代数示例

$y = \ln (x + \sqrt{x^{2} + 1})$

解题步骤 1

将方程重写为 $\ln (x + \sqrt{x^{2} + 1}) = y$ 。

$\ln (x + \sqrt{x^{2} + 1}) = y$

解题步骤 2

要求解 $x$ ，请利用对数的性质重写方程。

$e^{\ln (x + \sqrt{x^{2} + 1})} = e^{y}$

解题步骤 3

使用对数的定义将 $\ln (x + \sqrt{x^{2} + 1}) = y$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$e^{y} = x + \sqrt{x^{2} + 1}$

解题步骤 4

求解 $x$ 。

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解题步骤 4.1

将方程重写为 $x + \sqrt{x^{2} + 1} = e^{y}$ 。

$x + \sqrt{x^{2} + 1} = e^{y}$

解题步骤 4.2

从等式两边同时减去 $x$ 。

$\sqrt{x^{2} + 1} = e^{y} - x$

解题步骤 4.3

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行平方。

${\sqrt{x^{2} + 1}}^{2} = {(e^{y} - x)}^{2}$

解题步骤 4.4

化简方程的两边。

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解题步骤 4.4.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x^{2} + 1}$ 重写成 ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

${({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(e^{y} - x)}^{2}$

解题步骤 4.4.2

化简左边。

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解题步骤 4.4.2.1

化简 ${({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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解题步骤 4.4.2.1.1

将 ${({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.4.2.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(e^{y} - x)}^{2}$

解题步骤 4.4.2.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.4.2.1.1.2.1

约去公因数。

${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(e^{y} - x)}^{2}$

解题步骤 4.4.2.1.1.2.2

重写表达式。

${(x^{2} + 1)}^{1} = {(e^{y} - x)}^{2}$

解题步骤 4.4.2.1.2

化简。

$x^{2} + 1 = {(e^{y} - x)}^{2}$

解题步骤 4.4.3

化简右边。

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解题步骤 4.4.3.1

化简 ${(e^{y} - x)}^{2}$ 。

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解题步骤 4.4.3.1.1

将 ${(e^{y} - x)}^{2}$ 重写为 $(e^{y} - x) (e^{y} - x)$ 。

$x^{2} + 1 = (e^{y} - x) (e^{y} - x)$

解题步骤 4.4.3.1.2

使用 FOIL 方法展开 $(e^{y} - x) (e^{y} - x)$ 。

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解题步骤 4.4.3.1.2.1

运用分配律。

$x^{2} + 1 = e^{y} (e^{y} - x) - x (e^{y} - x)$

解题步骤 4.4.3.1.2.2

运用分配律。

$x^{2} + 1 = e^{y} e^{y} + e^{y} (- x) - x (e^{y} - x)$

解题步骤 4.4.3.1.2.3

运用分配律。

$x^{2} + 1 = e^{y} e^{y} + e^{y} (- x) - x e^{y} - x (- x)$

解题步骤 4.4.3.1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 4.4.3.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 4.4.3.1.3.1.1

通过指数相加将 $e^{y}$ 乘以 $e^{y}$ 。

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解题步骤 4.4.3.1.3.1.1.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x^{2} + 1 = e^{y + y} + e^{y} (- x) - x e^{y} - x (- x)$

解题步骤 4.4.3.1.3.1.1.2

将 $y$ 和 $y$ 相加。

$x^{2} + 1 = e^{2 y} + e^{y} (- x) - x e^{y} - x (- x)$

解题步骤 4.4.3.1.3.1.2

使用乘法的交换性质重写。

$x^{2} + 1 = e^{2 y} - e^{y} x - x e^{y} - x (- x)$

解题步骤 4.4.3.1.3.1.3

使用乘法的交换性质重写。

$x^{2} + 1 = e^{2 y} - e^{y} x - x e^{y} - 1 \cdot - 1 x \cdot x$

解题步骤 4.4.3.1.3.1.4

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 4.4.3.1.3.1.4.1

移动 $x$ 。

$x^{2} + 1 = e^{2 y} - e^{y} x - x e^{y} - 1 \cdot - 1 (x \cdot x)$

解题步骤 4.4.3.1.3.1.4.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$x^{2} + 1 = e^{2 y} - e^{y} x - x e^{y} - 1 \cdot - 1 x^{2}$

解题步骤 4.4.3.1.3.1.5

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$x^{2} + 1 = e^{2 y} - e^{y} x - x e^{y} + 1 x^{2}$

解题步骤 4.4.3.1.3.1.6

将 $x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$x^{2} + 1 = e^{2 y} - e^{y} x - x e^{y} + x^{2}$

