代数示例

$f (x) = 500 (0.04 - x^{2})$

解题步骤 1

将 $f (x) = 500 (0.04 - x^{2})$ 写为等式。

$y = 500 (0.04 - x^{2})$

解题步骤 2

交换变量。

$x = 500 (0.04 - y^{2})$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

将方程重写为 $500 (0.04 - y^{2}) = x$ 。

$500 (0.04 - y^{2}) = x$

解题步骤 3.2

将 $500 (0.04 - y^{2}) = x$ 中的每一项除以 $500$ 并化简。

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解题步骤 3.2.1

将 $500 (0.04 - y^{2}) = x$ 中的每一项都除以 $500$ 。

$\frac{500 (0.04 - y^{2})}{500} = \frac{x}{500}$

解题步骤 3.2.2

化简左边。

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解题步骤 3.2.2.1

约去 $500$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{500 (0.04 - y^{2})}{500} = \frac{x}{500}$

解题步骤 3.2.2.1.2

用 $0.04 - y^{2}$ 除以 $1$ 。

$0.04 - y^{2} = \frac{x}{500}$

解题步骤 3.3

从等式两边同时减去 $0.04$ 。

$- y^{2} = \frac{x}{500} - 0.04$

解题步骤 3.4

将 $- y^{2} = \frac{x}{500} - 0.04$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 3.4.1

将 $- y^{2} = \frac{x}{500} - 0.04$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- y^{2}}{- 1} = \frac{\frac{x}{500}}{- 1} + \frac{- 0.04}{- 1}$

解题步骤 3.4.2

化简左边。

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解题步骤 3.4.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{y^{2}}{1} = \frac{\frac{x}{500}}{- 1} + \frac{- 0.04}{- 1}$

解题步骤 3.4.2.2

用 $y^{2}$ 除以 $1$ 。

$y^{2} = \frac{\frac{x}{500}}{- 1} + \frac{- 0.04}{- 1}$

解题步骤 3.4.3

化简右边。

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解题步骤 3.4.3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.4.3.1.1

移动 $\frac{\frac{x}{500}}{- 1}$ 中分母的负号。

$y^{2} = - 1 \cdot \frac{x}{500} + \frac{- 0.04}{- 1}$

解题步骤 3.4.3.1.2

将 $- 1 \cdot \frac{x}{500}$ 重写为 $- \frac{x}{500}$ 。

$y^{2} = - \frac{x}{500} + \frac{- 0.04}{- 1}$

解题步骤 3.4.3.1.3

用 $- 0.04$ 除以 $- 1$ 。

$y^{2} = - \frac{x}{500} + 0.04$

解题步骤 3.5

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$y = \pm \sqrt{- \frac{x}{500} + 0.04}$

