代数示例

$f (x) = {(\frac{x^{5}}{10})}^{\frac{1}{7}}$

解题步骤 1

将 $f (x) = {(\frac{x^{5}}{10})}^{\frac{1}{7}}$ 写为等式。

$y = {(\frac{x^{5}}{10})}^{\frac{1}{7}}$

解题步骤 2

交换变量。

$x = {(\frac{y^{5}}{10})}^{\frac{1}{7}}$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

将方程重写为 ${(\frac{y^{5}}{10})}^{\frac{1}{7}} = x$ 。

${(\frac{y^{5}}{10})}^{\frac{1}{7}} = x$

解题步骤 3.2

将方程两边同时进行 $7$ 次方运算以消去左边的分数指数。

${({(\frac{y^{5}}{10})}^{\frac{1}{7}})}^{7} = x^{7}$

解题步骤 3.3

化简左边。

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解题步骤 3.3.1

化简 ${({(\frac{y^{5}}{10})}^{\frac{1}{7}})}^{7}$ 。

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解题步骤 3.3.1.1

将 ${({(\frac{y^{5}}{10})}^{\frac{1}{7}})}^{7}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.3.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

${(\frac{y^{5}}{10})}^{\frac{1}{7} \cdot 7} = x^{7}$

解题步骤 3.3.1.1.2

约去 $7$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.1.1.2.1

约去公因数。

${(\frac{y^{5}}{10})}^{\frac{1}{7} \cdot 7} = x^{7}$

解题步骤 3.3.1.1.2.2

重写表达式。

${(\frac{y^{5}}{10})}^{1} = x^{7}$

解题步骤 3.3.1.2

化简。

$\frac{y^{5}}{10} = x^{7}$

解题步骤 3.4

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.4.1

等式两边同时乘以 $10$ 。

$10 \frac{y^{5}}{10} = 10 x^{7}$

解题步骤 3.4.2

化简左边。

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解题步骤 3.4.2.1

约去 $10$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.2.1.1

约去公因数。

$10 \frac{y^{5}}{10} = 10 x^{7}$

解题步骤 3.4.2.1.2

重写表达式。

$y^{5} = 10 x^{7}$

解题步骤 3.4.3

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$y = \sqrt[5]{10 x^{7}}$

解题步骤 3.4.4

化简 $\sqrt[5]{10 x^{7}}$ 。

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解题步骤 3.4.4.1

将 $10 x^{7}$ 重写为 $x^{5} \cdot (10 x^{2})$ 。

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解题步骤 3.4.4.1.1

因式分解出 $x^{5}$ 。

$y = \sqrt[5]{10 (x^{5} x^{2})}$

解题步骤 3.4.4.1.2

将 $10$ 和 $x^{5}$ 重新排序。

$y = \sqrt[5]{x^{5} \cdot 10 x^{2}}$

解题步骤 3.4.4.1.3

添加圆括号。

$y = \sqrt[5]{x^{5} \cdot (10 x^{2})}$

解题步骤 3.4.4.2

从根式下提出各项。

$y = x \sqrt[5]{10 x^{2}}$

解题步骤 4

使用 $f^{- 1} (x)$ 替换 $y$ ，以得到最终答案。

$f^{- 1} (x) = x \sqrt[5]{10 x^{2}}$

解题步骤 5

验证 $f^{- 1} (x) = x \sqrt[5]{10 x^{2}}$ 是否为 $f (x) = {(\frac{x^{5}}{10})}^{\frac{1}{7}}$ 的反函数。

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解题步骤 5.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 5.2

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

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解题步骤 5.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 5.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} ({(\frac{x^{5}}{10})}^{\frac{1}{7}})$ 。

$f^{- 1} ({(\frac{x^{5}}{10})}^{\frac{1}{7}}) = ({(\frac{x^{5}}{10})}^{\frac{1}{7}}) \sqrt[5]{10 {({(\frac{x^{5}}{10})}^{\frac{1}{7}})}^{2}}$

解题步骤 5.2.3

应用指数的基本规则。

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解题步骤 5.2.3.1

对 $\frac{x^{5}}{10}$ 运用乘积法则。

$f^{- 1} ({(\frac{x^{5}}{10})}^{\frac{1}{7}}) = \frac{{(x^{5})}^{\frac{1}{7}}}{10^{\frac{1}{7}}} \cdot \sqrt[5]{10 {({(\frac{x^{5}}{10})}^{\frac{1}{7}})}^{2}}$

