代数示例

$\frac{x + 1}{x^{2} - x - 20} - \frac{x + 4}{x^{2} - 4 x - 5} + \frac{x + 5}{x^{2} + 5 x + 4}$

解题步骤 1

化简每一项。

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解题步骤 1.1

使用 AC 法来对 $x^{2} - x - 20$ 进行因式分解。

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解题步骤 1.1.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 20$ ，和为 $- 1$ 。

$- 5, 4$

解题步骤 1.1.2

使用这些整数书写分数形式。

$\frac{x + 1}{(x - 5) (x + 4)} - \frac{x + 4}{x^{2} - 4 x - 5} + \frac{x + 5}{x^{2} + 5 x + 4}$

解题步骤 1.2

使用 AC 法来对 $x^{2} - 4 x - 5$ 进行因式分解。

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解题步骤 1.2.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 5$ ，和为 $- 4$ 。

$- 5, 1$

解题步骤 1.2.2

使用这些整数书写分数形式。

$\frac{x + 1}{(x - 5) (x + 4)} - \frac{x + 4}{(x - 5) (x + 1)} + \frac{x + 5}{x^{2} + 5 x + 4}$

解题步骤 1.3

使用 AC 法来对 $x^{2} + 5 x + 4$ 进行因式分解。

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解题步骤 1.3.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $4$ ，和为 $5$ 。

$1, 4$

解题步骤 1.3.2

使用这些整数书写分数形式。

$\frac{x + 1}{(x - 5) (x + 4)} - \frac{x + 4}{(x - 5) (x + 1)} + \frac{x + 5}{(x + 1) (x + 4)}$

解题步骤 2

求公分母。

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解题步骤 2.1

将 $\frac{x + 1}{(x - 5) (x + 4)}$ 乘以 $\frac{x + 1}{x + 1}$ 。

$\frac{x + 1}{(x - 5) (x + 4)} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} - \frac{x + 4}{(x - 5) (x + 1)} + \frac{x + 5}{(x + 1) (x + 4)}$

解题步骤 2.2

将 $\frac{x + 1}{(x - 5) (x + 4)}$ 乘以 $\frac{x + 1}{x + 1}$ 。

$\frac{(x + 1) (x + 1)}{(x - 5) (x + 4) (x + 1)} - \frac{x + 4}{(x - 5) (x + 1)} + \frac{x + 5}{(x + 1) (x + 4)}$

解题步骤 2.3

将 $\frac{x + 4}{(x - 5) (x + 1)}$ 乘以 $\frac{x + 4}{x + 4}$ 。

$\frac{(x + 1) (x + 1)}{(x - 5) (x + 4) (x + 1)} - (\frac{x + 4}{(x - 5) (x + 1)} \cdot \frac{x + 4}{x + 4}) + \frac{x + 5}{(x + 1) (x + 4)}$

解题步骤 2.4

将 $\frac{x + 4}{(x - 5) (x + 1)}$ 乘以 $\frac{x + 4}{x + 4}$ 。

$\frac{(x + 1) (x + 1)}{(x - 5) (x + 4) (x + 1)} - \frac{(x + 4) (x + 4)}{(x - 5) (x + 1) (x + 4)} + \frac{x + 5}{(x + 1) (x + 4)}$

解题步骤 2.5

将 $\frac{x + 5}{(x + 1) (x + 4)}$ 乘以 $\frac{x - 5}{x - 5}$ 。

$\frac{(x + 1) (x + 1)}{(x - 5) (x + 4) (x + 1)} - \frac{(x + 4) (x + 4)}{(x - 5) (x + 1) (x + 4)} + \frac{x + 5}{(x + 1) (x + 4)} \cdot \frac{x - 5}{x - 5}$

解题步骤 2.6

将 $\frac{x + 5}{(x + 1) (x + 4)}$ 乘以 $\frac{x - 5}{x - 5}$ 。

$\frac{(x + 1) (x + 1)}{(x - 5) (x + 4) (x + 1)} - \frac{(x + 4) (x + 4)}{(x - 5) (x + 1) (x + 4)} + \frac{(x + 5) (x - 5)}{(x + 1) (x + 4) (x - 5)}$

解题步骤 2.7

重新排序 $(x - 5) (x + 1) (x + 4)$ 的因式。

$\frac{(x + 1) (x + 1)}{(x - 5) (x + 4) (x + 1)} - \frac{(x + 4) (x + 4)}{(x + 1) (x + 4) (x - 5)} + \frac{(x + 5) (x - 5)}{(x + 1) (x + 4) (x - 5)}$

