代数示例

$\frac{3 z^{11} + 3 z^{5}}{z^{12} + 4 z^{6} + 3}$

解题步骤 1

化简分子。

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解题步骤 1.1

从 $3 z^{11} + 3 z^{5}$ 中分解出因数 $3 z^{5}$ 。

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解题步骤 1.1.1

从 $3 z^{11}$ 中分解出因数 $3 z^{5}$ 。

$\frac{3 z^{5} (z^{6}) + 3 z^{5}}{z^{12} + 4 z^{6} + 3}$

解题步骤 1.1.2

从 $3 z^{5}$ 中分解出因数 $3 z^{5}$ 。

$\frac{3 z^{5} (z^{6}) + 3 z^{5} (1)}{z^{12} + 4 z^{6} + 3}$

解题步骤 1.1.3

从 $3 z^{5} (z^{6}) + 3 z^{5} (1)$ 中分解出因数 $3 z^{5}$ 。

$\frac{3 z^{5} (z^{6} + 1)}{z^{12} + 4 z^{6} + 3}$

解题步骤 1.2

将 $z^{6}$ 重写为 ${(z^{2})}^{3}$ 。

$\frac{3 z^{5} ({(z^{2})}^{3} + 1)}{z^{12} + 4 z^{6} + 3}$

解题步骤 1.3

将 $1$ 重写为 $1^{3}$ 。

$\frac{3 z^{5} ({(z^{2})}^{3} + 1^{3})}{z^{12} + 4 z^{6} + 3}$

解题步骤 1.4

因为两项都是完全立方数，所以使用立方和公式 $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ 进行因式分解，其中 $a = z^{2}$ 和 $b = 1$ 。

$\frac{3 z^{5} ((z^{2} + 1) ({(z^{2})}^{2} - z^{2} \cdot 1 + 1^{2}))}{z^{12} + 4 z^{6} + 3}$

解题步骤 1.5

化简。

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解题步骤 1.5.1

将 ${(z^{2})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 1.5.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{3 z^{5} ((z^{2} + 1) (z^{2 \cdot 2} - z^{2} \cdot 1 + 1^{2}))}{z^{12} + 4 z^{6} + 3}$

解题步骤 1.5.1.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{3 z^{5} ((z^{2} + 1) (z^{4} - z^{2} \cdot 1 + 1^{2}))}{z^{12} + 4 z^{6} + 3}$

解题步骤 1.5.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{3 z^{5} ((z^{2} + 1) (z^{4} - z^{2} + 1^{2}))}{z^{12} + 4 z^{6} + 3}$

解题步骤 1.5.3

一的任意次幂都为一。

$\frac{3 z^{5} ((z^{2} + 1) (z^{4} - z^{2} + 1))}{z^{12} + 4 z^{6} + 3}$

$\frac{3 z^{5} (z^{2} + 1) (z^{4} - z^{2} + 1)}{z^{12} + 4 z^{6} + 3}$

解题步骤 2

化简分母。

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解题步骤 2.1

将 $z^{12}$ 重写为 ${(z^{6})}^{2}$ 。

$\frac{3 z^{5} (z^{2} + 1) (z^{4} - z^{2} + 1)}{{(z^{6})}^{2} + 4 z^{6} + 3}$

解题步骤 2.2

使 $u = z^{6}$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $z^{6}$ 。

$\frac{3 z^{5} (z^{2} + 1) (z^{4} - z^{2} + 1)}{u^{2} + 4 u + 3}$

解题步骤 2.3

使用 AC 法来对 $u^{2} + 4 u + 3$ 进行因式分解。

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解题步骤 2.3.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $3$ ，和为 $4$ 。

$1, 3$

解题步骤 2.3.2

使用这些整数书写分数形式。

$\frac{3 z^{5} (z^{2} + 1) (z^{4} - z^{2} + 1)}{(u + 1) (u + 3)}$

解题步骤 2.4

使用 $z^{6}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{3 z^{5} (z^{2} + 1) (z^{4} - z^{2} + 1)}{(z^{6} + 1) (z^{6} + 3)}$

解题步骤 2.5

将 $z^{6}$ 重写为 ${(z^{2})}^{3}$ 。

$\frac{3 z^{5} (z^{2} + 1) (z^{4} - z^{2} + 1)}{({(z^{2})}^{3} + 1) (z^{6} + 3)}$

解题步骤 2.6

将 $1$ 重写为 $1^{3}$ 。

$\frac{3 z^{5} (z^{2} + 1) (z^{4} - z^{2} + 1)}{({(z^{2})}^{3} + 1^{3}) (z^{6} + 3)}$

解题步骤 2.7

因为两项都是完全立方数，所以使用立方和公式 $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ 进行因式分解，其中 $a = z^{2}$ 和 $b = 1$ 。

$\frac{3 z^{5} (z^{2} + 1) (z^{4} - z^{2} + 1)}{(z^{2} + 1) ({(z^{2})}^{2} - z^{2} \cdot 1 + 1^{2}) (z^{6} + 3)}$

解题步骤 2.8

化简。

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解题步骤 2.8.1

将 ${(z^{2})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.8.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{3 z^{5} (z^{2} + 1) (z^{4} - z^{2} + 1)}{(z^{2} + 1) (z^{2 \cdot 2} - z^{2} \cdot 1 + 1^{2}) (z^{6} + 3)}$

解题步骤 2.8.1.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{3 z^{5} (z^{2} + 1) (z^{4} - z^{2} + 1)}{(z^{2} + 1) (z^{4} - z^{2} \cdot 1 + 1^{2}) (z^{6} + 3)}$

解题步骤 2.8.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{3 z^{5} (z^{2} + 1) (z^{4} - z^{2} + 1)}{(z^{2} + 1) (z^{4} - z^{2} + 1^{2}) (z^{6} + 3)}$

解题步骤 2.8.3

一的任意次幂都为一。

$\frac{3 z^{5} (z^{2} + 1) (z^{4} - z^{2} + 1)}{(z^{2} + 1) (z^{4} - z^{2} + 1) (z^{6} + 3)}$

解题步骤 3

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 3.1

约去 $z^{2} + 1$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.1

约去公因数。

$\frac{3 z^{5} (z^{2} + 1) (z^{4} - z^{2} + 1)}{(z^{2} + 1) (z^{4} - z^{2} + 1) (z^{6} + 3)}$

解题步骤 3.1.2

重写表达式。

$\frac{3 z^{5} (z^{4} - z^{2} + 1)}{(z^{4} - z^{2} + 1) (z^{6} + 3)}$

解题步骤 3.2

约去 $z^{4} - z^{2} + 1$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1

约去公因数。

$\frac{3 z^{5} (z^{4} - z^{2} + 1)}{(z^{4} - z^{2} + 1) (z^{6} + 3)}$

解题步骤 3.2.2

重写表达式。

$\frac{3 z^{5}}{z^{6} + 3}$

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