代数示例

$12^{3 x + 4} \leq 2^{5 x + 3} \cdot 3^{2 x - 1}$

解题步骤 1

取不等式两边的对数。

$\ln (12^{3 x + 4}) \leq \ln (2^{5 x + 3} \cdot 3^{2 x - 1})$

解题步骤 2

通过将 $3 x + 4$ 移到对数外来展开 $\ln (12^{3 x + 4})$ 。

$(3 x + 4) \ln (12) \leq \ln (2^{5 x + 3} \cdot 3^{2 x - 1})$

解题步骤 3

将 $\ln (2^{5 x + 3} \cdot 3^{2 x - 1})$ 重写为 $\ln (2^{5 x + 3}) + \ln (3^{2 x - 1})$ 。

$(3 x + 4) \ln (12) \leq \ln (2^{5 x + 3}) + \ln (3^{2 x - 1})$

解题步骤 4

通过将 $5 x + 3$ 移到对数外来展开 $\ln (2^{5 x + 3})$ 。

$(3 x + 4) \ln (12) \leq (5 x + 3) \ln (2) + \ln (3^{2 x - 1})$

解题步骤 5

通过将 $2 x - 1$ 移到对数外来展开 $\ln (3^{2 x - 1})$ 。

$(3 x + 4) \ln (12) \leq (5 x + 3) \ln (2) + (2 x - 1) \ln (3)$

解题步骤 6

求解 $x$ 的不等式。

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解题步骤 6.1

化简左边。

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解题步骤 6.1.1

化简 $(3 x + 4) \ln (12)$ 。

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解题步骤 6.1.1.1

运用分配律。

$3 x \ln (12) + 4 \ln (12) \leq (5 x + 3) \ln (2) + (2 x - 1) \ln (3)$

解题步骤 6.1.1.2

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $3 \ln (12)$ 。

$x \ln (12^{3}) + 4 \ln (12) \leq (5 x + 3) \ln (2) + (2 x - 1) \ln (3)$

解题步骤 6.1.1.3

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $4 \ln (12)$ 。

$x \ln (12^{3}) + \ln (12^{4}) \leq (5 x + 3) \ln (2) + (2 x - 1) \ln (3)$

解题步骤 6.1.1.4

化简每一项。

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解题步骤 6.1.1.4.1

对 $12$ 进行 $3$ 次方运算。

$x \ln (1728) + \ln (12^{4}) \leq (5 x + 3) \ln (2) + (2 x - 1) \ln (3)$

解题步骤 6.1.1.4.2

对 $12$ 进行 $4$ 次方运算。

$x \ln (1728) + \ln (20736) \leq (5 x + 3) \ln (2) + (2 x - 1) \ln (3)$

解题步骤 6.2

化简右边。

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解题步骤 6.2.1

化简 $(5 x + 3) \ln (2) + (2 x - 1) \ln (3)$ 。

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解题步骤 6.2.1.1

化简每一项。

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解题步骤 6.2.1.1.1

运用分配律。

$x \ln (1728) + \ln (20736) \leq 5 x \ln (2) + 3 \ln (2) + (2 x - 1) \ln (3)$

解题步骤 6.2.1.1.2

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $5 \ln (2)$ 。

$x \ln (1728) + \ln (20736) \leq x \ln (2^{5}) + 3 \ln (2) + (2 x - 1) \ln (3)$

解题步骤 6.2.1.1.3

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $3 \ln (2)$ 。

$x \ln (1728) + \ln (20736) \leq x \ln (2^{5}) + \ln (2^{3}) + (2 x - 1) \ln (3)$

解题步骤 6.2.1.1.4

化简每一项。

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解题步骤 6.2.1.1.4.1

对 $2$ 进行 $5$ 次方运算。

$x \ln (1728) + \ln (20736) \leq x \ln (32) + \ln (2^{3}) + (2 x - 1) \ln (3)$

解题步骤 6.2.1.1.4.2

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$x \ln (1728) + \ln (20736) \leq x \ln (32) + \ln (8) + (2 x - 1) \ln (3)$

解题步骤 6.2.1.1.5

运用分配律。

$x \ln (1728) + \ln (20736) \leq x \ln (32) + \ln (8) + 2 x \ln (3) - 1 \ln (3)$

解题步骤 6.2.1.1.6

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $2 \ln (3)$ 。

$x \ln (1728) + \ln (20736) \leq x \ln (32) + \ln (8) + x \ln (3^{2}) - 1 \ln (3)$

解题步骤 6.2.1.1.7

将 $- 1 \ln (3)$ 重写为 $- \ln (3)$ 。

$x \ln (1728) + \ln (20736) \leq x \ln (32) + \ln (8) + x \ln (3^{2}) - \ln (3)$

解题步骤 6.2.1.1.8

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$x \ln (1728) + \ln (20736) \leq x \ln (32) + \ln (8) + x \ln (9) - \ln (3)$

解题步骤 6.2.1.2

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$x \ln (1728) + \ln (20736) \leq x \ln (32) + x \ln (9) + \ln (\frac{8}{3})$

