代数示例

$x^{\frac{1}{2}} - 3 x^{\frac{1}{3}} = 3 x^{\frac{1}{6}} - 9$

解题步骤 1

求每项中都有的公因数 $x^{\frac{1}{6}}$ 。

${(x^{\frac{1}{6}})}^{3} - 3 {(x^{\frac{1}{6}})}^{2} - 3 x^{\frac{1}{6}} + 9$

解题步骤 2

代入 $u$ 替换 $x^{\frac{1}{6}}$ 。

${(u)}^{3} - 3 {(u)}^{2} - 3 u + 9 = 0$

解题步骤 3

求解 $u$ 。

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解题步骤 3.1

去掉圆括号。

$u^{3} - 3 u^{2} - 3 u + 9 = 0$

解题步骤 3.2

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 3.2.1

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 3.2.1.1

将首两项和最后两项分成两组。

$(u^{3} - 3 u^{2}) - 3 u + 9 = 0$

解题步骤 3.2.1.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$u^{2} (u - 3) - 3 (u - 3) = 0$

解题步骤 3.2.2

通过因式分解出最大公因数 $u - 3$ 来因式分解多项式。

$(u - 3) (u^{2} - 3) = 0$

解题步骤 3.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$u - 3 = 0$

$u^{2} - 3 = 0$

解题步骤 3.4

将 $u - 3$ 设为等于 $0$ 并求解 $u$ 。

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解题步骤 3.4.1

将 $u - 3$ 设为等于 $0$ 。

$u - 3 = 0$

解题步骤 3.4.2

在等式两边都加上 $3$ 。

$u = 3$

解题步骤 3.5

将 $u^{2} - 3$ 设为等于 $0$ 并求解 $u$ 。

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解题步骤 3.5.1

将 $u^{2} - 3$ 设为等于 $0$ 。

$u^{2} - 3 = 0$

解题步骤 3.5.2

求解 $u$ 的 $u^{2} - 3 = 0$ 。

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解题步骤 3.5.2.1

在等式两边都加上 $3$ 。

$u^{2} = 3$

解题步骤 3.5.2.2

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$u = \pm \sqrt{3}$

解题步骤 3.5.2.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 3.5.2.3.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$u = \sqrt{3}$

解题步骤 3.5.2.3.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$u = - \sqrt{3}$

解题步骤 3.5.2.3.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$u = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

解题步骤 3.6

最终解为使 $(u - 3) (u^{2} - 3) = 0$ 成立的所有值。

$u = 3, \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

解题步骤 4

代入 $x$ 替换 $u$ 。

$x^{\frac{1}{6}} = 3, \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

解题步骤 5

对 $x$ 求解 $x^{\frac{1}{6}} = 3$ 。

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解题步骤 5.1

将方程两边同时进行 $6$ 次方运算以消去左边的分数指数。

${(x^{\frac{1}{6}})}^{6} = 3^{6}$

解题步骤 5.2

化简指数。

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解题步骤 5.2.1

化简左边。

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解题步骤 5.2.1.1

化简 ${(x^{\frac{1}{6}})}^{6}$ 。

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解题步骤 5.2.1.1.1

将 ${(x^{\frac{1}{6}})}^{6}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 5.2.1.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$x^{\frac{1}{6} \cdot 6} = 3^{6}$

解题步骤 5.2.1.1.1.2

约去 $6$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.1.1.1.2.1

约去公因数。

$x^{\frac{1}{6} \cdot 6} = 3^{6}$

解题步骤 5.2.1.1.1.2.2

重写表达式。

$x^{1} = 3^{6}$

解题步骤 5.2.1.1.2

化简。

$x = 3^{6}$

解题步骤 5.2.2

化简右边。

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解题步骤 5.2.2.1

对 $3$ 进行 $6$ 次方运算。

$x = 729$

解题步骤 6

对 $x$ 求解 $x^{\frac{1}{6}} = \sqrt{3}$ 。

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解题步骤 6.1

将方程两边同时进行 $6$ 次方运算以消去左边的分数指数。

${(x^{\frac{1}{6}})}^{6} = {\sqrt{3}}^{6}$

解题步骤 6.2

化简指数。

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解题步骤 6.2.1

化简左边。

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解题步骤 6.2.1.1

化简 ${(x^{\frac{1}{6}})}^{6}$ 。

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解题步骤 6.2.1.1.1

将 ${(x^{\frac{1}{6}})}^{6}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 6.2.1.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$x^{\frac{1}{6} \cdot 6} = {\sqrt{3}}^{6}$

解题步骤 6.2.1.1.1.2

约去 $6$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.1.1.1.2.1

约去公因数。

$x^{\frac{1}{6} \cdot 6} = {\sqrt{3}}^{6}$

解题步骤 6.2.1.1.1.2.2

重写表达式。

$x^{1} = {\sqrt{3}}^{6}$

解题步骤 6.2.1.1.2

化简。

$x = {\sqrt{3}}^{6}$

解题步骤 6.2.2

化简右边。

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解题步骤 6.2.2.1

化简 ${\sqrt{3}}^{6}$ 。

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解题步骤 6.2.2.1.1

将 ${\sqrt{3}}^{6}$ 重写为 $3^{3}$ 。

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解题步骤 6.2.2.1.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$x = {(3^{\frac{1}{2}})}^{6}$

解题步骤 6.2.2.1.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$x = 3^{\frac{1}{2} \cdot 6}$

解题步骤 6.2.2.1.1.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $6$ 。

$x = 3^{\frac{6}{2}}$

解题步骤 6.2.2.1.1.4

约去 $6$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.2.1.1.4.1

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$x = 3^{\frac{2 \cdot 3}{2}}$

解题步骤 6.2.2.1.1.4.2

约去公因数。

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解题步骤 6.2.2.1.1.4.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$x = 3^{\frac{2 \cdot 3}{2 (1)}}$

解题步骤 6.2.2.1.1.4.2.2

约去公因数。

$x = 3^{\frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1}}$

解题步骤 6.2.2.1.1.4.2.3

重写表达式。

$x = 3^{\frac{3}{1}}$

解题步骤 6.2.2.1.1.4.2.4

用 $3$ 除以 $1$ 。

$x = 3^{3}$

解题步骤 6.2.2.1.2

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$x = 27$

解题步骤 7

列出所有解。

$x = 729, 27, 27$

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