代数示例

$f (x) = 4 | 2 x - 1 |$

解题步骤 1

将 $f (x) = 4 | 2 x - 1 |$ 写为等式。

$y = 4 | 2 x - 1 |$

解题步骤 2

交换变量。

$x = 4 | 2 y - 1 |$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

将方程重写为 $4 | 2 y - 1 | = x$ 。

$4 | 2 y - 1 | = x$

解题步骤 3.2

将 $4 | 2 y - 1 | = x$ 中的每一项除以 $4$ 并化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.1

将 $4 | 2 y - 1 | = x$ 中的每一项都除以 $4$ 。

$\frac{4 | 2 y - 1 |}{4} = \frac{x}{4}$

解题步骤 3.2.2

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.2.1

约去 $4$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{4 | 2 y - 1 |}{4} = \frac{x}{4}$

解题步骤 3.2.2.1.2

用 $| 2 y - 1 |$ 除以 $1$ 。

$| 2 y - 1 | = \frac{x}{4}$

解题步骤 3.3

去掉绝对值项。因为 $| x | = \pm x$ ，所以这将使方程右边新增 $\pm$ 。

$2 y - 1 = \pm \frac{x}{4}$

解题步骤 3.4

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.4.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$2 y - 1 = \frac{x}{4}$

解题步骤 3.4.2

在等式两边都加上 $1$ 。

$2 y = \frac{x}{4} + 1$

解题步骤 3.4.3

将 $2 y = \frac{x}{4} + 1$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.4.3.1

将 $2 y = \frac{x}{4} + 1$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 y}{2} = \frac{\frac{x}{4}}{2} + \frac{1}{2}$

解题步骤 3.4.3.2

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.4.3.2.1

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.4.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 y}{2} = \frac{\frac{x}{4}}{2} + \frac{1}{2}$

解题步骤 3.4.3.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{\frac{x}{4}}{2} + \frac{1}{2}$

解题步骤 3.4.3.3

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.4.3.3.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.4.3.3.1.1

将分子乘以分母的倒数。

$y = \frac{x}{4} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2}$

解题步骤 3.4.3.3.1.2

乘以 $\frac{x}{4} \cdot \frac{1}{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.4.3.3.1.2.1

将 $\frac{x}{4}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$y = \frac{x}{4 \cdot 2} + \frac{1}{2}$

解题步骤 3.4.3.3.1.2.2

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$y = \frac{x}{8} + \frac{1}{2}$

解题步骤 3.4.4

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$2 y - 1 = - \frac{x}{4}$

解题步骤 3.4.5

在等式两边都加上 $1$ 。

$2 y = - \frac{x}{4} + 1$

解题步骤 3.4.6

将 $2 y = - \frac{x}{4} + 1$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.4.6.1

将 $2 y = - \frac{x}{4} + 1$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 y}{2} = \frac{- \frac{x}{4}}{2} + \frac{1}{2}$

解题步骤 3.4.6.2

化简左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.4.6.2.1

约去 $2$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.4.6.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 y}{2} = \frac{- \frac{x}{4}}{2} + \frac{1}{2}$

解题步骤 3.4.6.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{- \frac{x}{4}}{2} + \frac{1}{2}$

解题步骤 3.4.6.3

化简右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.4.6.3.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.4.6.3.1.1

将分子乘以分母的倒数。

$y = - \frac{x}{4} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2}$

解题步骤 3.4.6.3.1.2

乘以 $- \frac{x}{4} \cdot \frac{1}{2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.4.6.3.1.2.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{x}{4}$ 。

$y = - \frac{x}{2 \cdot 4} + \frac{1}{2}$

解题步骤 3.4.6.3.1.2.2

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$y = - \frac{x}{8} + \frac{1}{2}$

解题步骤 3.4.7

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$y = \frac{x}{8} + \frac{1}{2}$

$y = - \frac{x}{8} + \frac{1}{2}$

$y = \frac{x}{8} + \frac{1}{2}$

$y = - \frac{x}{8} + \frac{1}{2}$

$y = \frac{x}{8} + \frac{1}{2}$

$y = - \frac{x}{8} + \frac{1}{2}$

解题步骤 4

使用 $f^{- 1} (x)$ 替换 $y$ ，以得到最终答案。

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{8} + \frac{1}{2}, - \frac{x}{8} + \frac{1}{2}$

解题步骤 5

验证 $f^{- 1} (x) = \frac{x}{8} + \frac{1}{2}, - \frac{x}{8} + \frac{1}{2}$ 是否为 $f (x) = 4 | 2 x - 1 |$ 的反函数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1

反函数的值域为原函数的定义域，反之亦然。求 $f (x) = 4 | 2 x - 1 |$ 和 $f^{- 1} (x) = \frac{x}{8} + \frac{1}{2}, - \frac{x}{8} + \frac{1}{2}$ 的值域及定义域，并将结果进行比较。

解题步骤 5.2

求 $f (x) = 4 | 2 x - 1 |$ 的值域。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.2.1

值域为全部有效 $y$ 值的集合。可使用图像找出值域。

区间计数法：

$[0, \infty)$

解题步骤 5.3

求 $\frac{x}{8} + \frac{1}{2}$ 的定义域。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.3.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

$(- \infty, \infty)$

解题步骤 5.4

因为 $f^{- 1} (x) = \frac{x}{8} + \frac{1}{2}, - \frac{x}{8} + \frac{1}{2}$ 的定义域并不等于 $f (x) = 4 | 2 x - 1 |$ 的值域，所以 $f^{- 1} (x) = \frac{x}{8} + \frac{1}{2}, - \frac{x}{8} + \frac{1}{2}$ 并非 $f (x) = 4 | 2 x - 1 |$ 的反函数。

不存在反函数

解题步骤 6

代数 示例

代数示例