解题步骤 3

化简项。

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解题步骤 3.1

在公分母上合并分子。

$\frac{(x + 1) (x + 1) - (x + 4) (x + 4) + (x + 5) (x - 5)}{(x + 1) (x + 4) (x - 5)}$

解题步骤 3.2

化简每一项。

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解题步骤 3.2.1

使用 FOIL 方法展开 $(x + 1) (x + 1)$ 。

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解题步骤 3.2.1.1

运用分配律。

$\frac{x (x + 1) + 1 (x + 1) - (x + 4) (x + 4) + (x + 5) (x - 5)}{(x + 1) (x + 4) (x - 5)}$

解题步骤 3.2.1.2

运用分配律。

$\frac{x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1) - (x + 4) (x + 4) + (x + 5) (x - 5)}{(x + 1) (x + 4) (x - 5)}$

解题步骤 3.2.1.3

运用分配律。

$\frac{x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1 - (x + 4) (x + 4) + (x + 5) (x - 5)}{(x + 1) (x + 4) (x - 5)}$

解题步骤 3.2.2

化简并合并同类项。

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解题步骤 3.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.2.2.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1 - (x + 4) (x + 4) + (x + 5) (x - 5)}{(x + 1) (x + 4) (x - 5)}$

解题步骤 3.2.2.1.2

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1 - (x + 4) (x + 4) + (x + 5) (x - 5)}{(x + 1) (x + 4) (x - 5)}$

解题步骤 3.2.2.1.3

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x^{2} + x + x + 1 \cdot 1 - (x + 4) (x + 4) + (x + 5) (x - 5)}{(x + 1) (x + 4) (x - 5)}$

解题步骤 3.2.2.1.4

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x^{2} + x + x + 1 - (x + 4) (x + 4) + (x + 5) (x - 5)}{(x + 1) (x + 4) (x - 5)}$

解题步骤 3.2.2.2

将 $x$ 和 $x$ 相加。

$\frac{x^{2} + 2 x + 1 - (x + 4) (x + 4) + (x + 5) (x - 5)}{(x + 1) (x + 4) (x - 5)}$

解题步骤 3.2.3

运用分配律。

$\frac{x^{2} + 2 x + 1 + (- x - 1 \cdot 4) (x + 4) + (x + 5) (x - 5)}{(x + 1) (x + 4) (x - 5)}$

解题步骤 3.2.4

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$\frac{x^{2} + 2 x + 1 + (- x - 4) (x + 4) + (x + 5) (x - 5)}{(x + 1) (x + 4) (x - 5)}$

解题步骤 3.2.5

使用 FOIL 方法展开 $(- x - 4) (x + 4)$ 。

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解题步骤 3.2.5.1

运用分配律。

$\frac{x^{2} + 2 x + 1 - x (x + 4) - 4 (x + 4) + (x + 5) (x - 5)}{(x + 1) (x + 4) (x - 5)}$

解题步骤 3.2.5.2

运用分配律。

$\frac{x^{2} + 2 x + 1 - x \cdot x - x \cdot 4 - 4 (x + 4) + (x + 5) (x - 5)}{(x + 1) (x + 4) (x - 5)}$

解题步骤 3.2.5.3

运用分配律。

$\frac{x^{2} + 2 x + 1 - x \cdot x - x \cdot 4 - 4 x - 4 \cdot 4 + (x + 5) (x - 5)}{(x + 1) (x + 4) (x - 5)}$

解题步骤 3.2.6

化简并合并同类项。

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解题步骤 3.2.6.1

化简每一项。

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解题步骤 3.2.6.1.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.2.6.1.1.1

移动 $x$ 。

$\frac{x^{2} + 2 x + 1 - (x \cdot x) - x \cdot 4 - 4 x - 4 \cdot 4 + (x + 5) (x - 5)}{(x + 1) (x + 4) (x - 5)}$

解题步骤 3.2.6.1.1.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{x^{2} + 2 x + 1 - x^{2} - x \cdot 4 - 4 x - 4 \cdot 4 + (x + 5) (x - 5)}{(x + 1) (x + 4) (x - 5)}$

解题步骤 3.2.6.1.2

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{x^{2} + 2 x + 1 - x^{2} - 4 x - 4 x - 4 \cdot 4 + (x + 5) (x - 5)}{(x + 1) (x + 4) (x - 5)}$

解题步骤 3.2.6.1.3

将 $- 4$ 乘以 $4$ 。

$\frac{x^{2} + 2 x + 1 - x^{2} - 4 x - 4 x - 16 + (x + 5) (x - 5)}{(x + 1) (x + 4) (x - 5)}$

解题步骤 3.2.6.2

从 $- 4 x$ 中减去 $4 x$ 。

$\frac{x^{2} + 2 x + 1 - x^{2} - 8 x - 16 + (x + 5) (x - 5)}{(x + 1) (x + 4) (x - 5)}$

