代数示例

$\frac{x}{x^{2} - y^{2}} + \frac{x + y}{x^{2} + y^{2}}$

解题步骤 1

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = y$ 。

$\frac{x}{(x + y) (x - y)} + \frac{x + y}{x^{2} + y^{2}}$

解题步骤 2

要将 $\frac{x}{(x + y) (x - y)}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{2} + y^{2}}$ 。

$\frac{x}{(x + y) (x - y)} \cdot \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{2} + y^{2}} + \frac{x + y}{x^{2} + y^{2}}$

解题步骤 3

要将 $\frac{x + y}{x^{2} + y^{2}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{(x + y) (x - y)}{(x + y) (x - y)}$ 。

$\frac{x}{(x + y) (x - y)} \cdot \frac{x^{2} + y^{2}}{x^{2} + y^{2}} + \frac{x + y}{x^{2} + y^{2}} \cdot \frac{(x + y) (x - y)}{(x + y) (x - y)}$

解题步骤 4

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $(x + y) (x - y) (x^{2} + y^{2})$ 的形式。

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解题步骤 4.1

将 $\frac{x}{(x + y) (x - y)}$ 乘以 $\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{2} + y^{2}}$ 。

$\frac{x (x^{2} + y^{2})}{(x + y) (x - y) (x^{2} + y^{2})} + \frac{x + y}{x^{2} + y^{2}} \cdot \frac{(x + y) (x - y)}{(x + y) (x - y)}$

解题步骤 4.2

将 $\frac{x + y}{x^{2} + y^{2}}$ 乘以 $\frac{(x + y) (x - y)}{(x + y) (x - y)}$ 。

$\frac{x (x^{2} + y^{2})}{(x + y) (x - y) (x^{2} + y^{2})} + \frac{(x + y) ((x + y) (x - y))}{(x^{2} + y^{2}) ((x + y) (x - y))}$

解题步骤 4.3

重新排序 $(x^{2} + y^{2}) ((x + y) (x - y))$ 的因式。

$\frac{x (x^{2} + y^{2})}{(x + y) (x - y) (x^{2} + y^{2})} + \frac{(x + y) ((x + y) (x - y))}{(x + y) (x - y) (x^{2} + y^{2})}$

解题步骤 5

在公分母上合并分子。

$\frac{x (x^{2} + y^{2}) + (x + y) ((x + y) (x - y))}{(x + y) (x - y) (x^{2} + y^{2})}$

解题步骤 6

化简分子。

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解题步骤 6.1

运用分配律。

$\frac{x \cdot x^{2} + x y^{2} + (x + y) (x + y) (x - y)}{(x + y) (x - y) (x^{2} + y^{2})}$

解题步骤 6.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 6.2.1

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 6.2.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{x^{1} x^{2} + x y^{2} + (x + y) (x + y) (x - y)}{(x + y) (x - y) (x^{2} + y^{2})}$

解题步骤 6.2.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{x^{1 + 2} + x y^{2} + (x + y) (x + y) (x - y)}{(x + y) (x - y) (x^{2} + y^{2})}$

解题步骤 6.2.2

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{x^{3} + x y^{2} + (x + y) (x + y) (x - y)}{(x + y) (x - y) (x^{2} + y^{2})}$

解题步骤 6.3

使用 FOIL 方法展开 $(x + y) (x + y)$ 。

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解题步骤 6.3.1

运用分配律。

$\frac{x^{3} + x y^{2} + (x (x + y) + y (x + y)) (x - y)}{(x + y) (x - y) (x^{2} + y^{2})}$

解题步骤 6.3.2

运用分配律。

$\frac{x^{3} + x y^{2} + (x \cdot x + x y + y (x + y)) (x - y)}{(x + y) (x - y) (x^{2} + y^{2})}$

解题步骤 6.3.3

运用分配律。

$\frac{x^{3} + x y^{2} + (x \cdot x + x y + y x + y \cdot y) (x - y)}{(x + y) (x - y) (x^{2} + y^{2})}$