解题步骤 4.4.3.1.3.2

从 $- e^{y} x$ 中减去 $x e^{y}$ 。

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解题步骤 4.4.3.1.3.2.1

移动 $e^{y}$ 。

$x^{2} + 1 = e^{2 y} - x e^{y} - x e^{y} + x^{2}$

解题步骤 4.4.3.1.3.2.2

从 $- x e^{y}$ 中减去 $x e^{y}$ 。

$x^{2} + 1 = e^{2 y} - 2 x e^{y} + x^{2}$

解题步骤 4.5

求解 $x$ 。

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解题步骤 4.5.1

因为 $x$ 在方程的右边，所以要交换两边使其出现在方程的左边。

$e^{2 y} - 2 x e^{y} + x^{2} = x^{2} + 1$

解题步骤 4.5.2

将所有包含 $x$ 的项移到等式左边。

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解题步骤 4.5.2.1

从等式两边同时减去 $x^{2}$ 。

$e^{2 y} - 2 x e^{y} + x^{2} - x^{2} = 1$

解题步骤 4.5.2.2

合并 $e^{2 y} - 2 x e^{y} + x^{2} - x^{2}$ 中相反的项。

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解题步骤 4.5.2.2.1

从 $x^{2}$ 中减去 $x^{2}$ 。

$e^{2 y} - 2 x e^{y} + 0 = 1$

解题步骤 4.5.2.2.2

将 $e^{2 y} - 2 x e^{y}$ 和 $0$ 相加。

$e^{2 y} - 2 x e^{y} = 1$

解题步骤 4.5.3

从等式两边同时减去 $e^{2 y}$ 。

$- 2 x e^{y} = 1 - e^{2 y}$

解题步骤 4.5.4

将 $- 2 x e^{y} = 1 - e^{2 y}$ 中的每一项除以 $- 2 e^{y}$ 并化简。

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解题步骤 4.5.4.1

将 $- 2 x e^{y} = 1 - e^{2 y}$ 中的每一项都除以 $- 2 e^{y}$ 。

$\frac{- 2 x e^{y}}{- 2 e^{y}} = \frac{1}{- 2 e^{y}} + \frac{- e^{2 y}}{- 2 e^{y}}$

解题步骤 4.5.4.2

化简左边。

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解题步骤 4.5.4.2.1

约去 $- 2$ 的公因数。

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解题步骤 4.5.4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{- 2 x e^{y}}{- 2 e^{y}} = \frac{1}{- 2 e^{y}} + \frac{- e^{2 y}}{- 2 e^{y}}$

解题步骤 4.5.4.2.1.2

重写表达式。

$\frac{x e^{y}}{e^{y}} = \frac{1}{- 2 e^{y}} + \frac{- e^{2 y}}{- 2 e^{y}}$

解题步骤 4.5.4.2.2

约去 $e^{y}$ 的公因数。

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解题步骤 4.5.4.2.2.1

约去公因数。

$\frac{x e^{y}}{e^{y}} = \frac{1}{- 2 e^{y}} + \frac{- e^{2 y}}{- 2 e^{y}}$

解题步骤 4.5.4.2.2.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{1}{- 2 e^{y}} + \frac{- e^{2 y}}{- 2 e^{y}}$

解题步骤 4.5.4.3

化简右边。

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解题步骤 4.5.4.3.1

化简每一项。

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解题步骤 4.5.4.3.1.1

将负号移到分数的前面。

$x = - \frac{1}{2 e^{y}} + \frac{- e^{2 y}}{- 2 e^{y}}$

解题步骤 4.5.4.3.1.2

约去 $e^{2 y}$ 和 $e^{y}$ 的公因数。

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解题步骤 4.5.4.3.1.2.1

从 $- e^{2 y}$ 中分解出因数 $e^{y}$ 。

$x = - \frac{1}{2 e^{y}} + \frac{e^{y} (- e^{y})}{- 2 e^{y}}$

解题步骤 4.5.4.3.1.2.2

约去公因数。

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解题步骤 4.5.4.3.1.2.2.1

从 $- 2 e^{y}$ 中分解出因数 $e^{y}$ 。

$x = - \frac{1}{2 e^{y}} + \frac{e^{y} (- e^{y})}{e^{y} \cdot - 2}$

解题步骤 4.5.4.3.1.2.2.2

约去公因数。

$x = - \frac{1}{2 e^{y}} + \frac{e^{y} (- e^{y})}{e^{y} \cdot - 2}$

解题步骤 4.5.4.3.1.2.2.3

重写表达式。

$x = - \frac{1}{2 e^{y}} + \frac{- e^{y}}{- 2}$

解题步骤 4.5.4.3.1.3

将两个负数相除得到一个正数。

$x = - \frac{1}{2 e^{y}} + \frac{e^{y}}{2}$

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