解题步骤 5.2.3.2

将 ${(x^{5})}^{\frac{1}{7}}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 5.2.3.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f^{- 1} ({(\frac{x^{5}}{10})}^{\frac{1}{7}}) = \frac{x^{5 (\frac{1}{7})}}{10^{\frac{1}{7}}} \cdot \sqrt[5]{10 {({(\frac{x^{5}}{10})}^{\frac{1}{7}})}^{2}}$

解题步骤 5.2.3.2.2

组合 $5$ 和 $\frac{1}{7}$ 。

$f^{- 1} ({(\frac{x^{5}}{10})}^{\frac{1}{7}}) = \frac{x^{\frac{5}{7}}}{10^{\frac{1}{7}}} \cdot \sqrt[5]{10 {({(\frac{x^{5}}{10})}^{\frac{1}{7}})}^{2}}$

解题步骤 5.2.3.3

将 ${({(\frac{x^{5}}{10})}^{\frac{1}{7}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 5.2.3.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f^{- 1} ({(\frac{x^{5}}{10})}^{\frac{1}{7}}) = \frac{x^{\frac{5}{7}}}{10^{\frac{1}{7}}} \cdot \sqrt[5]{10 {(\frac{x^{5}}{10})}^{\frac{1}{7} \cdot 2}}$

解题步骤 5.2.3.3.2

组合 $\frac{1}{7}$ 和 $2$ 。

$f^{- 1} ({(\frac{x^{5}}{10})}^{\frac{1}{7}}) = \frac{x^{\frac{5}{7}}}{10^{\frac{1}{7}}} \cdot \sqrt[5]{10 {(\frac{x^{5}}{10})}^{\frac{2}{7}}}$

解题步骤 5.2.3.4

对 $\frac{x^{5}}{10}$ 运用乘积法则。

$f^{- 1} ({(\frac{x^{5}}{10})}^{\frac{1}{7}}) = \frac{x^{\frac{5}{7}}}{10^{\frac{1}{7}}} \cdot \sqrt[5]{10 (\frac{{(x^{5})}^{\frac{2}{7}}}{10^{\frac{2}{7}}})}$

解题步骤 5.2.3.5

将 ${(x^{5})}^{\frac{2}{7}}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 5.2.3.5.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f^{- 1} ({(\frac{x^{5}}{10})}^{\frac{1}{7}}) = \frac{x^{\frac{5}{7}}}{10^{\frac{1}{7}}} \cdot \sqrt[5]{10 (\frac{x^{5 (\frac{2}{7})}}{10^{\frac{2}{7}}})}$

解题步骤 5.2.3.5.2

乘以 $5 (\frac{2}{7})$ 。

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解题步骤 5.2.3.5.2.1

组合 $5$ 和 $\frac{2}{7}$ 。

$f^{- 1} ({(\frac{x^{5}}{10})}^{\frac{1}{7}}) = \frac{x^{\frac{5}{7}}}{10^{\frac{1}{7}}} \cdot \sqrt[5]{10 (\frac{x^{\frac{5 \cdot 2}{7}}}{10^{\frac{2}{7}}})}$

解题步骤 5.2.3.5.2.2

将 $5$ 乘以 $2$ 。

$f^{- 1} ({(\frac{x^{5}}{10})}^{\frac{1}{7}}) = \frac{x^{\frac{5}{7}}}{10^{\frac{1}{7}}} \cdot \sqrt[5]{10 (\frac{x^{\frac{10}{7}}}{10^{\frac{2}{7}}})}$

解题步骤 5.2.4

组合 $10$ 和 $\frac{x^{\frac{10}{7}}}{10^{\frac{2}{7}}}$ 。

$f^{- 1} ({(\frac{x^{5}}{10})}^{\frac{1}{7}}) = \frac{x^{\frac{5}{7}}}{10^{\frac{1}{7}}} \cdot \sqrt[5]{\frac{10 x^{\frac{10}{7}}}{10^{\frac{2}{7}}}}$

解题步骤 5.2.5

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 5.2.5.1

使用负指数规则 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ 将 $10^{\frac{2}{7}}$ 移动到分子。

$f^{- 1} ({(\frac{x^{5}}{10})}^{\frac{1}{7}}) = \frac{x^{\frac{5}{7}}}{10^{\frac{1}{7}}} \cdot \sqrt[5]{10 x^{\frac{10}{7}} \cdot 10^{- \frac{2}{7}}}$

解题步骤 5.2.5.2

通过指数相加将 $10$ 乘以 $10^{- \frac{2}{7}}$ 。

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解题步骤 5.2.5.2.1

移动 $10^{- \frac{2}{7}}$ 。

$f^{- 1} ({(\frac{x^{5}}{10})}^{\frac{1}{7}}) = \frac{x^{\frac{5}{7}}}{10^{\frac{1}{7}}} \cdot \sqrt[5]{10^{- \frac{2}{7}} \cdot (10 x^{\frac{10}{7}})}$

