代数示例

$y = {(\frac{3}{2})}^{x}$

解题步骤 1

交换变量。

$x = {(\frac{3}{2})}^{y}$

解题步骤 2

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.1

将方程重写为 ${(\frac{3}{2})}^{y} = x$ 。

${(\frac{3}{2})}^{y} = x$

解题步骤 2.2

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln ({(\frac{3}{2})}^{y}) = \ln (x)$

解题步骤 2.3

展开左边。

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解题步骤 2.3.1

通过将 $y$ 移到对数外来展开 $\ln ({(\frac{3}{2})}^{y})$ 。

$y \ln (\frac{3}{2}) = \ln (x)$

解题步骤 2.3.2

将 $\ln (\frac{3}{2})$ 重写为 $\ln (3) - \ln (2)$ 。

$y (\ln (3) - \ln (2)) = \ln (x)$

解题步骤 2.4

化简左边。

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解题步骤 2.4.1

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$y \ln (\frac{3}{2}) = \ln (x)$

解题步骤 2.5

将 $y \ln (\frac{3}{2}) = \ln (x)$ 中的每一项除以 $\ln (\frac{3}{2})$ 并化简。

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解题步骤 2.5.1

将 $y \ln (\frac{3}{2}) = \ln (x)$ 中的每一项都除以 $\ln (\frac{3}{2})$ 。

$\frac{y \ln (\frac{3}{2})}{\ln (\frac{3}{2})} = \frac{\ln (x)}{\ln (\frac{3}{2})}$

解题步骤 2.5.2

化简左边。

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解题步骤 2.5.2.1

约去 $\ln (\frac{3}{2})$ 的公因数。

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解题步骤 2.5.2.1.1

约去公因数。

$\frac{y \ln (\frac{3}{2})}{\ln (\frac{3}{2})} = \frac{\ln (x)}{\ln (\frac{3}{2})}$

解题步骤 2.5.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{\ln (x)}{\ln (\frac{3}{2})}$

解题步骤 3

使用 $f^{- 1} (x)$ 替换 $y$ ，以得到最终答案。

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{\ln (\frac{3}{2})}$

解题步骤 4

验证 $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{\ln (\frac{3}{2})}$ 是否为 $f (x) = {(\frac{3}{2})}^{x}$ 的反函数。

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解题步骤 4.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 4.2

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

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解题步骤 4.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 4.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} ({(\frac{3}{2})}^{x})$ 。

$f^{- 1} ({(\frac{3}{2})}^{x}) = \frac{\ln ({(\frac{3}{2})}^{x})}{\ln (\frac{3}{2})}$

解题步骤 4.2.3

通过将 $x$ 移到对数外来展开 $\ln ({(\frac{3}{2})}^{x})$ 。

$f^{- 1} ({(\frac{3}{2})}^{x}) = \frac{x \ln (\frac{3}{2})}{\ln (\frac{3}{2})}$

解题步骤 4.2.4

约去 $\ln (\frac{3}{2})$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.4.1

约去公因数。

$f^{- 1} ({(\frac{3}{2})}^{x}) = \frac{x \ln (\frac{3}{2})}{\ln (\frac{3}{2})}$

解题步骤 4.2.4.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$f^{- 1} ({(\frac{3}{2})}^{x}) = x$

解题步骤 4.3

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

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解题步骤 4.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 4.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (\frac{\ln (x)}{\ln (\frac{3}{2})})$ 。

$f (\frac{\ln (x)}{\ln (\frac{3}{2})}) = {(\frac{3}{2})}^{\frac{\ln (x)}{\ln (\frac{3}{2})}}$

解题步骤 4.3.3

对 $\frac{3}{2}$ 运用乘积法则。

$f (\frac{\ln (x)}{\ln (\frac{3}{2})}) = \frac{3^{\frac{\ln (x)}{\ln (\frac{3}{2})}}}{2^{\frac{\ln (x)}{\ln (\frac{3}{2})}}}$

解题步骤 4.4

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{\ln (\frac{3}{2})}$ 为 $f (x) = {(\frac{3}{2})}^{x}$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{\ln (\frac{3}{2})}$

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