解题步骤 3.6

化简 $\pm \sqrt{- \frac{x}{500} + 0.04}$ 。

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解题步骤 3.6.1

要将 $0.04$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{500}{500}$ 。

$y = \pm \sqrt{- \frac{x}{500} + 0.04 \cdot \frac{500}{500}}$

解题步骤 3.6.2

化简项。

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解题步骤 3.6.2.1

组合 $0.04$ 和 $\frac{500}{500}$ 。

$y = \pm \sqrt{- \frac{x}{500} + \frac{0.04 \cdot 500}{500}}$

解题步骤 3.6.2.2

在公分母上合并分子。

$y = \pm \sqrt{\frac{- x + 0.04 \cdot 500}{500}}$

解题步骤 3.6.3

化简分子。

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解题步骤 3.6.3.1

从 $- x + 0.04 \cdot 500$ 中分解出因数 $0.04$ 。

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解题步骤 3.6.3.1.1

从 $- x$ 中分解出因数 $0.04$ 。

$y = \pm \sqrt{\frac{0.04 (- 25 x) + 0.04 \cdot 500}{500}}$

解题步骤 3.6.3.1.2

从 $0.04 \cdot 500$ 中分解出因数 $0.04$ 。

$y = \pm \sqrt{\frac{0.04 (- 25 x) + 0.04 (500)}{500}}$

解题步骤 3.6.3.1.3

从 $0.04 (- 25 x) + 0.04 (500)$ 中分解出因数 $0.04$ 。

$y = \pm \sqrt{\frac{0.04 (- 25 x + 500)}{500}}$

解题步骤 3.6.3.2

从 $- 25 x + 500$ 中分解出因数 $25$ 。

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解题步骤 3.6.3.2.1

从 $- 25 x$ 中分解出因数 $25$ 。

$y = \pm \sqrt{\frac{0.04 (25 (- x) + 500)}{500}}$

解题步骤 3.6.3.2.2

从 $500$ 中分解出因数 $25$ 。

$y = \pm \sqrt{\frac{0.04 (25 (- x) + 25 (20))}{500}}$

解题步骤 3.6.3.2.3

从 $25 (- x) + 25 (20)$ 中分解出因数 $25$ 。

$y = \pm \sqrt{\frac{0.04 (25 (- x + 20))}{500}}$

$y = \pm \sqrt{\frac{0.04 \cdot 25 (- x + 20)}{500}}$

解题步骤 3.6.3.3

合并指数。

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解题步骤 3.6.3.3.1

将 $0.04$ 乘以 $25$ 。

$y = \pm \sqrt{\frac{1 (- x + 20)}{500}}$

解题步骤 3.6.3.3.2

将 $- x + 20$ 乘以 $1$ 。

$y = \pm \sqrt{\frac{- x + 20}{500}}$

解题步骤 3.6.4

将 $\frac{- x + 20}{500}$ 重写为 ${(\frac{1}{10})}^{2} \frac{- x + 20}{5}$ 。

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解题步骤 3.6.4.1

从 $- x + 20$ 中因式分解出完全幂数 $1^{2}$ 。

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (- x + 20)}{500}}$

解题步骤 3.6.4.2

从 $500$ 中因式分解出完全幂数 $10^{2}$ 。

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (- x + 20)}{10^{2} \cdot 5}}$

解题步骤 3.6.4.3

重新整理分数 $\frac{1^{2} (- x + 20)}{10^{2} \cdot 5}$ 。

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{10})}^{2} \frac{- x + 20}{5}}$

解题步骤 3.6.5

从根式下提出各项。

$y = \pm \frac{1}{10} \sqrt{\frac{- x + 20}{5}}$

解题步骤 3.6.6

将 $\sqrt{\frac{- x + 20}{5}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{- x + 20}}{\sqrt{5}}$ 。

$y = \pm \frac{1}{10} \cdot \frac{\sqrt{- x + 20}}{\sqrt{5}}$

解题步骤 3.6.7

将 $\frac{\sqrt{- x + 20}}{\sqrt{5}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ 。

$y = \pm \frac{1}{10} (\frac{\sqrt{- x + 20}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}})$

解题步骤 3.6.8

合并和化简分母。

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解题步骤 3.6.8.1

将 $\frac{\sqrt{- x + 20}}{\sqrt{5}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ 。

$y = \pm \frac{1}{10} \cdot \frac{\sqrt{- x + 20} \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

解题步骤 3.6.8.2

对 $\sqrt{5}$ 进行 $1$ 次方运算。

$y = \pm \frac{1}{10} \cdot \frac{\sqrt{- x + 20} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

解题步骤 3.6.8.3

对 $\sqrt{5}$ 进行 $1$ 次方运算。

$y = \pm \frac{1}{10} \cdot \frac{\sqrt{- x + 20} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

解题步骤 3.6.8.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y = \pm \frac{1}{10} \cdot \frac{\sqrt{- x + 20} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

解题步骤 3.6.8.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$y = \pm \frac{1}{10} \cdot \frac{\sqrt{- x + 20} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

解题步骤 3.6.8.6

将 ${\sqrt{5}}^{2}$ 重写为 $5$ 。

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解题步骤 3.6.8.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{5}$ 重写成 $5^{\frac{1}{2}}$ 。

$y = \pm \frac{1}{10} \cdot \frac{\sqrt{- x + 20} \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 3.6.8.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$y = \pm \frac{1}{10} \cdot \frac{\sqrt{- x + 20} \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 3.6.8.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$y = \pm \frac{1}{10} \cdot \frac{\sqrt{- x + 20} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 3.6.8.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.6.8.6.4.1

约去公因数。

$y = \pm \frac{1}{10} \cdot \frac{\sqrt{- x + 20} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 3.6.8.6.4.2

重写表达式。

$y = \pm \frac{1}{10} \cdot \frac{\sqrt{- x + 20} \sqrt{5}}{5^{1}}$

解题步骤 3.6.8.6.5

计算指数。

$y = \pm \frac{1}{10} \cdot \frac{\sqrt{- x + 20} \sqrt{5}}{5}$

解题步骤 3.6.9

使用根数乘积法则进行合并。

$y = \pm \frac{1}{10} \cdot \frac{\sqrt{(- x + 20) \cdot 5}}{5}$

解题步骤 3.6.10

乘以 $\frac{1}{10} \cdot \frac{\sqrt{(- x + 20) \cdot 5}}{5}$ 。

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解题步骤 3.6.10.1

将 $\frac{1}{10}$ 乘以 $\frac{\sqrt{(- x + 20) \cdot 5}}{5}$ 。

$y = \pm \frac{\sqrt{(- x + 20) \cdot 5}}{10 \cdot 5}$

解题步骤 3.6.10.2

将 $10$ 乘以 $5$ 。

$y = \pm \frac{\sqrt{(- x + 20) \cdot 5}}{50}$

解题步骤 3.6.11

将 $\pm \frac{\sqrt{(- x + 20) \cdot 5}}{50}$ 中的因式重新排序。

$y = \pm \frac{\sqrt{5 (- x + 20)}}{50}$

解题步骤 3.7

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 3.7.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$y = \frac{\sqrt{5 (- x + 20)}}{50}$