解题步骤 6.4

化简并合并同类项。

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解题步骤 6.4.1

化简每一项。

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解题步骤 6.4.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{x^{3} + x y^{2} + (x^{2} + x y + y x + y \cdot y) (x - y)}{(x + y) (x - y) (x^{2} + y^{2})}$

解题步骤 6.4.1.2

将 $y$ 乘以 $y$ 。

$\frac{x^{3} + x y^{2} + (x^{2} + x y + y x + y^{2}) (x - y)}{(x + y) (x - y) (x^{2} + y^{2})}$

解题步骤 6.4.2

将 $x y$ 和 $y x$ 相加。

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解题步骤 6.4.2.1

将 $y$ 和 $x$ 重新排序。

$\frac{x^{3} + x y^{2} + (x^{2} + x y + x y + y^{2}) (x - y)}{(x + y) (x - y) (x^{2} + y^{2})}$

解题步骤 6.4.2.2

将 $x y$ 和 $x y$ 相加。

$\frac{x^{3} + x y^{2} + (x^{2} + 2 x y + y^{2}) (x - y)}{(x + y) (x - y) (x^{2} + y^{2})}$

解题步骤 6.5

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(x^{2} + 2 x y + y^{2}) (x - y)$ 。

$\frac{x^{3} + x y^{2} + x^{2} x + x^{2} (- y) + 2 x y x + 2 x y (- y) + y^{2} x + y^{2} (- y)}{(x + y) (x - y) (x^{2} + y^{2})}$

解题步骤 6.6

化简每一项。

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解题步骤 6.6.1

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 6.6.1.1

将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 6.6.1.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{x^{3} + x y^{2} + x^{2} x^{1} + x^{2} (- y) + 2 x y x + 2 x y (- y) + y^{2} x + y^{2} (- y)}{(x + y) (x - y) (x^{2} + y^{2})}$

解题步骤 6.6.1.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{x^{3} + x y^{2} + x^{2 + 1} + x^{2} (- y) + 2 x y x + 2 x y (- y) + y^{2} x + y^{2} (- y)}{(x + y) (x - y) (x^{2} + y^{2})}$

解题步骤 6.6.1.2

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{x^{3} + x y^{2} + x^{3} + x^{2} (- y) + 2 x y x + 2 x y (- y) + y^{2} x + y^{2} (- y)}{(x + y) (x - y) (x^{2} + y^{2})}$

解题步骤 6.6.2

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{x^{3} + x y^{2} + x^{3} - x^{2} y + 2 x y x + 2 x y (- y) + y^{2} x + y^{2} (- y)}{(x + y) (x - y) (x^{2} + y^{2})}$

解题步骤 6.6.3

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 6.6.3.1

移动 $x$ 。

$\frac{x^{3} + x y^{2} + x^{3} - x^{2} y + 2 (x \cdot x) y + 2 x y (- y) + y^{2} x + y^{2} (- y)}{(x + y) (x - y) (x^{2} + y^{2})}$

解题步骤 6.6.3.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{x^{3} + x y^{2} + x^{3} - x^{2} y + 2 x^{2} y + 2 x y (- y) + y^{2} x + y^{2} (- y)}{(x + y) (x - y) (x^{2} + y^{2})}$

解题步骤 6.6.4

通过指数相加将 $y$ 乘以 $y$ 。

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解题步骤 6.6.4.1

移动 $y$ 。

$\frac{x^{3} + x y^{2} + x^{3} - x^{2} y + 2 x^{2} y + 2 x (y \cdot y) \cdot - 1 + y^{2} x + y^{2} (- y)}{(x + y) (x - y) (x^{2} + y^{2})}$