解题步骤 3.2.7

使用 FOIL 方法展开 $(x + 5) (x - 5)$ 。

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解题步骤 3.2.7.1

运用分配律。

$\frac{x^{2} + 2 x + 1 - x^{2} - 8 x - 16 + x (x - 5) + 5 (x - 5)}{(x + 1) (x + 4) (x - 5)}$

解题步骤 3.2.7.2

运用分配律。

$\frac{x^{2} + 2 x + 1 - x^{2} - 8 x - 16 + x \cdot x + x \cdot - 5 + 5 (x - 5)}{(x + 1) (x + 4) (x - 5)}$

解题步骤 3.2.7.3

运用分配律。

$\frac{x^{2} + 2 x + 1 - x^{2} - 8 x - 16 + x \cdot x + x \cdot - 5 + 5 x + 5 \cdot - 5}{(x + 1) (x + 4) (x - 5)}$

解题步骤 3.2.8

合并 $x \cdot x + x \cdot - 5 + 5 x + 5 \cdot - 5$ 中相反的项。

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解题步骤 3.2.8.1

按照 $x \cdot - 5$ 和 $5 x$ 重新排列因数。

$\frac{x^{2} + 2 x + 1 - x^{2} - 8 x - 16 + x \cdot x - 5 x + 5 x + 5 \cdot - 5}{(x + 1) (x + 4) (x - 5)}$

解题步骤 3.2.8.2

将 $- 5 x$ 和 $5 x$ 相加。

$\frac{x^{2} + 2 x + 1 - x^{2} - 8 x - 16 + x \cdot x + 0 + 5 \cdot - 5}{(x + 1) (x + 4) (x - 5)}$

解题步骤 3.2.8.3

将 $x \cdot x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{x^{2} + 2 x + 1 - x^{2} - 8 x - 16 + x \cdot x + 5 \cdot - 5}{(x + 1) (x + 4) (x - 5)}$

解题步骤 3.2.9

化简每一项。

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解题步骤 3.2.9.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{x^{2} + 2 x + 1 - x^{2} - 8 x - 16 + x^{2} + 5 \cdot - 5}{(x + 1) (x + 4) (x - 5)}$

解题步骤 3.2.9.2

将 $5$ 乘以 $- 5$ 。

$\frac{x^{2} + 2 x + 1 - x^{2} - 8 x - 16 + x^{2} - 25}{(x + 1) (x + 4) (x - 5)}$

解题步骤 3.3

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 3.3.1

合并 $x^{2} + 2 x + 1 - x^{2} - 8 x - 16 + x^{2} - 25$ 中相反的项。

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解题步骤 3.3.1.1

从 $x^{2}$ 中减去 $x^{2}$ 。

$\frac{2 x + 1 + 0 - 8 x - 16 + x^{2} - 25}{(x + 1) (x + 4) (x - 5)}$

解题步骤 3.3.1.2

将 $2 x + 1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{2 x + 1 - 8 x - 16 + x^{2} - 25}{(x + 1) (x + 4) (x - 5)}$

解题步骤 3.3.2

从 $2 x$ 中减去 $8 x$ 。

$\frac{- 6 x + 1 - 16 + x^{2} - 25}{(x + 1) (x + 4) (x - 5)}$

解题步骤 3.3.3

化简表达式。

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解题步骤 3.3.3.1

从 $1$ 中减去 $16$ 。

$\frac{- 6 x - 15 + x^{2} - 25}{(x + 1) (x + 4) (x - 5)}$

解题步骤 3.3.3.2

从 $- 15$ 中减去 $25$ 。

$\frac{- 6 x + x^{2} - 40}{(x + 1) (x + 4) (x - 5)}$

解题步骤 3.3.3.3

将 $- 6 x$ 和 $x^{2}$ 重新排序。

$\frac{x^{2} - 6 x - 40}{(x + 1) (x + 4) (x - 5)}$

解题步骤 4

使用 AC 法来对 $x^{2} - 6 x - 40$ 进行因式分解。

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解题步骤 4.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 40$ ，和为 $- 6$ 。

$- 10, 4$

解题步骤 4.2

使用这些整数书写分数形式。

$\frac{(x - 10) (x + 4)}{(x + 1) (x + 4) (x - 5)}$

解题步骤 5

约去 $x + 4$ 的公因数。

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解题步骤 5.1

约去公因数。

$\frac{(x - 10) (x + 4)}{(x + 1) (x + 4) (x - 5)}$

解题步骤 5.2

重写表达式。

$\frac{x - 10}{(x + 1) (x - 5)}$

代数 示例

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