解题步骤 6.3

将所有包含对数的项移到等式左边。

$x \ln (1728) + \ln (20736) - x \ln (32) - x \ln (9) - \ln (\frac{8}{3}) = 0$

解题步骤 6.4

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$x \ln (1728) - x \ln (32) - x \ln (9) + \ln (\frac{20736}{\frac{8}{3}}) = 0$

解题步骤 6.5

化简每一项。

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解题步骤 6.5.1

将分子乘以分母的倒数。

$x \ln (1728) - x \ln (32) - x \ln (9) + \ln (20736 (\frac{3}{8})) = 0$

解题步骤 6.5.2

约去 $8$ 的公因数。

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解题步骤 6.5.2.1

从 $20736$ 中分解出因数 $8$ 。

$x \ln (1728) - x \ln (32) - x \ln (9) + \ln (8 (2592) (\frac{3}{8})) = 0$

解题步骤 6.5.2.2

约去公因数。

$x \ln (1728) - x \ln (32) - x \ln (9) + \ln (8 \cdot (2592 (\frac{3}{8}))) = 0$

解题步骤 6.5.2.3

重写表达式。

$x \ln (1728) - x \ln (32) - x \ln (9) + \ln (2592 \cdot 3) = 0$

解题步骤 6.5.3

将 $2592$ 乘以 $3$ 。

$x \ln (1728) - x \ln (32) - x \ln (9) + \ln (7776) = 0$

解题步骤 6.6

从等式两边同时减去 $\ln (7776)$ 。

$x \ln (1728) - x \ln (32) - x \ln (9) = - \ln (7776)$

解题步骤 6.7

从 $x \ln (1728) - x \ln (32) - x \ln (9)$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 6.7.1

从 $x \ln (1728)$ 中分解出因数 $x$ 。

$x (\ln (1728)) - x \ln (32) - x \ln (9) = - \ln (7776)$

解题步骤 6.7.2

从 $- x \ln (32)$ 中分解出因数 $x$ 。

$x (\ln (1728)) + x (- 1 \ln (32)) - x \ln (9) = - \ln (7776)$

解题步骤 6.7.3

从 $- x \ln (9)$ 中分解出因数 $x$ 。

$x (\ln (1728)) + x (- 1 \ln (32)) + x (- 1 \ln (9)) = - \ln (7776)$

解题步骤 6.7.4

从 $x (\ln (1728)) + x (- 1 \ln (32))$ 中分解出因数 $x$ 。

$x (\ln (1728) - 1 \ln (32)) + x (- 1 \ln (9)) = - \ln (7776)$

解题步骤 6.7.5

从 $x (\ln (1728) - 1 \ln (32)) + x (- 1 \ln (9))$ 中分解出因数 $x$ 。

$x (\ln (1728) - 1 \ln (32) - 1 \ln (9)) = - \ln (7776)$

解题步骤 6.8

将 $- 1 \ln (32)$ 重写为 $- \ln (32)$ 。

$x (\ln (1728) - \ln (32) - 1 \ln (9)) = - \ln (7776)$

解题步骤 6.9

将 $- 1 \ln (9)$ 重写为 $- \ln (9)$ 。

$x (\ln (1728) - \ln (32) - \ln (9)) = - \ln (7776)$

解题步骤 6.10

将 $x (\ln (1728) - \ln (32) - \ln (9)) = - \ln (7776)$ 中的每一项除以 $\ln (1728) - \ln (32) - \ln (9)$ 并化简。

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解题步骤 6.10.1

将 $x (\ln (1728) - \ln (32) - \ln (9)) = - \ln (7776)$ 中的每一项都除以 $\ln (1728) - \ln (32) - \ln (9)$ 。

$\frac{x (\ln (1728) - \ln (32) - \ln (9))}{\ln (1728) - \ln (32) - \ln (9)} = \frac{- \ln (7776)}{\ln (1728) - \ln (32) - \ln (9)}$

解题步骤 6.10.2

化简左边。

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解题步骤 6.10.2.1

约去 $\ln (1728) - \ln (32) - \ln (9)$ 的公因数。

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解题步骤 6.10.2.1.1

约去公因数。

$\frac{x (\ln (1728) - \ln (32) - \ln (9))}{\ln (1728) - \ln (32) - \ln (9)} = \frac{- \ln (7776)}{\ln (1728) - \ln (32) - \ln (9)}$

解题步骤 6.10.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{- \ln (7776)}{\ln (1728) - \ln (32) - \ln (9)}$

解题步骤 6.10.3

化简右边。

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解题步骤 6.10.3.1

将负号移到分数的前面。

$x = - \frac{\ln (7776)}{\ln (1728) - \ln (32) - \ln (9)}$

解题步骤 7

解由使等式成立的所有区间组成。

$x \leq - \frac{\ln (7776)}{\ln (1728) - \ln (32) - \ln (9)}$

解题步骤 8

结果可以多种形式表示。

不等式形式：

$x \leq - \frac{\ln (7776)}{\ln (1728) - \ln (32) - \ln (9)}$

区间计数法：

$(- \infty, - \frac{\ln (7776)}{\ln (1728) - \ln (32) - \ln (9)}]$

解题步骤 9

代数 示例

代数示例