解题步骤 3.7.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$y = - \frac{\sqrt{5 (- x + 20)}}{50}$

解题步骤 3.7.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$y = \frac{\sqrt{5 (- x + 20)}}{50}$

$y = - \frac{\sqrt{5 (- x + 20)}}{50}$

$y = \frac{\sqrt{5 (- x + 20)}}{50}$

$y = - \frac{\sqrt{5 (- x + 20)}}{50}$

$y = \frac{\sqrt{5 (- x + 20)}}{50}$

$y = - \frac{\sqrt{5 (- x + 20)}}{50}$

解题步骤 4

使用 $f^{- 1} (x)$ 替换 $y$ ，以得到最终答案。

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{5 (- x + 20)}}{50}, - \frac{\sqrt{5 (- x + 20)}}{50}$

解题步骤 5

验证 $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{5 (- x + 20)}}{50}, - \frac{\sqrt{5 (- x + 20)}}{50}$ 是否为 $f (x) = 500 (0.04 - x^{2})$ 的反函数。

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解题步骤 5.1

反函数的值域为原函数的定义域，反之亦然。求 $f (x) = 500 (0.04 - x^{2})$ 和 $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{5 (- x + 20)}}{50}, - \frac{\sqrt{5 (- x + 20)}}{50}$ 的值域及定义域，并将结果进行比较。

解题步骤 5.2

求 $f (x) = 500 (0.04 - x^{2})$ 的值域。

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解题步骤 5.2.1

值域为全部有效 $y$ 值的集合。可使用图像找出值域。

区间计数法：

$(- \infty, 20]$

解题步骤 5.3

求 $\frac{\sqrt{5 (- x + 20)}}{50}$ 的定义域。

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解题步骤 5.3.1

将 $\sqrt{5 (- x + 20)}$ 的被开方数设为大于或等于 $0$ ，以求使表达式有意义的区间。

$5 (- x + 20) \geq 0$

解题步骤 5.3.2

求解 $x$ 。

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解题步骤 5.3.2.1

将 $5 (- x + 20) \geq 0$ 中的每一项除以 $5$ 并化简。

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解题步骤 5.3.2.1.1

将 $5 (- x + 20) \geq 0$ 中的每一项都除以 $5$ 。

$\frac{5 (- x + 20)}{5} \geq \frac{0}{5}$

解题步骤 5.3.2.1.2

化简左边。

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解题步骤 5.3.2.1.2.1

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.2.1.2.1.1

约去公因数。

$\frac{5 (- x + 20)}{5} \geq \frac{0}{5}$

解题步骤 5.3.2.1.2.1.2

用 $- x + 20$ 除以 $1$ 。

$- x + 20 \geq \frac{0}{5}$

解题步骤 5.3.2.1.3

化简右边。

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解题步骤 5.3.2.1.3.1

用 $0$ 除以 $5$ 。

$- x + 20 \geq 0$

解题步骤 5.3.2.2

从不等式两边同时减去 $20$ 。

$- x \geq - 20$

解题步骤 5.3.2.3

将 $- x \geq - 20$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 5.3.2.3.1

将 $- x \geq - 20$ 中的每一项除以 $- 1$ 。当不等式两边同时乘以或除以一个负数时，应改变不等号的方向。

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{- 20}{- 1}$

解题步骤 5.3.2.3.2

化简左边。

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解题步骤 5.3.2.3.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{x}{1} \leq \frac{- 20}{- 1}$

解题步骤 5.3.2.3.2.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x \leq \frac{- 20}{- 1}$

解题步骤 5.3.2.3.3

化简右边。

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解题步骤 5.3.2.3.3.1

用 $- 20$ 除以 $- 1$ 。

$x \leq 20$

解题步骤 5.3.3

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

$(- \infty, 20]$

解题步骤 5.4

因为 $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{5 (- x + 20)}}{50}, - \frac{\sqrt{5 (- x + 20)}}{50}$ 的定义域并不等于 $f (x) = 500 (0.04 - x^{2})$ 的值域，所以 $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{5 (- x + 20)}}{50}, - \frac{\sqrt{5 (- x + 20)}}{50}$ 并非 $f (x) = 500 (0.04 - x^{2})$ 的反函数。

不存在反函数

解题步骤 6

代数 示例

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