代数示例

$f (x) = x \sqrt{x^{2}} + 1$

解题步骤 1

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分, 可以求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\int x \cdot x + 1 d x$

解题步骤 2.2

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int x^{1} x + 1 d x$

解题步骤 2.3

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int x^{1} x^{1} + 1 d x$

解题步骤 2.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int x^{1 + 1} + 1 d x$

解题步骤 2.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\int x^{2} + 1 d x$

$\int x^{2} + 1 d x$

解题步骤 3

将单个积分拆分为多个积分。

$\int x^{2} d x + \int d x$

解题步骤 4

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \int d x$

解题步骤 5

应用常数不变法则。

$\frac{1}{3} x^{3} + C + x + C$

解题步骤 6

化简。

$\frac{1}{3} x^{3} + x + C$

解题步骤 7

函数 $F$ 由函数导数的积分导出。根据微积分基本定理，这是有效的。

$F (x) = \frac{1}{3} x^{3} + x + C$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$