代数示例

$- 3^{- x} - 6 = - 3^{x} + 10$

解题步骤 1

在等式两边都加上 $3^{x}$ 。

$- 3^{- x} - 6 + 3^{x} = 10$

解题步骤 2

将 $3^{- x}$ 重写为乘方形式。

$- {(3^{x})}^{- 1} - 6 + 3^{x} = 10$

解题步骤 3

代入 $u$ 替换 $3^{x}$ 。

$- u^{- 1} - 6 + u = 10$

解题步骤 4

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- \frac{1}{u} - 6 + u = 10$

解题步骤 5

移动 $- 6$ 。

$- \frac{1}{u} + u - 6 = 10$

解题步骤 6

将 $- \frac{1}{u}$ 和 $u$ 重新排序。

$u - \frac{1}{u} - 6 = 10$

解题步骤 7

求解 $u$ 。

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解题步骤 7.1

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

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解题步骤 7.1.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

$1, u, 1, 1$

解题步骤 7.1.2

1 和任何表达式的最小公倍数就是该表达式。

$u$

解题步骤 7.2

将 $u - \frac{1}{u} - 6 = 10$ 中的每一项乘以 $u$ 以消去分数。

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解题步骤 7.2.1

将 $u - \frac{1}{u} - 6 = 10$ 中的每一项乘以 $u$ 。

$u \cdot u - \frac{1}{u} u - 6 u = 10 u$

解题步骤 7.2.2

化简左边。

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解题步骤 7.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 7.2.2.1.1

将 $u$ 乘以 $u$ 。

$u^{2} - \frac{1}{u} u - 6 u = 10 u$

解题步骤 7.2.2.1.2

约去 $u$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.2.1.2.1

将 $- \frac{1}{u}$ 中前置负号移到分子中。

$u^{2} + \frac{- 1}{u} u - 6 u = 10 u$

解题步骤 7.2.2.1.2.2

约去公因数。

$u^{2} + \frac{- 1}{u} u - 6 u = 10 u$

解题步骤 7.2.2.1.2.3

重写表达式。

$u^{2} - 1 - 6 u = 10 u$

解题步骤 7.3

求解方程。

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解题步骤 7.3.1

将所有包含 $u$ 的项移到等式左边。

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解题步骤 7.3.1.1

从等式两边同时减去 $10 u$ 。

$u^{2} - 1 - 6 u - 10 u = 0$

解题步骤 7.3.1.2

从 $- 6 u$ 中减去 $10 u$ 。

$u^{2} - 1 - 16 u = 0$

解题步骤 7.3.2

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 7.3.3

将 $a = 1$ 、 $b = - 16$ 和 $c = - 1$ 的值代入二次公式中并求解 $u$ 。

$\frac{16 \pm \sqrt{{(- 16)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.3.4

化简。

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解题步骤 7.3.4.1

化简分子。

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解题步骤 7.3.4.1.1

对 $- 16$ 进行 $2$ 次方运算。

$u = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.3.4.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ 。

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解题步骤 7.3.4.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$u = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.3.4.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $- 1$ 。

$u = \frac{16 \pm \sqrt{256 + 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.3.4.1.3

将 $256$ 和 $4$ 相加。

$u = \frac{16 \pm \sqrt{260}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.3.4.1.4

将 $260$ 重写为 $2^{2} \cdot 65$ 。

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解题步骤 7.3.4.1.4.1

从 $260$ 中分解出因数 $4$ 。

$u = \frac{16 \pm \sqrt{4 (65)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.3.4.1.4.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$u = \frac{16 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 65}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.3.4.1.5

从根式下提出各项。

$u = \frac{16 \pm 2 \sqrt{65}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.3.4.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$u = \frac{16 \pm 2 \sqrt{65}}{2}$

解题步骤 7.3.4.3

化简 $\frac{16 \pm 2 \sqrt{65}}{2}$ 。

$u = 8 \pm \sqrt{65}$

解题步骤 7.3.5

最终答案为两个解的组合。

$u = 8 + \sqrt{65}, 8 - \sqrt{65}$

解题步骤 8

代入 $8 + \sqrt{65}$ 替换 $u = 3^{x}$ 中的 $u$ 。

$8 + \sqrt{65} = 3^{x}$

解题步骤 9

求解 $8 + \sqrt{65} = 3^{x}$ 。

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解题步骤 9.1

将方程重写为 $3^{x} = 8 + \sqrt{65}$ 。

$3^{x} = 8 + \sqrt{65}$

解题步骤 9.2

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (3^{x}) = \ln (8 + \sqrt{65})$

解题步骤 9.3

通过将 $x$ 移到对数外来展开 $\ln (3^{x})$ 。

$x \ln (3) = \ln (8 + \sqrt{65})$

解题步骤 9.4

将 $x \ln (3) = \ln (8 + \sqrt{65})$ 中的每一项除以 $\ln (3)$ 并化简。

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解题步骤 9.4.1

将 $x \ln (3) = \ln (8 + \sqrt{65})$ 中的每一项都除以 $\ln (3)$ 。

$\frac{x \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{\ln (8 + \sqrt{65})}{\ln (3)}$

解题步骤 9.4.2

化简左边。

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解题步骤 9.4.2.1

约去 $\ln (3)$ 的公因数。

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解题步骤 9.4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{x \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{\ln (8 + \sqrt{65})}{\ln (3)}$

解题步骤 9.4.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{\ln (8 + \sqrt{65})}{\ln (3)}$

解题步骤 10

代入 $8 - \sqrt{65}$ 替换 $u = 3^{x}$ 中的 $u$ 。

$8 - \sqrt{65} = 3^{x}$

解题步骤 11

求解 $8 - \sqrt{65} = 3^{x}$ 。

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解题步骤 11.1

将方程重写为 $3^{x} = 8 - \sqrt{65}$ 。

$3^{x} = 8 - \sqrt{65}$

解题步骤 11.2

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (3^{x}) = \ln (8 - \sqrt{65})$

解题步骤 11.3

因为 $\ln (8 - \sqrt{65})$ 无意义，所以方程无解。

无定义

解题步骤 11.4

$3^{x} = 8 - \sqrt{65}$ 无解

无解

解题步骤 12

列出使方程成立的解。

$x = \frac{\ln (8 + \sqrt{65})}{\ln (3)}$

解题步骤 13

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$x = \frac{\ln (8 + \sqrt{65})}{\ln (3)}$

小数形式：

$x = 2.52725398 \dots$

代数 示例

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