解题步骤 5.2.5.2.2

将 $10^{- \frac{2}{7}}$ 乘以 $10$ 。

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解题步骤 5.2.5.2.2.1

对 $10$ 进行 $1$ 次方运算。

$f^{- 1} ({(\frac{x^{5}}{10})}^{\frac{1}{7}}) = \frac{x^{\frac{5}{7}}}{10^{\frac{1}{7}}} \cdot \sqrt[5]{10^{- \frac{2}{7}} \cdot (10 x^{\frac{10}{7}})}$

解题步骤 5.2.5.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f^{- 1} ({(\frac{x^{5}}{10})}^{\frac{1}{7}}) = \frac{x^{\frac{5}{7}}}{10^{\frac{1}{7}}} \cdot \sqrt[5]{10^{- \frac{2}{7} + 1} x^{\frac{10}{7}}}$

解题步骤 5.2.5.2.3

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$f^{- 1} ({(\frac{x^{5}}{10})}^{\frac{1}{7}}) = \frac{x^{\frac{5}{7}}}{10^{\frac{1}{7}}} \cdot \sqrt[5]{10^{- \frac{2}{7} + \frac{7}{7}} x^{\frac{10}{7}}}$

解题步骤 5.2.5.2.4

在公分母上合并分子。

$f^{- 1} ({(\frac{x^{5}}{10})}^{\frac{1}{7}}) = \frac{x^{\frac{5}{7}}}{10^{\frac{1}{7}}} \cdot \sqrt[5]{10^{\frac{- 2 + 7}{7}} x^{\frac{10}{7}}}$

解题步骤 5.2.5.2.5

将 $- 2$ 和 $7$ 相加。

$f^{- 1} ({(\frac{x^{5}}{10})}^{\frac{1}{7}}) = \frac{x^{\frac{5}{7}}}{10^{\frac{1}{7}}} \cdot \sqrt[5]{10^{\frac{5}{7}} x^{\frac{10}{7}}}$

解题步骤 5.2.6

将 $10^{\frac{5}{7}} x^{\frac{10}{7}}$ 重写为 ${(10^{\frac{1}{7}} x^{\frac{2}{7}})}^{5}$ 。

$f^{- 1} ({(\frac{x^{5}}{10})}^{\frac{1}{7}}) = \frac{x^{\frac{5}{7}}}{10^{\frac{1}{7}}} \cdot \sqrt[5]{{(10^{\frac{1}{7}} x^{\frac{2}{7}})}^{5}}$

解题步骤 5.2.7

假设各项均为实数，将其从根式下提取出来。

$f^{- 1} ({(\frac{x^{5}}{10})}^{\frac{1}{7}}) = \frac{x^{\frac{5}{7}}}{10^{\frac{1}{7}}} \cdot (10^{\frac{1}{7}} x^{\frac{2}{7}})$

解题步骤 5.2.8

使用乘法的交换性质重写。

$f^{- 1} ({(\frac{x^{5}}{10})}^{\frac{1}{7}}) = 10^{\frac{1}{7}} (\frac{x^{\frac{5}{7}}}{10^{\frac{1}{7}}}) \cdot x^{\frac{2}{7}}$

解题步骤 5.2.9

约去 $10^{\frac{1}{7}}$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.9.1

约去公因数。

$f^{- 1} ({(\frac{x^{5}}{10})}^{\frac{1}{7}}) = 10^{\frac{1}{7}} (\frac{x^{\frac{5}{7}}}{10^{\frac{1}{7}}}) \cdot x^{\frac{2}{7}}$

解题步骤 5.2.9.2

重写表达式。

$f^{- 1} ({(\frac{x^{5}}{10})}^{\frac{1}{7}}) = x^{\frac{5}{7}} x^{\frac{2}{7}}$

解题步骤 5.2.10

通过指数相加将 $x^{\frac{5}{7}}$ 乘以 $x^{\frac{2}{7}}$ 。

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解题步骤 5.2.10.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f^{- 1} ({(\frac{x^{5}}{10})}^{\frac{1}{7}}) = x^{\frac{5}{7} + \frac{2}{7}}$

解题步骤 5.2.10.2

在公分母上合并分子。

$f^{- 1} ({(\frac{x^{5}}{10})}^{\frac{1}{7}}) = x^{\frac{5 + 2}{7}}$

解题步骤 5.2.10.3

将 $5$ 和 $2$ 相加。

$f^{- 1} ({(\frac{x^{5}}{10})}^{\frac{1}{7}}) = x^{\frac{7}{7}}$

解题步骤 5.2.10.4

用 $7$ 除以 $7$ 。

$f^{- 1} ({(\frac{x^{5}}{10})}^{\frac{1}{7}}) = x$

解题步骤 5.3

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

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解题步骤 5.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 5.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (x \sqrt[5]{10 x^{2}})$ 。

