln (4)$ 。

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解题步骤 5.1.1.1

运用分配律。

$3 x \ln (4) + 2 \ln (4) = \ln (x - 5) + 2 x \ln (8)$

解题步骤 5.1.1.2

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $3 \ln (4)$ 。

$x \ln (4^{3}) + 2 \ln (4) = \ln (x - 5) + 2 x \ln (8)$

解题步骤 5.1.1.3

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $2 \ln (4)$ 。

$x \ln (4^{3}) + \ln (4^{2}) = \ln (x - 5) + 2 x \ln (8)$

解题步骤 5.1.1.4

化简每一项。

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解题步骤 5.1.1.4.1

对 $4$ 进行 $3$ 次方运算。

$x \ln (64) + \ln (4^{2}) = \ln (x - 5) + 2 x \ln (8)$

解题步骤 5.1.1.4.2

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$x \ln (64) + \ln (16) = \ln (x - 5) + 2 x \ln (8)$

解题步骤 5.2

化简右边。

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解题步骤 5.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.1.1

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $2 \ln (8)$ 。

$x \ln (64) + \ln (16) = \ln (x - 5) + x \ln (8^{2})$

解题步骤 5.2.1.2

对 $8$ 进行 $2$ 次方运算。

$x \ln (64) + \ln (16) = \ln (x - 5) + x \ln (64)$

解题步骤 5.3

将所有包含对数的项移到等式左边。

$x \ln (64) + \ln (16) - \ln (x - 5) - x \ln (64) = 0$

解题步骤 5.4

合并 $x \ln (64) + \ln (16) - \ln (x - 5) - x \ln (64)$ 中相反的项。

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解题步骤 5.4.1

从 $x \ln (64)$ 中减去 $x \ln (64)$ 。

$0 + \ln (16) - \ln (x - 5) = 0$

解题步骤 5.4.2

将 $0$ 和 $\ln (16)$ 相加。

$\ln (16) - \ln (x - 5) = 0$

解题步骤 5.5

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$\ln (\frac{16}{x - 5}) = 0$

解题步骤 5.6

要求解 $x$ ，请利用对数的性质重写方程。

$e^{\ln (\frac{16}{x - 5})} = e^{0}$

解题步骤 5.7

使用对数的定义将 $\ln (\frac{16}{x - 5}) = 0$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$e^{0} = \frac{16}{x - 5}$

解题步骤 5.8

求解 $x$ 。

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解题步骤 5.8.1

将方程重写为 $\frac{16}{x - 5} = e^{0}$ 。

$\frac{16}{x - 5} = e^{0}$

解题步骤 5.8.2

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$\frac{16}{x - 5} = 1$

解题步骤 5.8.3

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

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解题步骤 5.8.3.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

$x - 5, 1$

解题步骤 5.8.3.2

去掉圆括号。

$x - 5, 1$

解题步骤 5.8.3.3

1 和任何表达式的最小公倍数就是该表达式。

$x - 5$

解题步骤 5.8.4

将 $\frac{16}{x - 5} = 1$ 中的每一项乘以 $x - 5$ 以消去分数。

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解题步骤 5.8.4.1

将 $\frac{16}{x - 5} = 1$ 中的每一项乘以 $x - 5$ 。

$\frac{16}{x - 5} (x - 5) = 1 (x - 5)$

解题步骤 5.8.4.2

化简左边。

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解题步骤 5.8.4.2.1

约去 $x - 5$ 的公因数。

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解题步骤 5.8.4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{16}{x - 5} (x - 5) = 1 (x - 5)$

解题步骤 5.8.4.2.1.2

重写表达式。

$16 = 1 (x - 5)$

解题步骤 5.8.4.3

化简右边。

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解题步骤 5.8.4.3.1

将 $x - 5$ 乘以 $1$ 。

$16 = x - 5$

解题步骤 5.8.5

求解方程。

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解题步骤 5.8.5.1

将方程重写为 $x - 5 = 16$ 。

$x - 5 = 16$

解题步骤 5.8.5.2

将所有不包含 $x$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 5.8.5.2.1

在等式两边都加上 $5$ 。

$x = 16 + 5$

解题步骤 5.8.5.2.2

将 $16$ 和 $5$ 相加。

$x = 21$

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