解题步骤 6.6.4.2

将 $y$ 乘以 $y$ 。

$\frac{x^{3} + x y^{2} + x^{3} - x^{2} y + 2 x^{2} y + 2 x y^{2} \cdot - 1 + y^{2} x + y^{2} (- y)}{(x + y) (x - y) (x^{2} + y^{2})}$

解题步骤 6.6.5

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{x^{3} + x y^{2} + x^{3} - x^{2} y + 2 x^{2} y - 2 x y^{2} + y^{2} x + y^{2} (- y)}{(x + y) (x - y) (x^{2} + y^{2})}$

解题步骤 6.6.6

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{x^{3} + x y^{2} + x^{3} - x^{2} y + 2 x^{2} y - 2 x y^{2} + y^{2} x - y^{2} y}{(x + y) (x - y) (x^{2} + y^{2})}$

解题步骤 6.6.7

通过指数相加将 $y^{2}$ 乘以 $y$ 。

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解题步骤 6.6.7.1

移动 $y$ 。

$\frac{x^{3} + x y^{2} + x^{3} - x^{2} y + 2 x^{2} y - 2 x y^{2} + y^{2} x - (y \cdot y^{2})}{(x + y) (x - y) (x^{2} + y^{2})}$

解题步骤 6.6.7.2

将 $y$ 乘以 $y^{2}$ 。

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解题步骤 6.6.7.2.1

对 $y$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{x^{3} + x y^{2} + x^{3} - x^{2} y + 2 x^{2} y - 2 x y^{2} + y^{2} x - (y^{1} y^{2})}{(x + y) (x - y) (x^{2} + y^{2})}$

解题步骤 6.6.7.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{x^{3} + x y^{2} + x^{3} - x^{2} y + 2 x^{2} y - 2 x y^{2} + y^{2} x - y^{1 + 2}}{(x + y) (x - y) (x^{2} + y^{2})}$

解题步骤 6.6.7.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{x^{3} + x y^{2} + x^{3} - x^{2} y + 2 x^{2} y - 2 x y^{2} + y^{2} x - y^{3}}{(x + y) (x - y) (x^{2} + y^{2})}$

解题步骤 6.7

将 $- x^{2} y$ 和 $2 x^{2} y$ 相加。

$\frac{x^{3} + x y^{2} + x^{3} + 1 x^{2} y - 2 x y^{2} + y^{2} x - y^{3}}{(x + y) (x - y) (x^{2} + y^{2})}$

解题步骤 6.8

将 $x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x^{3} + x y^{2} + x^{3} + x^{2} y - 2 x y^{2} + y^{2} x - y^{3}}{(x + y) (x - y) (x^{2} + y^{2})}$

解题步骤 6.9

将 $- 2 x y^{2}$ 和 $y^{2} x$ 相加。

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解题步骤 6.9.1

将 $y^{2}$ 和 $x$ 重新排序。

$\frac{x^{3} + x y^{2} + x^{3} + x^{2} y - 2 x y^{2} + x y^{2} - y^{3}}{(x + y) (x - y) (x^{2} + y^{2})}$

解题步骤 6.9.2

将 $- 2 x y^{2}$ 和 $x y^{2}$ 相加。

$\frac{x^{3} + x y^{2} + x^{3} + x^{2} y - x y^{2} - y^{3}}{(x + y) (x - y) (x^{2} + y^{2})}$

解题步骤 6.10

将 $x^{3}$ 和 $x^{3}$ 相加。

$\frac{2 x^{3} + x y^{2} + x^{2} y - x y^{2} - y^{3}}{(x + y) (x - y) (x^{2} + y^{2})}$

解题步骤 6.11

从 $x y^{2}$ 中减去 $x y^{2}$ 。

$\frac{2 x^{3} + x^{2} y + 0 - y^{3}}{(x + y) (x - y) (x^{2} + y^{2})}$

解题步骤 6.12

将 $2 x^{3}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{2 x^{3} + x^{2} y - y^{3}}{(x + y) (x - y) (x^{2} + y^{2})}$

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