$f (x \sqrt[5]{10 x^{2}}) = {(\frac{{(x \sqrt[5]{10 x^{2}})}^{5}}{10})}^{\frac{1}{7}}$

解题步骤 5.3.3

化简分子。

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解题步骤 5.3.3.1

对 $x \sqrt[5]{10 x^{2}}$ 运用乘积法则。

$f (x \sqrt[5]{10 x^{2}}) = {(\frac{x^{5} {\sqrt[5]{10 x^{2}}}^{5}}{10})}^{\frac{1}{7}}$

解题步骤 5.3.3.2

将 ${\sqrt[5]{10 x^{2}}}^{5}$ 重写为 $10 x^{2}$ 。

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解题步骤 5.3.3.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[5]{10 x^{2}}$ 重写成 ${(10 x^{2})}^{\frac{1}{5}}$ 。

$f (x \sqrt[5]{10 x^{2}}) = {(\frac{x^{5} {({(10 x^{2})}^{\frac{1}{5}})}^{5}}{10})}^{\frac{1}{7}}$

解题步骤 5.3.3.2.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (x \sqrt[5]{10 x^{2}}) = {(\frac{x^{5} {(10 x^{2})}^{\frac{1}{5} \cdot 5}}{10})}^{\frac{1}{7}}$

解题步骤 5.3.3.2.3

组合 $\frac{1}{5}$ 和 $5$ 。

$f (x \sqrt[5]{10 x^{2}}) = {(\frac{x^{5} {(10 x^{2})}^{\frac{5}{5}}}{10})}^{\frac{1}{7}}$

解题步骤 5.3.3.2.4

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.3.2.4.1

约去公因数。

$f (x \sqrt[5]{10 x^{2}}) = {(\frac{x^{5} {(10 x^{2})}^{\frac{5}{5}}}{10})}^{\frac{1}{7}}$

解题步骤 5.3.3.2.4.2

重写表达式。

$f (x \sqrt[5]{10 x^{2}}) = {(\frac{x^{5} (10 x^{2})}{10})}^{\frac{1}{7}}$

解题步骤 5.3.3.2.5

化简。

$f (x \sqrt[5]{10 x^{2}}) = {(\frac{x^{5} (10 x^{2})}{10})}^{\frac{1}{7}}$

$f (x \sqrt[5]{10 x^{2}}) = {(\frac{x^{5} \cdot (10 x^{2})}{10})}^{\frac{1}{7}}$

解题步骤 5.3.3.3

通过指数相加将 $x^{5}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 5.3.3.3.1

移动 $x^{2}$ 。

$f (x \sqrt[5]{10 x^{2}}) = {(\frac{x^{2} x^{5} \cdot 10}{10})}^{\frac{1}{7}}$

解题步骤 5.3.3.3.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f (x \sqrt[5]{10 x^{2}}) = {(\frac{x^{2 + 5} \cdot 10}{10})}^{\frac{1}{7}}$

解题步骤 5.3.3.3.3

将 $2$ 和 $5$ 相加。

$f (x \sqrt[5]{10 x^{2}}) = {(\frac{x^{7} \cdot 10}{10})}^{\frac{1}{7}}$

解题步骤 5.3.4

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 5.3.4.1

约去 $10$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.4.1.1

约去公因数。

$f (x \sqrt[5]{10 x^{2}}) = {(\frac{x^{7} \cdot 10}{10})}^{\frac{1}{7}}$

解题步骤 5.3.4.1.2

用 $x^{7}$ 除以 $1$ 。

$f (x \sqrt[5]{10 x^{2}}) = {(x^{7})}^{\frac{1}{7}}$

解题步骤 5.3.4.2

将 ${(x^{7})}^{\frac{1}{7}}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 5.3.4.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (x \sqrt[5]{10 x^{2}}) = x^{7 (\frac{1}{7})}$

解题步骤 5.3.4.2.2

约去 $7$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.4.2.2.1

约去公因数。

$f (x \sqrt[5]{10 x^{2}}) = x^{7 (\frac{1}{7})}$

解题步骤 5.3.4.2.2.2

重写表达式。

$f (x \sqrt[5]{10 x^{2}}) = x$

解题步骤 5.4

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = x \sqrt[5]{10 x^{2}}$ 为 $f (x) = {(\frac{x^{5}}{10})}^{\frac{1}{7}}$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = x \sqrt[5]{10 x^{2}}$

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